肖旗梅，李慶國

（1.湖南大學(xué)數(shù)學(xué)與計量經(jīng)濟(jì)學(xué)院，湖南長沙 410082；2.長沙理工大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，湖南長沙 410004）

Quantales上的導(dǎo)子＊

肖旗梅1，2?，李慶國1

（1.湖南大學(xué)數(shù)學(xué)與計量經(jīng)濟(jì)學(xué)院，湖南長沙 410082；2.長沙理工大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，湖南長沙 410004）

在Quantales理論中引入導(dǎo)子的概念，探討了Quantales中運(yùn)算＆的性質(zhì)，并研究了左（右，雙）側(cè)元導(dǎo)子的包含關(guān)系，最后討論了簡單導(dǎo)子的相應(yīng)性質(zhì).

計算科學(xué)；Quantale；導(dǎo)子；左（右，雙）側(cè)元；子Quantale；理想；簡單導(dǎo)子

Mulvey于1986年提出Quantale的概念［1］，其背景在于為量子力學(xué)提供新數(shù)學(xué)模型.文獻(xiàn)［2］的出版使得Quantale理論在短短的20年間有了巨大的發(fā)展，大量新的觀點和應(yīng)用相繼被揭示［3－6］，特別是Quantale理論在線性邏輯與計算科學(xué)方面的應(yīng)用為該理論的發(fā)展提供了廣闊的空間.

導(dǎo)子的概念被引入到素環(huán)［7］，BCI代數(shù)［8］以及格［9］等等，有助于研究各種代數(shù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和性質(zhì).本文在Quantale中給出導(dǎo)子的定義，并研究其相關(guān)性質(zhì).

1 預(yù)備知識

先給出有關(guān)Quantale理論的基本概念［2］.

定義1 設(shè)Q為完備格，“＆”是Q上的二元運(yùn)算.若?a，b，c∈Q，?｛bi｝?Q滿足：

2）（a→lb）＆a≤b；

3）a≤b，c≤d?a＆c≤b＆d.

定義2 設(shè)Q是Quantale，a∈Q.若a＆1≤a（a＆1＝a），則稱a是Q的右側(cè)元（嚴(yán)格右側(cè)元）.

若1 ＆a≤a（1 ＆a＝a），則稱a是Q的左側(cè)元（嚴(yán)格左側(cè)元）；若a既是Q的（嚴(yán)格）左側(cè)元又是（嚴(yán)格）右側(cè)元，則稱a是Q的（嚴(yán)格）雙側(cè)元；若a＆a＝a，則稱a是Q的冪等元.

若Q中的任意元素都是（嚴(yán)格）左側(cè)元（右側(cè)元，雙側(cè)元，冪等元），則稱Q是（嚴(yán)格）左側(cè)（右側(cè)，雙側(cè)，冪等）Quantale.

分別用R（Q），L（Q），T（Q）表示Q的左側(cè)元，右側(cè)元，雙側(cè)元全體；分別用SR（Q），SL（Q），ST（Q）表示Q的嚴(yán)格左側(cè)元，嚴(yán)格右側(cè)元，嚴(yán)格雙側(cè)全體.

定義3 設(shè)A，I是Quantale Q的非空子集.A稱為Q的子Quantale，如果A對任意并和運(yùn)算＆封閉.

I稱為Q的右（左）理想，如果I滿足：

1）｛ai｝?I?∨ai∈I；

2）?a∈I，b∈Q?a＆b∈I（b＆a∈I）.I是Q的理想，則I既是右理想又是左理想.

定義4 稱Quantale Q上的閉包算子（核算子）j為核映射（余核映射），滿足?a，b∈Q，j（a）＆j（b）≤j（a＆b）.若等號成立，則稱j為嚴(yán)格核映射（余核映射）.

2 Quantales上的導(dǎo)子

定義5 Quantale Q上的映射d稱為導(dǎo)子，若?a，b∈Q，｛bi｝?Q，則有下面兩式成立：

1）d（∨bi）＝∨d（bi）；

2）d（a＆b）＝（da＆b）∨（a＆db）.

例1 d是Quantale Q上的恒等映射，即dx＝x，?x∈Q.顯然d是導(dǎo)子，稱恒等導(dǎo)子.

定理2 設(shè)d為Quantale Q上的導(dǎo)子，則?a，b，c∈Q，有下列結(jié)論成立：

1）a≤b?da≤db；

2）c≤a→rb?c≤da→rdb，a≤dc→ldb；

3）b≤da→rd（a＆b），a≤db→ld（a＆b）；

4）a＆a＝a?a≤da→rda，a≤da→lda；

5）a→rb≤da→rdb，d（a→rb）≤a→rdb；

6）a→lb≤da→ldb，d（a→lb）≤a→ldb；

7）若Q有右（左）單位元e?a＆de≤da（de＆a≤da）；

8）若Q有右（左）單位元e且de＝e?a≤da，d1＝1；

9）若Q有右（左）單位元e且de＝e，則d（a＆1）＝da＆1（d（1 ＆a）＝1 ＆da）.

證 1）若a≤b，則由定義5有：db＝d（a∨b）＝da∨db?da≤db；

2）c≤a→rb?a＆c≤b，由導(dǎo)子定義和1）可得：d（a＆c）＝（da＆c）∨（a＆dc）≤db.故da＆c≤db，a＆dc≤db，從而有c≤da→rdb，a≤dc→ldb；

3），4）由導(dǎo)子定義易得；

5）由定理1有a＆（a→rb）≤b，由1）得d（a＆（a→rb））＝［da＆（a→rb）］∨［a＆d（a→rb）］≤db，故da＆（a→rb）≤db，a＆d（a→rb）≤db.從而a→rb≤da→rdb，d（a→rb）≤a→rdb；

6）證明與5）類似；

7）若e是右單位元，則有da＝d（a＆e）＝（da＆e）∨（a＆de），故a＆de≤da.同理de＆a≤da；

8）若e是右單位元且de＝e，有da＝d（a＆e）＝（da＆e）∨（a＆de）＝da∨a?a≤da，由此可得d1≥1，1是最大元，從而有d1＝1；

9）若e是右單位元，由8）可得：d（a＆1）＝（da＆1）∨（a＆d1）＝（da∨a）＆1＝da＆1.

定理3 設(shè)d為Quantale Q上的導(dǎo)子，則有：

1）d（R（Q））?R（Q）；

2）d（L（Q））?L（Q）；

3）d（T（Q））?T（Q）.

證 1）設(shè)y∈d（R（Q））??x∈R（Q），y＝d x.由x∈R（Q），得x＆1≤x，故y＝d x≥d（x＆1）＝（dx＆1）∨（x＆d1）≥dx＆1＝y(tǒng)＆1，由此可得y∈R（Q），故d（R（Q））?R（Q）；

2）證明與1）類似；

3）由1）和2）可得.

定理4 設(shè)d為Quantale Q上的導(dǎo)子，若Q有單位元e且de＝e，則

1）d SR（Q）?d（R（Q））?SR（Q）?R（Q）；

2）d SL（Q）?d（L（Q））?SL（Q）?L（Q）；

3）d ST（Q）?d T（Q）?ST（Q）?T（Q）.

證 1）設(shè)y∈d（R（Q）），則?x∈R（Q），使得y＝dx.由x∈R（Q），有x＆1≤x，由定理2中1）有d（x＆1）≤dx.由定理1中3），可得dx＝d（x＆e）≤d（x＆1），故d（x＆1）＝dx.由定理2中9），有dx＆1＝dx，故y＝dx∈SR（Q）.從而d（R（Q））?SR（Q）.其他包含關(guān)系顯然；

2）證明與1）類似；

3）由1）和2）可得.

顯然，Quantale中的最大元1是雙側(cè)元，有單位元e的Quantale，最大元1是嚴(yán)格雙側(cè)元.所以由定理3和4可直接得到下面的推論.

推論1 設(shè)d為Quantale Q上的導(dǎo)子，則

1）d1是Q上的雙側(cè)元；

2）若Q有單位元e，則d1是Q的嚴(yán)格雙側(cè)元.

設(shè)d為Quantale Q上的導(dǎo)子，若Q中的元x滿足d x＝x，稱x為d的不動點.用Fd（Q）表示所有不動點的集合.

定理5 設(shè)d為Quantale Q上的導(dǎo)子，則Fd（Q）為Q的子Quantale.

證 設(shè)｛yi｝?Fd（Q），d（∨yi）＝∨dyi＝∨yi?∨yi∈Fd（Q）.

?x，y∈Fd（Q），d（x＆y）＝（dx＆y）∨（x＆dy）＝x＆y?x＆y∈Fd（Q）.

3 Quantales上的簡單導(dǎo)子

定理6 設(shè)a為交換Quantale Q的元，da：Q→Q定義為dax＝x＆a（?x∈Q），則da為Q上的導(dǎo)子.

證 設(shè)｛yi｝?Q，有da（∨yi）＝（∨yi）＆a＝∨（yi＆a）＝∨dayi.

?x，y∈Q，由Q交換和結(jié)合律，有da（x＆y）＝（x＆y）＆a＝［（x＆y）＆a］∨［（x＆y）＆a］＝［（x＆a）＆y］∨［x＆（y＆a）］＝（dax＆y）∨（x＆day）.本文稱da為Quantale Q的簡單導(dǎo)子，當(dāng)a為單位元的時候，da為Q的恒等導(dǎo)子.在下文中出現(xiàn)的Quantale Q均為交換的.

定理7 da為Quantale Q的簡單導(dǎo)子，則

1）若a是左（或右）側(cè)元，則?x∈Q，dax≤a；

2）若Q有左（或右）單位元e，則dae＝a；

3）若a，x是冪等元，則dax是冪等元；

4）若a是冪等元，則da是Q的自同態(tài).

證 1）由a是左側(cè)元，有dax＝x＆a≤T＆a≤a；

2）dae＝e＆a＝a；

3）由交換性和冪等性，得dax＆dax＝（x＆a）＆（x＆a）＝（x＆x）＆（a＆a）＝x＆a＝dax；

4）由交換性和冪等性，可得da（x＆y）＝（x＆y）＆a＝（x＆a）＆（y＆a）＝dax＆day.

定理8 設(shè)da為有右單位元e的Quantale Q的簡單導(dǎo)子，若a是冪等元，則

1）當(dāng)a＞e時，da為嚴(yán)格核映射；

2）當(dāng)a＜e時，da為嚴(yán)格余核映射；

3）當(dāng)a＝e時，da為嚴(yán)格（余）核映射.

證 ?x，y∈Q，若x≤y，則有dax＝x＆a≤y＆a＝day.

da（dax）＝da（x＆a）＝（x＆a）＆a＝x＆（a＆a）＝x＆a＝dax.

由定理7，有da（x＆y）＝dax＆day；當(dāng)a＞e時，dax＝x＆a＞x＆e＝x；當(dāng)a＜e時，dax＝x＆a＜x＆e＝x；當(dāng)a＝e時，dax＝x＆a＝x＆e＝x.故上述結(jié)論成立.

定理9 da為Quantale Q的簡單導(dǎo)子，若a是冪等元，I是Q的左（右）理想，則daI是Q的左（右）理想且daI?I.

證 設(shè)｛yi｝?daI，?xi∈I，yi＝daxi.I是左理想得∨xi∈I，故∨yi＝∨daxi＝da（∨xi）∈daI.

?y∈daI，y＇∈Q，?x∈I，y＝dax.由I是左理想，有y＇＆x∈I，故y＇＆y＝y(tǒng)＇＆dax＝y(tǒng)＇＆（x＆a）＝（y＇＆x）＆a∈daI，故daI是Q的左理想.

?y∈daI，?x∈I，y＝x＆a∈I，故daI?I.

由于Q交換，故對于右理想的情形結(jié)論也成立.

定理10 da為Quantale Q的簡單導(dǎo)子，全體像的集合記為Im da＝｛y∈Q｜y＝x＆a，x∈Q｝，則Im da是Q的理想.

證 設(shè)｛yi｝?Im da，?xi∈Q，yi＝daxi，故∨yi＝∨（xi＆a）＝（∨xi）＆a∈Im da.

?y∈Im da，y＇∈Q，?x∈Q，y＝x＆a，有y＇＆y＝y(tǒng)＇＆（x＆a）＝（y＇＆x）＆a∈Im da.Q是交換的，得y＆y＇＝（x＆a）＆y＇＝（x＆y＇）＆a∈Im da.

從而有Im da是Q的理想.

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Derivation of Quantales

XIAO Qi-mei1，2?，LI Qing－guo1

（1.College of Mathematics and Econometrics，Hunan Univ，Changsha，Hunan 410082，China；
2.School of Mathematics and Compute Science，Changsha Univ of Science and Technology，Changsha，Hunan 410004，China）

The concept of derivation was introduced into Quantale theory.Firstly，the properties of the operation ＆of Quantale and the inclusion relation of the derivations of left（right，both）-sided were studied.Lastly，the properties of simple derivation were investigated.

computer science；Quantale；derivation；left（right，both）-sided；subquantale；ideal；simple derivation

O153.1

A

1674-2974（2012）08-0087-03＊

2011-09-01

國家自然科學(xué)基金資助項目（11071061）

肖旗梅（1976—），女，湖南婁底人，湖南大學(xué)博士研究生，講師

?通訊聯(lián)系人，E-mail：qimeixiao＠sohu.com