李兆軍，毛 濤，劉小蘇，梁光輝

(廣西大學機械工程學院，廣西 南 寧 530004)

回轉(zhuǎn)傳動機構(gòu)和工作裝置，是液壓挖掘機的重要組成部分，它們在液壓挖掘機回轉(zhuǎn)和作業(yè)過程中，起著非常大的作用[1]。其動態(tài)性能的好壞，不僅直接影響整臺機器的正常工作，而且還直接關(guān)系到操作人員和設(shè)備的安全，因而其動態(tài)性能是整機設(shè)計水平的重要標志。深入研究回轉(zhuǎn)傳動機構(gòu)和工作裝置的動態(tài)性能，對液壓挖掘機使用和整機的設(shè)計具有十分重要的意義。

近年來，人們不僅對液壓挖掘機回轉(zhuǎn)傳動機構(gòu)動力學問題進行了大量的研究[2~3]，而且在液壓挖掘機工作裝置動力學問題的研究，也取得了許多令人欣慰的成果[4~6]。但是，液壓挖掘機回轉(zhuǎn)傳動機構(gòu)和工作裝置，不是孤立存在的，而是一個相互作用、相互影響的耦合系統(tǒng)，因而有必要將液壓挖掘機的回轉(zhuǎn)傳動機構(gòu)和工作裝置，作為一個系統(tǒng)對其動力學問題進行深入研究。然而，迄今未見有綜合研究液壓挖掘機回轉(zhuǎn)傳動機構(gòu)-工作裝置系統(tǒng)耦合動力學問題的文獻。

本文以液壓挖掘機回轉(zhuǎn)傳動機構(gòu)-工作裝置系統(tǒng)為研究對象，運用有限元法建立液壓挖掘機回轉(zhuǎn)傳動機構(gòu)-工作裝置系統(tǒng)動態(tài)方程，并通過實例對系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)進行分析。

1 回轉(zhuǎn)傳動機構(gòu)動力學方程

在一般的分析中，通常把齒輪視為剛體，實際上齒輪是一個彈性體，在運轉(zhuǎn)過程中，齒輪的嚙合會產(chǎn)生振動。簡單而不失一般性，在液壓挖掘機回轉(zhuǎn)齒輪傳動機構(gòu)動力分析中，進行如下簡化：在內(nèi)齒輪與行星齒輪嚙合工作中，忽略因回轉(zhuǎn)軸承受到傾覆力時兩個齒輪回轉(zhuǎn)軸的變化；行星齒輪通過其回轉(zhuǎn)軸與挖掘機轉(zhuǎn)臺剛性連接，即忽略齒輪回轉(zhuǎn)軸和挖掘機轉(zhuǎn)臺的彈性變形。

由于液壓挖掘機工作過程中，回轉(zhuǎn)傳動機構(gòu)的內(nèi)齒輪固定在底架上，假設(shè)內(nèi)齒輪為靜止不動，則只有行星齒輪繞回轉(zhuǎn)中心軸公轉(zhuǎn)。

如圖1所示，坐標系XOZ為液壓挖掘機回轉(zhuǎn)齒輪傳動機構(gòu)單元坐標系(Y方向為垂直于紙面向內(nèi))。由于動力學分析中主要考慮輪齒的彈性變形，則回轉(zhuǎn)傳動機構(gòu)在Y軸方向上的縱向位移為零。設(shè)u11為內(nèi)齒輪輪齒繞Y軸的轉(zhuǎn)角位移；u12為行星齒輪繞其自轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)角位移；u13、u14分別為行星齒輪輪齒在XOZ平面內(nèi)的橫向位移，將這兩個位移在1點出表示出來。于是，此液壓挖掘機回轉(zhuǎn)傳動機構(gòu)的廣義坐標列陣可表示為u1={u11u12u13u14}T。

圖1 齒輪轉(zhuǎn)子的力學模型

1.1 回轉(zhuǎn)傳動機構(gòu)的動能

根據(jù)動能定理，液壓挖掘機回轉(zhuǎn)傳動機構(gòu)系統(tǒng)的動能可表示為

m1為行星齒輪的質(zhì)量；

Jyy為工作裝置和轉(zhuǎn)臺上其他構(gòu)件的轉(zhuǎn)動慣量，Jyy=J'+Jy，其中J'為轉(zhuǎn)臺上其他構(gòu)件的轉(zhuǎn)動慣量。

對于液壓挖掘機回轉(zhuǎn)傳動機構(gòu)，簡單而不失一般性，只考慮嚙合齒輪XOZ平面內(nèi)的橫向位移，不考慮行星齒輪回轉(zhuǎn)驅(qū)動軸的彈性變形；在行星齒輪運動的絕對速度的計算中，由于齒輪驅(qū)動速度較低，彈性體的彈性位移比較小，故不考慮運動中的剛體運動與彈性運動的耦合項[7]。則行星齒輪運動的絕對速度可表示為

φ觶r為行星齒輪繞Y軸的角速度；

θ觶r為行星齒輪繞其自轉(zhuǎn)軸的角速度；

r2為內(nèi)齒輪的基圓半徑。

將式（2）代入式（1）得

1.2 回轉(zhuǎn)傳動機構(gòu)的勢能

回轉(zhuǎn)傳動機構(gòu)是由行星齒輪和內(nèi)齒輪組成，回轉(zhuǎn)傳動機構(gòu)系統(tǒng)的勢能即為行星齒輪和內(nèi)齒輪之間輪齒嚙合的彈性勢能，可表示為[8]

式中，

kf為行星齒輪與內(nèi)齒輪間的嚙合剛度；

δ為行星齒輪與內(nèi)齒輪的作用線上的彈性變形量，可表示為

其中，

準為齒輪嚙合的壓力角。

由于齒輪在嚙合過程中，齒輪的嚙合剛度kf具有明顯的周期性，因而嚙合剛度kf的傅立葉級數(shù)形式可表示為[9]

式中，

km為平均嚙合剛度，

kn為第n階諧波的幅值，

ωe為齒輪副的嚙合頻率，

準1n為相位角。

將式(5)代入式(4)，整理得

式中，回轉(zhuǎn)齒輪傳動機構(gòu)系統(tǒng)的剛度矩陣可表示為

將式(6)代入式(8)，得

1.3 回轉(zhuǎn)傳動機構(gòu)動力學方程

根據(jù)拉格朗日方程原理，液壓挖掘機回轉(zhuǎn)傳動機構(gòu)動力學方程可寫為

式中，

f1為外加載荷的廣義力列陣。

將式（3）和式（7）代入式(10)中，經(jīng)整理，得到液壓挖掘機回轉(zhuǎn)傳動機構(gòu)系統(tǒng)在不考慮阻尼情況下的運動微分方程為

將式(9)代入式(11)，得

2 變截面梁單元動力學方程

為了更加全面分析液壓挖掘機工作裝置的動態(tài)特性，這里應(yīng)用有限元法對工作裝置進行動態(tài)特性分析。由于液壓挖掘機工作裝置各構(gòu)件的長徑比較大，可以用梁單元對工作裝置各構(gòu)件進行模擬，而且工作裝置構(gòu)件的橫截面的寬和高都是變化的，故采用變截面梁單元對其進行模擬計算。由于寬度的變化率較小，故忽略寬度的變化。為了簡便而不失一般性，在液壓挖掘機工作裝置機構(gòu)動力分析中，進行如下簡化：

在研究工作裝置機構(gòu)梁單元上任一點的絕對加速度時，忽略加速度和速度中的彈性變形運動與剛體運動的耦合項；忽略梁彎曲時梁的截面沿軸向的微小位移；在應(yīng)變能計算中，忽略剪切變形的影響以及橫向位移對拉壓應(yīng)變能的影響。此時，變截面梁單元動力學方程可表示為[10]

式中，

m02為變截面梁單元質(zhì)量矩陣；

k02為變截面梁單元剛度矩陣；

f02為變截面梁單元外加載荷廣義力列陣。

3 系統(tǒng)動態(tài)方程

液壓挖掘機回轉(zhuǎn)傳動機構(gòu)-工作裝置系統(tǒng)，是由回轉(zhuǎn)機構(gòu)單元和變截面梁單元組成，將回轉(zhuǎn)機構(gòu)單元和變截面梁單元的運動微分方程組裝起來，即可得到回轉(zhuǎn)傳動機構(gòu)-工作裝置系統(tǒng)的運動微分方程。

為簡便而不失一般性，這里對系統(tǒng)進行做如下簡化：

回轉(zhuǎn)傳動機構(gòu)與工作裝置通過轉(zhuǎn)臺剛性連接，即不考慮轉(zhuǎn)臺的彈性變形。

圖2 齒輪轉(zhuǎn)子有限元分析簡圖

圖3 工作裝置有限元分析簡圖

在對系統(tǒng)進行有限元分析時，將回轉(zhuǎn)傳動機構(gòu)和斗桿各作為1個單元，將工作裝置分為3個單元，如圖2、圖3所示。

圖中 1、2、3、4、5 為節(jié)點編號，①、②、③、④為單元編號，共設(shè)置了 19 個廣義坐標，分別用 U1、U2、U3、…、U19表示，

其中 U3、U4、U6、U7、U8、U11、U12、U13、U16、U17、U18為彈性位移；

U1、U2、U5、U9、U10、U14、U15、U19為平面內(nèi)的彈性轉(zhuǎn)角，則系統(tǒng)的廣義坐標列陣可表示為

設(shè)第i單元坐標與整體坐標間的轉(zhuǎn)換矩陣為Ri，第i單元局部編號與系統(tǒng)編號間的坐標協(xié)調(diào)矩陣為Bi，利用對應(yīng)的轉(zhuǎn)換矩陣和協(xié)調(diào)矩陣，則可將回轉(zhuǎn)傳動機構(gòu)動力學方程與變截面梁單元動力學方程組裝起來，得到計入阻尼影響的液壓挖掘機回轉(zhuǎn)傳動機構(gòu)-工作裝置系統(tǒng)動態(tài)方程為

C為采用粘滯阻尼理論近似估計得到的系統(tǒng)阻尼矩陣，且

其中，

mi為第i單元的質(zhì)量矩陣；

ki（i=2,3,4）為第i單元的剛度矩陣；

fi為第i單元的廣義力列陣。

由于液壓挖掘機工作裝置與回轉(zhuǎn)傳動機構(gòu)，通過剛性體連接在一起，回轉(zhuǎn)傳動機構(gòu)對工作裝置的振動有著直接的影響，而工作裝置的振動也直接影響到回轉(zhuǎn)傳動機構(gòu)的動態(tài)特性，也就是說，液壓挖掘機回轉(zhuǎn)傳動機構(gòu)-工作裝置系統(tǒng)內(nèi)部存在著復(fù)雜的耦合關(guān)系，而這種復(fù)雜的耦合關(guān)系，能由式(14)中較好地反映出來。

4 實例分析

本節(jié)以由三一重工生產(chǎn)的SY65C-9小型液壓挖掘機為求解對象，其回轉(zhuǎn)傳動機構(gòu)的齒輪參數(shù)如表1所示，其工作裝置各構(gòu)件為箱型結(jié)構(gòu)，其幾何尺寸如表2所示（表2中參數(shù)名見圖3），且回轉(zhuǎn)傳動機構(gòu)副嚙合頻率ωe=86.67Hz。

由于液壓挖掘機回轉(zhuǎn)傳動機構(gòu)-工作裝置系統(tǒng)的動態(tài)特性，隨著系統(tǒng)的位姿不同而不同。這里討論兩種位姿下的動態(tài)性能。

位姿一：β1=60°，且 β2和 β3分別在極小值的位置；

位姿二：β1=30°，且 β2和 β3分別在極大值的位置。

β1、β2和 β3如圖3所示。

表1 回轉(zhuǎn)齒輪幾何參數(shù)

表2 工作裝置各構(gòu)件的幾何尺寸

表3所示為系統(tǒng)在兩種位姿下的前三階固有頻率的值，顯然，位姿二時系統(tǒng)的固有頻率，比位姿一時系統(tǒng)相對應(yīng)的固有頻率要大，這是因為位姿二時工作裝置的等效轉(zhuǎn)動慣量，小于位姿一時工作裝置的等效轉(zhuǎn)動慣量，從而導(dǎo)致的緣故位姿二時系統(tǒng)的固有頻率，要大于位姿一時系統(tǒng)相對應(yīng)的固有頻率。

表3 系統(tǒng)前三階固有頻率

圖4、圖5分別為兩種位姿下的回轉(zhuǎn)齒輪嚙合點的動態(tài)響應(yīng)仿真圖。顯然，圖4所示的時域響應(yīng)曲線的幅值，要大于圖5所示的相應(yīng)幅值，這是因為系統(tǒng)在位姿一時，其自激慣量力要比系統(tǒng)在位姿二時的自激慣量力大，從而導(dǎo)致系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)的幅值也較大的緣故。

圖4 Z方向時域響應(yīng)仿真曲線圖(位姿一)

圖5 Z方向時域響應(yīng)仿真曲線圖(位姿二)

5 結(jié)束語

液壓挖掘機回轉(zhuǎn)傳動機構(gòu)和工作裝置，是一個相互作用、相互影響的耦合系統(tǒng)，因而有必要將液壓挖掘機的回轉(zhuǎn)傳動機構(gòu)和工作裝置作為一個系統(tǒng)，對其動力學問題進行深入研究。

本文以液壓挖掘機回轉(zhuǎn)傳動機構(gòu)-工作裝置系統(tǒng)為研究對象，應(yīng)用有限元法建立了液壓挖掘機回轉(zhuǎn)傳動機構(gòu)-工作裝置系統(tǒng)的耦合動力學模型。

所建方程較好地體現(xiàn)了該系統(tǒng)動態(tài)性能與其結(jié)構(gòu)參數(shù)、運動參數(shù)之間的內(nèi)在關(guān)系，表達了以往方程未能反映的動態(tài)性能，為進一步深入研究液壓挖掘機回轉(zhuǎn)傳動機構(gòu)-工作裝置系統(tǒng)的動力學特性與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)及運動參數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系奠定了基礎(chǔ)。

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