王晉晉，王大成，范軍，蔡平，胡軍

(1.哈爾濱工程大學(xué) 水聲技術(shù)重點實驗室，黑龍江 哈爾濱150001;2.上海交通大學(xué) 船舶海洋與建筑工程學(xué)院 水聲工程研究所，上海200240;3.65659 部隊74 分隊，遼寧 錦州121000)

0 引言

常規(guī)的水聲定位系統(tǒng)都是利用聲信號到達(dá)各水聽器基元的時間差或相位差來計算聲源位置［1］。這種定位方法的理論基礎(chǔ)是聲傳播的自由場模型，并不考慮界面反射的影響。但淺海中，海底和海面的界面反射強烈影響聲傳播，并形成了明顯的相干多途信道，這種環(huán)境下常規(guī)定位系統(tǒng)的性能極易受到影響［2］。

為了利用信道的多途信息，許多學(xué)者研究了利用聲傳播模型的定位方法，例如匹配場［3-4］和時間反轉(zhuǎn)鏡定位［5-6］，這些方法使用已知的環(huán)境參數(shù)來計算聲場的空間分布，將計算結(jié)果用于處理實際接收信號，達(dá)到利用多途信息的目的。在實際應(yīng)用中，聲傳播模型的運算量較大，且容易受到環(huán)境參數(shù)失配的影響。利用單矢量水聽器對聲壓和振速進(jìn)行相關(guān)處理，提取多途信息，也可用于定位聲源［7］，但由于矢量水聽器的工作頻率較低，通常為2 kHz 以下，因此難以對高頻聲源進(jìn)行定位。

利用直達(dá)波和水面反射以及水底反射的時延差，使用單水聽器即可定位水中的哺乳動物［8-9］。本文使用這一方法來估算定位系統(tǒng)中的脈沖聲源——應(yīng)答器或信標(biāo)的位置。與動物叫聲相比，這些聲源的發(fā)射信號多是已知的單頻脈沖，因此借助于高分辨的時延估計算法，來提高這種定位方法的定位距離和應(yīng)用范圍。首先介紹了利用多途時延定位的基本理論，分析了聲波在水底和水面上的反射特性，然后使用基于凸集投影的高分辨信道辨識算法估計多途時延，并分析了時延估計誤差對定位精度的影響，最后利用湖上試驗數(shù)據(jù)來驗證定位方法的可行性。

1 時延差定位的基本原理

在淺水中，通過聲傳播的射線理論模型，可以計算出由發(fā)射聲源經(jīng)水面和水底反射后到達(dá)水聽器的一系列聲線，即本征聲線。圖1給出了淺海中經(jīng)海底和海面一次和兩次反射的本征聲線示意圖，聲源用星形表示，水聽器用實心圓圈表示，本征聲線用實線表示，從圖上可以看出，經(jīng)水底或水面反射的傳播路徑，實際相當(dāng)于到達(dá)水聽器關(guān)于界面的虛像(用空心圓圈表示)的直達(dá)路徑，這樣一來，就形成了一個由實水聽器和虛水聽器組成的接收陣，如果能夠估計信道到達(dá)這個接收陣各個陣元之間的時延差，便可定位聲源的距離和深度。

1.1 定位方程的求解

在圖1中建立柱坐標(biāo)系(r，z)，r 軸與水面重合，由水聽器指向聲源方向，z 軸與水面垂直，由水面指向水底方向，水聽器和其虛像均位于z 軸上，只考慮直達(dá)路徑和經(jīng)水面和水底一次反射的路徑，對應(yīng)的水聽器坐標(biāo)分別為(0，z1)、(0，z2)和(0，z3)，聲源位于(rS，zS)，水深為D，可以得到如下關(guān)系:

圖1 淺海中的本征聲線示意圖Fig.1 Illustration of eigenrays in shallow water

直達(dá)波由聲源到達(dá)水聽器的時間為τ1，水面反射到達(dá)時間為τ2，水底反射到達(dá)時間為τ3，水中聲速為c，可以得到如下方程

令τ21=τ2-τ1，τ31=τ3-τ1，并分別用(3)式和(4)式減去(2)式可以得到

即可求得

因此只要測量得到水深D 和水聽器深度z1，再估計出時延差τ21和τ31，即可求得聲源深度zS和距離rS.

1.2 聲波在界面上的反射

從圖1中可以得出，當(dāng)zS＜D-z1時，τ2＜τ3，即水面反射先于水底反射到達(dá);而當(dāng)zS＞D - z1時，τ2＞τ3，水底反射先于水面反射到達(dá)，為了正確區(qū)分水面反射還是水底反射，需要利用聲波在界面上的反射特性。

如圖2所示，當(dāng)平面波以入射角度αI入射到兩層液體的分界面時，會產(chǎn)生反射波和折射波，反射角αR與入射角相等，而折射角αF滿足snell 折射定律，即

圖2 聲波在界面上的反射Fig.2 Wave reflection at an interface

式中c1和c2分別為介質(zhì)1 和2 中的聲速。ρ1和ρ2分別為介質(zhì)1 和介質(zhì)2 的密度，反射系數(shù)γ 定義為

當(dāng)c1＜c2時，定義臨界角α0:

當(dāng)入射角αI＞α0時，反射系數(shù)γ 變?yōu)閺?fù)數(shù)，其模值|γ| =1，即發(fā)生全反射的現(xiàn)象，此時反射波相對于入射波還會有附加的相移存在。

圖3給出了由水分別入射到空氣、粘土、粉沙、礫石上時利用(11)式計算出的反射系數(shù)的模值和相移，其中介質(zhì)的密度和聲速取自文獻(xiàn)［10］中的表1.3.

從圖3中可以看出，水面反射的相移是接近180°的，而水底反射在不發(fā)生全反射時，其相移為0°，發(fā)生全反射時，隨著入射角的增大，其相移從0°變化到180°，利用接收信號的相位即可分辨水底反射和水面反射。

2 高分辨的時延估計算法

經(jīng)典的估計傳播時延與幅度的方法是使用最大似然估計器——匹配濾波器，但匹配濾波器的分辨率受到信號帶寬的限制。為了突破這一限制，Zeng等［11］將用于圖像重構(gòu)領(lǐng)域內(nèi)的凸集投影(POCS)方法用于水聲信道辨識中，這一算法充分利用了水聲信道沖激響應(yīng)的稀疏特性，可以高分辨的辨識大時延擴展的水聲多途信道。POCS 算法比匹配濾波器的運算量大，并且對接收信號的信噪比有一定要求。在實際實驗中，定位結(jié)果一般使用計算機處理得到，運算量的要求容易滿足。同時，在海況較小的情況下，海洋環(huán)境噪聲也比較小，接收信號的信噪比也滿足計算條件。本文將POCS 方法擴展到復(fù)數(shù)域，來獲得多途時延中的相位信息，用于分辨水面反射與水底反射。

圖3 聲波從水中入射到不同介質(zhì)時的反射系數(shù)Fig.3 Interfaces reflection coefficients with different media

用線性時不變系統(tǒng)來描述水聲信道，當(dāng)發(fā)射信號為s(n)時，接收信號g(n)可以表示為發(fā)射信號與信道沖激響應(yīng)h(n)的卷積再加上噪聲v(n)形式，即

信道中存在M 個本征聲線時，對應(yīng)的沖激響應(yīng)可以表示為

式中:m 是本征聲線的編號;Am和τm分別是第m 個本征聲線對應(yīng)的衰減因子和傳播時延;δ(n)是單位脈沖。如果考慮界面反射引起的相位變化，Am就變?yōu)橐粋€復(fù)數(shù)，即Am=amexp{jθm}，其中am為幅度衰減，θm為相位變化，此時對應(yīng)的沖激響應(yīng)h(n)也是復(fù)數(shù)。由于接收信號都是實數(shù)，為了正確表示信道對發(fā)射信號的相移，利用復(fù)共軛算子，將發(fā)射信號寫為解析信號的形式，這時(13)式變?yōu)?/p>

構(gòu)造循環(huán)矩陣Θs:

式中s(0)，…，s(N -1)為發(fā)射信號s(n)的N 個離散采樣點。同時將g(n)，h(n)和v(n)表示為列向量的形式:g =［g(0)g(1)… g(N -1)］T，h =［h(0)h(1)… h(N -1)］T和v =［v(0)v(1)…v(N-1)］T，則(15)式可以表示為矩陣形式:

式中(15)式的線性卷積變成了圓周卷積的形式，為了避免計算錯誤，假定所有的采樣點都已經(jīng)進(jìn)行了補零處理。信道辨識的目的就是在已知向量g 和矩陣Θs的情況下求解向量h 的估計值^h.

POCS 是一種尋找優(yōu)化問題的可行性解的迭代方法，可行性解由若干約束條件確定。每個約束條件都對應(yīng)著一個封閉的凸集合，集合中的所有元素都滿足給定約束條件。問題的解是每個約束凸集中的元素，這些凸集的交集構(gòu)成了優(yōu)化問題的可行性解的集合。

對于給定的凸集Cl，定義一個投影算子Pl來修正凸集中元素的位置，以令其滿足凸集約束Cl.

凸集投影的迭代過程可以表示為

式中:hq為第q 次迭代后的估計值，而hq+1為第q +1 次迭代后的估計值;P1，P2，… ，Pl為l 個約束條件C1，C2，… ，Cl對應(yīng)的投影算子。

常用的凸集約束有以下4 種［11-12］:

1)殘差的方差約束C1:

式中:‖·‖2表示向量的l2范數(shù);εv是由噪聲v(n)的統(tǒng)計特性所確定的門限值。

2)沖激響應(yīng)的l1范數(shù)約束C2:

式中ζ 為l1范數(shù)的上界。

3)沖激響應(yīng)的上界約束C3:

式中aU和aL分別是沖激響應(yīng)幅度的上下界。

4)殘差的功率譜約束C4:

式中:G(k)、S(k)和H(k)分別是g(n)、s(n)和h(n)的傅里葉變換;S*(k)和H*(k)是s*(n)和h*(n)的傅里葉變換;ξV是由噪聲頻譜V(k)所確定的門限值。

假定噪聲v(n)是均值為0，方差為σ2v的高斯白噪聲，對應(yīng)的4 種投影算子分別為

(23)式中:S 和G 分別是發(fā)射信號向量s 和接收信號向量g 的傅里葉變換;IDFT{·}表示傅里葉反變換算子，運算符×和÷分別表示向量的點乘和點除;|·|2表示對向量的元素取模后再平方。(24)式中:sgn{·}為符號函數(shù);max{·}為最大值函數(shù);參數(shù)λ和μ 都可以由噪聲功率σ2v計算得到。

運用投影算子對沖激響應(yīng)的初值交替進(jìn)行投影運算，經(jīng)過幾步迭代后即可得到信道沖激響應(yīng)的辨識結(jié)果。理想情況下，沖激響應(yīng)h(n)的估計值為一系列單位脈沖。每個單位脈沖對應(yīng)的時刻即是多途時延的估計值，而幅度Am的模值和輻角分別表示了多途的幅度衰減和界面反射引起的相移。

3 定位誤差分析

從定位方程(7)式和(9)式中可以看出，影響定位結(jié)果的主要誤差源有:時延估計誤差Δτ21，Δτ31，水聽器深度測量誤差Δz1，水深測量誤差ΔD 和聲速測量誤差Δc.為直觀了解這些因素對定位誤差的影響，將式(5)～式(6)變形為

式中:a2=c2τ221/4;b2=c2τ231/4.從(27)式可以看出水面反射與直達(dá)波的時間差確定了一條以水聽器位置為焦點、以水面為對稱軸的開口向下的雙曲線;而式(28)則是水底反射與直達(dá)波的時間差確定的一條以水聽器位置為焦點、以水底為對稱軸的開口向上的雙曲線，這兩條雙曲線的交點即是聲源位置。圖4(a)給出了這兩條雙曲線的示意圖，圖上還用虛線畫出了這兩條雙曲線的漸近線，當(dāng)聲源水平距離較遠(yuǎn)時，可以用漸近線的交點來代替雙曲線的交點，降低定位方程的次數(shù)。

當(dāng)誤差存在時，誤差的上下界分別確定了4條雙曲線，它們所圍的區(qū)域是聲源的可能位置，區(qū)域面積的大小表示了定位誤差的大小，如圖4(b)所示。

圖4 定位方程確定的雙曲線示意圖Fig.4 Hyperboles defined by the location equation

為了研究聲源在不同位置時的定位誤差，利用誤差傳播方程［13］:

式(29)～式(30)中右側(cè)的平方誤差項可以直接由數(shù)值方法計算得到。

圖5中是D =40 m，z1=10 m，Δτ21= Δτ31=100 μs，ΔD=1 m，Δz1=0.1 m，Δc=10 m/s 條件下，聲源位置不同時的深度和距離定位相對誤差的分布圖。從圖中可以看出深度估計誤差和距離估計誤差在近距離時隨聲源距離增加而減小，在遠(yuǎn)距離時隨聲源距離增加而增大;深度估計誤差隨聲源深度的增加而減小，距離估計誤差隨聲源深度的增加緩慢減小。

圖5 聲源位置不同時的定位誤差分布Fig.5 Relative errors with different source locations

4 實驗結(jié)果

為了驗證定位算法在實際使用中的性能，對2009年的松花湖實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理。實驗環(huán)境如圖6(a)所示。

聲源位于水下10 m 處，接收水聽器布放于船舷一側(cè)水下4 m 處。聲源以1 s 為周期發(fā)射頻率7 kHz，脈寬為10 ms 的CW 脈沖信號。水聽器接收信號經(jīng)放大濾波后記錄到采集設(shè)備中。船上安裝有GPS 和測深儀，實時記錄船的位置與水深。圖6(b)中是實驗過程中測深儀測得的水深數(shù)據(jù)。從圖上可以看出，在距離聲源300 m 以內(nèi)的區(qū)域湖底地勢較為平坦，這一區(qū)域的平均水深為21 m，湖底起伏的均方位移為0.1 m，與發(fā)射信號的波長0.21 m 相比較小。根據(jù)對界面粗糙度的定義［14］，此時的湖底是小粗糙度界面，水底界面散射對反射的影響可以忽略，只考慮水底鏡反射。而300 m 以外靠近松花湖大壩，水深劇烈起伏，不再滿足單水聽器定位的條件，在這一區(qū)域無法得到理想的定位結(jié)果。

圖6 實驗環(huán)境及水深示意圖Fig.6 Illustration of experimental environment and depth data

圖7是接收信號與信道估計結(jié)果，從圖7(a)中可以看出，由于水面和水底反射的影響，接收信號展寬到300 ms 以上，圖7(b)是使用匹配濾波器的處理結(jié)果，由于匹配濾波器的時間分辨率約為信號的脈寬，在70 ms 時只有單個峰值。而POCS 算法對信道的幅度估計結(jié)果則清晰地顯示了3 個峰值，分別對應(yīng)直達(dá)波，水面反射和水底反射的到達(dá)時刻。由于發(fā)射換能器帶寬的限制，發(fā)射信號的脈寬較寬，此時POCS 算法的估計結(jié)果并不是理想的單位脈沖，而是具有一定時間寬度，這會帶來一定的時延估計誤差。分別求解對應(yīng)3 個峰值處沖激響應(yīng)的相位值，即可得到接收信號相對于發(fā)射信號的相移估計值。將估計結(jié)果代入(7)式和(9)式中即可計算出聲源深度和距離。

圖8是80 組數(shù)據(jù)的處理結(jié)果，圖8(a)是利用POCS 估計的水面反射和水底反射相對于直達(dá)波的相移統(tǒng)計結(jié)果，從圖上可以看出水底反射的相移介于0°～150° 之間，而水面反射的相移約為180°，這與理論分析的結(jié)果是相吻合的。聲源深度慢變化時，水面反射和水底反射的到達(dá)順序不會發(fā)生躍變。如果對短時間內(nèi)測量得到的多組數(shù)據(jù)同時進(jìn)行相位估計，再利用統(tǒng)計結(jié)果，即可清楚判斷水面反射和水底反射到達(dá)的先后次序。圖8(b)是深度估計結(jié)果，圖8(c)是距離估計結(jié)果，深度估計的均值為10.06 m，均方誤差為0.67 m，距離估計的均方誤差為25.8 m.

對實驗數(shù)據(jù)的處理結(jié)果表明:單水聽器定位方法在實際環(huán)境中是適用的。由于實驗條件的限制，實驗區(qū)域的湖底地形較為復(fù)雜，引起多途時延的變化，進(jìn)一步導(dǎo)致定位誤差增大。如果在淺海大陸架海域進(jìn)行實驗，由于洋流對海底的沖刷作用，海底地形較為平坦，使用單水聽器定位方法可以達(dá)到更高的定位精度。

圖8 80 組數(shù)據(jù)的處理結(jié)果Fig.8 80 data sets estimation results

5 結(jié)論

本文使用單水聽器，利用淺海環(huán)境中的直達(dá)波、水面反射和水底反射的時間差，實現(xiàn)了對單頻脈沖聲源的定位。POCS 算法可以正確估計出多途反射的到達(dá)時刻和相位，其分辨率優(yōu)于匹配濾波器，相位估計結(jié)果可以用于區(qū)分水面反射和水底反射，進(jìn)一步正確計算聲源位置。湖上實驗結(jié)果表明這種定位方法具有成本低廉，結(jié)構(gòu)簡單的優(yōu)點，具有一定應(yīng)用價值。此外，在使用多個浮標(biāo)進(jìn)行定位的長基線系統(tǒng)中，利用這種單水聽器定位方法，可以大幅度減小同步定位時，浮標(biāo)之間進(jìn)行時鐘和數(shù)據(jù)同步的工作量，提供了一種新的定位解算方案。

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