李明圣

（湛江師范學院物理科學與技術(shù)學院，廣東 湛江 524048）

在機械中，常用到由幾個基本周轉(zhuǎn)輪系或定軸輪系和周轉(zhuǎn)輪系組合而成的復合輪系。由于整個復合輪系不可能轉(zhuǎn)化成一個定軸輪系，所以不能只用一個公式來求解。計算復合輪系時，首先必須將各個基本周轉(zhuǎn)輪系和定軸輪系區(qū)分開來，然后分別列出方程式，最后聯(lián)立解出所要求的傳動比[1]。但是對初學者來說，不易區(qū)分周轉(zhuǎn)輪系和定軸輪系，計算傳動比過程也比較繁瑣。因此，本文從行星齒輪機構(gòu)的運動特性方程式出發(fā)，介紹了一種對行星齒輪機構(gòu)進行運動學和動力學分析的圖解方法-杠桿法，并應用杠桿法對汽車自動變速器中的典型行星齒輪機構(gòu)進行傳動比的分析。

1 行星齒輪機構(gòu)傳動的一般規(guī)律

單級行星齒輪系的傳動比計算可通過轉(zhuǎn)換將周轉(zhuǎn)輪系轉(zhuǎn)換成定軸輪系，然后按求解定軸輪系傳動比的方法來計算，如公式（1）。并可得出單級行星齒輪系的傳動比通用計算公式

根據(jù)能量守恒定律，三個元件（太陽輪、齒圈、行星架）上輸入和輸出的功率的代數(shù)和應等于零。得出單級行星齒輪機構(gòu)一般運動規(guī)律的特性方程式[2]：

其中：n1、n2、nH、κ1分別為太陽輪轉(zhuǎn)速、齒圈轉(zhuǎn)速、行星架轉(zhuǎn)速和齒圈與太陽輪的齒數(shù)比。

由于雙級行星齒輪機構(gòu)多一對行星輪外嚙合，因此公式（1）的負號變正號，傳動比的計算公式

雙級行星齒輪機構(gòu)一般運動規(guī)律的特性方程式：

有級變速的自動變速器采用的行星齒輪傳動是一種常嚙合傳動，其傳動比變換可通過分離與接合離合器或制動器而方便的實現(xiàn)，而且通過增減行星排內(nèi)行星齒輪的數(shù)目、行星排的數(shù)目，改變排與排之間的排列組合以及構(gòu)件間的連接和控制方式，可以得到較為理想的傳動比。傳動比計算方法通常采用解方程法，即根據(jù)式（2）或式（4）列出各行星排三元一次聯(lián)立方程，確定方程中各轉(zhuǎn)速的關(guān)系，輸入、輸出元件以及各排中的共體元件。具體為：先解出轉(zhuǎn)速為0的(有制動)單排方程，解出以共體元件為主函數(shù)的方程；再以此方程代入另一方程中的共體元件，就可將雙聯(lián)方程變?yōu)橹挥休斎搿⑤敵鲛D(zhuǎn)速的單列方程；將輸入轉(zhuǎn)速放在等號左邊，輸出轉(zhuǎn)速放在等號右邊，解出輸入軸轉(zhuǎn)速和輸出軸轉(zhuǎn)速關(guān)系的方程，再除去轉(zhuǎn)速，即得到輸入軸與輸出軸的速比。這種算法對單排和雙排行星齒輪傳動分析還比較簡單，但分析多排行星齒輪傳動時就比較困難了，特別是在判斷機構(gòu)可能實現(xiàn)的傳動比數(shù)目、各基本構(gòu)件、行星輪的相對轉(zhuǎn)速及力學和動力學問題時，非常困難。如果采用杠桿法進行分析，上述問題就變得容易，學生理解起來很輕松。

2 杠桿法的工作原理

2.1 單行星排齒輪傳動時杠桿圖

由于一個行星排由太陽輪、行星輪、齒圈及行星架構(gòu)成。根據(jù)其結(jié)構(gòu)特點將一個行星排等效為一個垂直杠桿和三個支點，三個支點分別代表太陽輪S、行星架PC和齒圈R。對于單行星行星排，由公式（3）和能量守恒定理可得出中間支點為行星架PC，兩端支點分別為S和R；對于雙行星行星排，由公式（5）和能量守恒定理可得出中間支點為齒圈R，兩端支點分別為PC和S。支點S和R距支點PC的長度分別與太陽輪齒數(shù)和齒圈齒數(shù)成反比，如圖1（a）、（b）所示為單行星行星排和雙行星行星排的杠桿圖，圖中為齒圈與太陽輪的齒數(shù)比?？梢杂酶軛U圖進行行星齒輪的轉(zhuǎn)速分析，建立xoy坐標系，三個支點按比例畫在y軸，x軸表示支點的轉(zhuǎn)速大小和方向，在這里假設(shè)輸入支點的轉(zhuǎn)速為1，方向朝x軸方向為正，相反為負，被固定支點的轉(zhuǎn)速為 0。如圖 2（a）、（b）所示，圖(a)為單行星行星排轉(zhuǎn)速分析圖，齒圈R輸入、太陽輪S被固定，行星架PC輸出，利用相似三角形定理，行星架的轉(zhuǎn)速nPC=κnR/（κ+1），屬于減速同向，與公式（3）計算結(jié)果一樣；圖(b)為雙行星行星排轉(zhuǎn)速分析圖，行星架PC輸入、太陽輪S被固定，齒圈R輸出，利用相似三角形定理，齒圈的轉(zhuǎn)速nR=（κ-1）nPC/κ，屬于減速同向，與公式（5）計算結(jié)果一樣，但杠桿法更簡單、直觀。

圖1 星排杠桿圖

圖2 星排轉(zhuǎn)速圖

2.2 多行星排行星齒輪傳動時杠桿圖

當多行星排并聯(lián)時，每個行星排視為一個垂直的杠桿和三個支點，行星排之間的構(gòu)件相互連接，在杠桿圖上視為各支點之間的連接。在處理時，根據(jù)需要，既可以將杠桿重疊，又可以將杠桿分開：重疊時，將相互連接的部分合并為一個點；將杠桿分開時，連接點用一水平線來表示。兩種情況都要對杠桿的力臂進行調(diào)整，調(diào)整時要保證連接部分合并點之間的力臂長度相等，并且各杠桿力臂長度比不變，這樣將多個行星排的杠桿圖合并為一個總杠桿圖，并在圖上標上離合器C、制動器B、單向離合器F以及輸入構(gòu)件i，輸出構(gòu)件o，即得多行星排并聯(lián)機構(gòu)的轉(zhuǎn)速杠桿圖[3]。如圖3所示為辛普森式行星齒輪機構(gòu)轉(zhuǎn)速圖，其中，（a）圖為行星齒輪機構(gòu)的示意圖；（b）圖為行星齒輪機構(gòu)轉(zhuǎn)速圖，C2B2（或F）接合得到1檔，連C2B2與PC1R2相交，交線段長度為輸出轉(zhuǎn)速的大小，方向與輸入同向。同樣方法，C2B1接合得到2檔，C2C1接合得到3檔，C1B2接合得到R檔。

圖3 辛普森式行星齒輪機構(gòu)轉(zhuǎn)速圖

圖4 拉威娜式行星齒輪機構(gòu)轉(zhuǎn)速圖

如圖4所示為拉威娜式行星齒輪機構(gòu)轉(zhuǎn)速圖。其中，（a）圖為拉威娜式行星齒輪機構(gòu)結(jié)構(gòu)的示意圖；（b）圖為拉威娜式行星齒輪機構(gòu)轉(zhuǎn)速圖，C2B2接合得到1檔，連C2B2與R相交，交線段長度為輸出轉(zhuǎn)速的大小，方向與輸入同向。同樣方法，C2B1接合得到2檔，C2C3接合得到3檔，C3B1接合得到4檔，C1B2接合得到R檔。各檔位傳動比的大小可通過相似三角形的方法求解。

2.3 各檔位下傳動比

參見圖 3（b）、圖 4（b），假設(shè)輸入件構(gòu)件的轉(zhuǎn)速為1，制動件構(gòu)件轉(zhuǎn)速為0，輸出構(gòu)件轉(zhuǎn)速為該檔位的轉(zhuǎn)速線的長度，方向與x軸向同為正，相反為負，利用相似三角形的關(guān)系，很快可以得出此時的傳動比。辛普森式自動變速器和拉威娜式自動變速器各檔傳動比的大小，如表1和表2所列。

表1 辛普森式自動變速器各檔傳動比

表2 拉威娜式自動變速器各檔傳動比

3 杠桿法的具體應用

現(xiàn)以ZF公司生產(chǎn)的5速電子控制自動變速器5HP-24為例，應用杠桿法來分析它的傳動路線及傳動比。

5HP-24自動變速器動力傳遞路線示意圖如圖5（a）所示。由圖可知，行星齒輪組由三個單級行星齒輪機構(gòu)組成。行星排1的行星架與行星排2的內(nèi)齒圈相連；行星排1的內(nèi)齒圈與行星排2的行星架及行星排3的內(nèi)齒圈相連；行星排2和行星排3的太陽輪相連。行星排3的行星架是動力輸出端。變速器內(nèi)部共有7個換擋執(zhí)行元件，包括3個離合器、3個制動器和1個單向離合器。

圖5 5HP-24自動變速器杠桿圖

3.1 建立5HP-24傳動機構(gòu)的杠桿圖

在三行星排并聯(lián)時，每個行星排視為一個垂直的杠桿和三個支點，行星排之間的構(gòu)件相互連接，在杠桿圖上視為各支點之間的連接。三行星排并聯(lián)時，在杠桿圖上有五個個支點，如圖5（b）所示，各支點的距離由行星輪的特性系數(shù)κ決定。

3.2 計算5HP-24傳動機構(gòu)各檔位下傳動比

合并圖 5（b）的杠桿圖，建立圖 5（c）所示的杠桿轉(zhuǎn)速圖。假設(shè)輸入件構(gòu)件的轉(zhuǎn)速為1，制動件構(gòu)件轉(zhuǎn)速為0，輸出構(gòu)件轉(zhuǎn)速為該檔位的轉(zhuǎn)速線的長度，方向與x軸向同為正，相反為負，利用相似三角形的關(guān)系，求各檔的傳動比。設(shè) AC= α、CE=b、ED=1、DB=c，其中，各檔的傳動比見表3。從轉(zhuǎn)速圖可知，三行星排這種并聯(lián)布置形式可實現(xiàn)六個前進檔，但這款變速器只采用前五檔。

表3 5HP-24自動變速器各檔傳動比

4 結(jié)束語

（1）在教學中，首先讓學生掌握杠桿法的工作原理，單行星齒輪排轉(zhuǎn)速分析圖的畫法，這點很重要，是應用杠桿法的關(guān)鍵。

（2）畫多行星排行星齒輪傳動時杠桿圖時，相互連接的部分重疊時合并為一個點，將杠桿分開時，連接點用一水平線來表示；保證連接部分合并點之間的力臂長度相等，并且各杠桿力臂長度比不變。

（3）杠桿法不但可以計算并聯(lián)行星齒輪排的傳動比，各構(gòu)件的相對轉(zhuǎn)速也可通過杠桿法轉(zhuǎn)速圖進行分析。

[1]楊可禎，程光蘊，李仲生.機械設(shè)計基礎(chǔ)[M].北京：高等教育出版社，2006．

[2]陳家瑞，馬天飛.汽車構(gòu)造[M].北京：人民交通出版社，2006.

[3]李興華，何國旗，等.效杠桿法分析行星齒輪傳動[J].機械傳動，2004，(1):44-45．