彭增軍

(西北大學(xué) 數(shù)學(xué)系， 陜西 西安 710127)

0 引言

聲波散射問題是一類重要的數(shù)學(xué)物理問題.R.Kress和D.Colton在文獻(xiàn)[1-3]中利用邊界積分方程對這類問題做了大量的研究,其中大部分是對于光滑邊界情況的研究,但是對于非光滑邊界情況的研究卻比較少.文獻(xiàn)[4,5]分別就一個尖角和四個尖角的情況進行了詳細(xì)的研究，受其啟發(fā)，本文利用位勢理論將該方法擴展到N個尖角的情形，從而使其更具有一般性和普遍性.

1 N個尖角的公式

顯然在角點處υ0(y)是不連續(xù)的.因此引入變量替換t=ω(s)，從而

υ0(t)=υ0(s)=(y1(ω(s)),y2(ω(s)))ω′(s)

若ω′(s)=0，即υ0(y)=0.這樣雙層位勢的核函數(shù)在尖角處是連續(xù)的而且等于零.因此處理尖角區(qū)域的聲波散射問題的關(guān)鍵就轉(zhuǎn)化為尋找變量替換t=ω(s)，滿足以下兩個條件：

(1)ω(s)是區(qū)間[0,2π]到區(qū)間[0,2π]上的單調(diào)遞增函數(shù)；

(2)在角點處ω(t)=t,ω′(s)=0.當(dāng)尖角區(qū)域只有一個尖角時，則不妨取角點處的變量為t=0，這時可以選取如下的變量替換

其中

其中0≤α1≤…≤αi≤…≤αn≤2π，p≥2，t為曲線上點與x軸正方向的夾角，αi(i=1,…,n)為尖角與x軸正方向的夾角.容易驗證變量替換t=ω(s)滿足以上兩個條件.

2 求解尖角區(qū)域的聲波散射問題

u=0, on ?D及Sommerfeld散射條件：

假定尖角在x0處.邊界?D{x0}為C2類逐段光滑的，尖角處的夾角γ:0<γ<2π，用單雙層位勢的混合形式來逼近散射波us

由文獻(xiàn)[4]單雙層位勢的跳躍關(guān)系定理得到如下邊界積分方程：

=2f

該方程可以簡單記為如下形式：

αφ+Kφ-iηSφ=2f

(1)

其中當(dāng)x=x0時，α(x)=γ0/π，當(dāng)x≠x0時，α(x)=1，γ0為x0點的內(nèi)角，f=-eikx·d.

假設(shè)?D可用參數(shù)方程表示為x(t)={x1(t),x2(t)}，0≤t≤2π，則(1)式可表示為參數(shù)形式：

其中ψ(t)=φ(x(t)),g(t)=2f(t)

(2)

(3)

其中

特別當(dāng)τ→t時

同時(1)式又可參數(shù)化為如下形式：

(4)

其中ψ(t)=φ(x(t)),g(t)=2f(t)

K1(t,τ)=L1(t,τ)+ikM1(t,τ)

K2(t,τ)=L2(t,τ)+ikM2(t,τ)

設(shè)t=ω(s)，τ=ω(σ)運用文獻(xiàn)[2]中的公式

代入(4)式，則

其中

下面將(4)式離散化.

假設(shè)邊界區(qū)域有N個角點，分別為xci(i=1,…,N)，運用文獻(xiàn)[2]中的矩形公式，(4)式最終化為下面形式

(5)

由函數(shù)的漸進性可得到(5)式對應(yīng)的遠(yuǎn)場模式為

3 數(shù)值算例

例1設(shè)邊界曲線的參數(shù)方程表達(dá)式為

例2設(shè)邊界曲線的參數(shù)方程表達(dá)式為

計算結(jié)果如表1和表2所示，其中k=1，p=8，d=(1,0) .例1和例2分別給出了一個尖角和四個尖角的例子，將其計算結(jié)果分別和文獻(xiàn)[4]與文獻(xiàn)[5]中的計算結(jié)果進行比較，證明該方法的有效性和可行性.

表1 例1的遠(yuǎn)場模式數(shù)值解

表2 例2的遠(yuǎn)場模式數(shù)值解

[1] Colton D.,Kress R. Integer equation methods in scattering theory[M].New York：Springer, 1983:35-135.

[2] Kress R.Liner integral equation[M].New York：Springer, 1989:49-96.

[3] Colton D.,Kress R. Integer inverse acoustic and electromagnetic scattering theory[M].New York：Springer，1992:45-77.

[4] Kress D.A. Nystrom method for boundary integral equations in domains with corners[J].Numer.Math，1990,58(2): 145-161.

[5] 孟文輝.快速多極邊界元方法研究及其在求解聲波傳播和散射問題中的應(yīng)用[D].西安：西北工業(yè)大學(xué)，2010:28-46.