戴向勝，馬建敏

(復(fù)旦大學(xué) 力學(xué)與工程科學(xué)系，上海 200433)

金屬圓柱殼是有效的吸能結(jié)構(gòu)之一，能在有限的壓縮空間內(nèi)產(chǎn)生塑性變形而吸收大量的能量，可以取得一般減振器所不能得到的減振效果，因此很多學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了研究，Alexander［1］提出了靜態(tài)塑性鉸模型，該模型是基于金屬圓柱殼的最終破壞模式提出的，假定所有的塑性鉸同時(shí)形成.而不考慮屈曲的過(guò)程，同時(shí)假設(shè)金屬圓柱殼的能量吸收有兩個(gè)部分，一個(gè)是彎曲變形能，另一個(gè)是拉伸變形能和壓縮變形能。Abramowicz和Jones［2］在研究中考慮了瞬時(shí)幾何構(gòu)型，并且提出有效壓縮長(zhǎng)度的概念，同時(shí)還考慮了沖擊載荷的應(yīng)變率效應(yīng)和應(yīng)變強(qiáng)化效應(yīng)。Wierzbicki和Bhat［3］提出了直鏈塑性鉸模型，并根據(jù)模型模擬出載荷-位移曲線，并且提出偏心率效應(yīng)，并給出不同偏心率的載荷-位移曲線，但其研究結(jié)果表明偏心率對(duì)吸能效率沒(méi)有影響。Singace［4］認(rèn)為吸能效率與偏心率有關(guān)，并給出最優(yōu)偏心率，給出了塑性鉸長(zhǎng)度和平均壓縮載荷。Karagiozova［5-7］應(yīng)用有限元研究了低速?zèng)_擊和高速?zèng)_擊下的金屬圓柱殼的響應(yīng)歷程。

上述文獻(xiàn)中沒(méi)有考慮到在沖擊載荷作用下的溫度效應(yīng)，在該效應(yīng)的作用下材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系會(huì)隨著金屬圓柱殼疊縮的進(jìn)行而發(fā)生相應(yīng)的變化，從而導(dǎo)致金屬圓柱殼吸收能量的計(jì)算結(jié)果不一樣，本文利用粘塑性理論在考慮溫度效應(yīng)下對(duì)圓柱殼的吸能情況進(jìn)行研究，提出分步疊縮法計(jì)算塑性變形能，并且得到該種情況下的載荷位移曲線，為實(shí)際工程運(yùn)用給出了一種金屬圓柱殼吸收能量的理論計(jì)算方法以及金屬圓柱殼減振效果的判斷依據(jù)。

1 模型的建立

1.1 幾何模型

塑性金屬圓柱殼的軸向壓縮破壞模式主要有軸對(duì)稱疊縮模式和非軸對(duì)稱疊縮模式。而破壞模式主要由直徑壁厚比決定，直徑壁厚比較大的發(fā)生非軸對(duì)稱破壞，反之發(fā)生軸對(duì)稱破壞，后者的比吸能一般較大，且破壞模式相對(duì)穩(wěn)定。非軸對(duì)稱模式屬于一種局部的失穩(wěn)，軸壓載荷不易預(yù)報(bào)，現(xiàn)有研究主要是針對(duì)發(fā)生軸對(duì)稱破壞模式的金屬殼進(jìn)行吸能特性的研究，本文所研究的圓柱殼直徑壁厚比符合軸對(duì)稱疊縮模式，而且金屬圓柱殼所受沖擊載荷是軸對(duì)稱的，因此假設(shè)所產(chǎn)生的變形也是軸對(duì)稱的;在沖擊載荷的作用下，整個(gè)圓柱殼根據(jù)沖擊載荷的大小、圓柱殼材料特性以及圓柱殼形狀的不同而發(fā)生不同的疊縮模式，本文主要研究發(fā)生如圖1所示疊縮過(guò)程的情況，該模型是在Singace模型［4］的基礎(chǔ)上提出的，整個(gè)疊縮過(guò)程分為兩個(gè)階段，依次為內(nèi)翻(Ⅰ)和外翻(Ⅱ)。

1.2 前提假設(shè)

(1)金屬圓柱殼所受沖擊載荷是軸對(duì)稱的，并且所產(chǎn)生的變形也是軸對(duì)稱的。

(2)整個(gè)疊縮過(guò)程絕熱的，沖擊載荷所作的功大部分轉(zhuǎn)為彎曲變形能和伸張變形能，其中伸張變形能是管壁沿周向方向受拉伸或壓縮而做功，彎曲變形能是塑性鉸在塑性彎矩的作用下發(fā)生彎曲所做的功。

(3)在沖擊載荷作用下金屬圓柱殼中熱量傳導(dǎo)在瞬時(shí)完成。

1.3 材料本構(gòu)的選擇

因?yàn)榻饘賵A柱殼在沖擊載荷的作用下是大變形、高應(yīng)變率和高溫條件下的流變行為，所以選擇Johnson-Cook本構(gòu)［8］，該本構(gòu)是由Johnson和Cook于1983年在位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)上提出的一個(gè)適用于金屬大變形、高應(yīng)變率和高溫條件下流變行為的本構(gòu)方程，其優(yōu)點(diǎn)是形式簡(jiǎn)單、使用方便。Johnson-Cook本構(gòu)的方程公式是:

2 塑性變形能的計(jì)算方法

整個(gè)過(guò)程是絕熱的，沖擊載荷所作的功大部分轉(zhuǎn)為熱量;這些熱量導(dǎo)致材料的溫度升高從而發(fā)生材料的溫度軟化效應(yīng)，為了把該溫度效應(yīng)考慮進(jìn)去，根據(jù)圖1中的角度(α和φ)的增加量把整個(gè)疊縮過(guò)程分為N步，即每個(gè)疊縮時(shí)圖1中的角度(α和φ)變化量是α0/N和φ0/N，而整個(gè)塑性變形能是每個(gè)疊縮的塑性變形能之和。

在計(jì)算第I個(gè)疊縮時(shí)金屬圓柱殼所吸收能量時(shí)，因?yàn)樵诘?個(gè)到第I-1個(gè)疊縮每個(gè)疊縮完成時(shí)載荷所作的塑性功會(huì)使得材料的溫度上升，即公式(1)中的T發(fā)生變化，材料的σp也發(fā)生相應(yīng)的變化，所以在計(jì)算第I個(gè)疊縮的塑性變形能時(shí)，應(yīng)使用變化之后的等效應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，T的計(jì)算方法見公式(16)。

2.1 塑性變形能計(jì)算

在第I個(gè)疊縮中的變形能包括彎曲變形能和伸張變形能兩個(gè)部分，以下是這兩個(gè)部分的計(jì)算方法:

2.1.1 第I個(gè)疊縮中彎曲變形能計(jì)算

在疊縮過(guò)程中有三個(gè)塑性鉸，每個(gè)塑性鉸的應(yīng)變率不同，所以相應(yīng)的等效塑性應(yīng)力也不同，因此計(jì)算公式分別是:

圖1 圓柱殼的疊縮過(guò)程Fig.1 The fold formation of the tube

式中在i=1，2，3時(shí)分別對(duì)應(yīng)圖1中的塑性鉸B，C，D;Ri是三個(gè)塑性鉸沿著圓柱殼半徑方向的發(fā)生變形之后到軸線的距離，MIi是三個(gè)塑性鉸單位長(zhǎng)度全塑性彎矩，θi是三個(gè)塑性鉸轉(zhuǎn)動(dòng)角度;

對(duì)應(yīng)的三個(gè)塑性鉸式中的參數(shù)分別是:

在圓柱殼塑性變形中沿著厚度方向的應(yīng)變遠(yuǎn)小于其它兩個(gè)方向的應(yīng)變，并且在薄殼理論中有切平面應(yīng)力假設(shè)，因此可以假設(shè)沿著厚度方向應(yīng)變?yōu)榱?對(duì)塑性變形可以假設(shè)塑性體積在變形的過(guò)程中是不變的從而有:ε1+ ε2+ ε3=0;式中 ε1、ε2、ε3分別是塑性鉸所在的部分的三個(gè)主應(yīng)變;

ε1是沿著圓柱殼周長(zhǎng)方向的應(yīng)變;ε2是沿著圓柱殼長(zhǎng)度方向的應(yīng)變;ε3是沿著圓柱殼厚度方向的應(yīng)變，所以有:

式中R是圓柱殼原始半徑;在i=1，2，3 時(shí)，ε1、ε2、ε3分別對(duì)應(yīng)的是三個(gè)塑性鉸B、C、D的三個(gè)主應(yīng)力。

根據(jù)等效塑性應(yīng)變的計(jì)算公式，則第I個(gè)疊縮中的三個(gè)塑性鉸B、C、D的等效塑性應(yīng)變分別是

在i=1時(shí)對(duì)應(yīng)是塑性鉸B所在的部分的等效塑性應(yīng)變;在i=2時(shí)對(duì)應(yīng)是塑性鉸C所在的部分的等效塑性應(yīng)變;在i=3時(shí)對(duì)應(yīng)是塑性鉸D所在的部分的等效塑性應(yīng)變。

其中T*中所使用到的TI是根據(jù)式(16)得到的;是金屬圓柱殼的平均應(yīng)變率［9］，該參數(shù)是根據(jù)下式計(jì)算得到:

式(7)中的是金屬圓柱殼在疊縮過(guò)程中的平均疊縮速度;

疊縮長(zhǎng)度［4］H是根據(jù)下式計(jì)算得到:

綜上有第I個(gè)疊縮中彎曲變形能是:

2.1.2 第I個(gè)疊縮中的伸張變形能

整個(gè)的疊縮包括BC段和CD段，設(shè)微元 dl是沿BC段和CD段線段方向上的微元，則該微元所吸收的伸張變形能計(jì)算公式是:

則BC段所消耗的伸張變形能則是:

CD段所消耗的伸張變形能則是:

則第I個(gè)疊縮中伸張變形能是BC段和CD段所消耗的伸張變形能之和，所以根據(jù)式(11)和式(12)有:

2.1.3 第I個(gè)疊縮所吸收的總能量

根據(jù)式(9)和式(13)，可以得到圖1中第I個(gè)疊縮中總能量是:

2.2 第I個(gè)疊縮中沖擊載荷導(dǎo)致溫度升高值

在高應(yīng)變率、大變形的情況下，溫度的升高可用下式進(jìn)行計(jì)算［10］:

式中:ρ為材料密度、Cv為比熱容、εp為等效塑性應(yīng)變、σp為等效塑性應(yīng)力、β≈0.9為塑性功轉(zhuǎn)化為試件溫升的比例，γ1和γ2分別是第I個(gè)疊縮的等效塑性應(yīng)變的下限(終止)值和上限(開始)值，在計(jì)算時(shí)等效塑性應(yīng)變分別取BC段和CD段中點(diǎn)的塑性應(yīng)變。

則第I-1個(gè)疊縮中沖擊載荷導(dǎo)致溫度升高值是ΔT，則在計(jì)算第I個(gè)疊縮時(shí)所使用的溫度是TI:

3 疊縮過(guò)程中的平均載荷和瞬時(shí)載荷

3.1 疊縮過(guò)程中的平均載荷

可以利用計(jì)算得到的整個(gè)過(guò)程的總變形能和圓柱殼端點(diǎn)的垂直位移計(jì)算疊縮過(guò)程中的平均載荷:

E是整個(gè)過(guò)程的總變形能，δ是圓柱殼端點(diǎn)的垂直位移。

3.2 疊縮過(guò)程中的瞬時(shí)載荷

可用第I個(gè)疊縮中變形能的增加量ΔE(I)和位移的變化量Δδ(I)計(jì)算第I個(gè)疊縮中瞬時(shí)載荷:

所有疊縮中的瞬時(shí)載荷就是整個(gè)變形過(guò)程中的瞬時(shí)載荷，通過(guò)上式可以得到瞬時(shí)載荷-位移曲線，而依據(jù)該曲線即可判斷減振效果，瞬時(shí)載荷的最大值越小減振效果越好，曲線越平緩減振效果越好。

4 鋁合金圓柱殼算例

根據(jù)本文提出的塑性變形能的計(jì)算方法，對(duì)材料是2024Al鋁合金圓柱殼進(jìn)行計(jì)算，其參數(shù)如下:

Johnson-Cook本構(gòu)參數(shù):A=218 MPa、B=546 MPa、C=0.038、m=3.73、n=0.355;(2)幾何參數(shù)是:內(nèi)徑49.5 mm、外徑50.5 mm、平均直徑50 mm、半徑25 mm;壁厚1 mm、偏心率λ=0.65，計(jì)算結(jié)果如下:

(1)不同的沖擊速度下鋁合金圓柱殼在疊縮過(guò)程中所吸收的能量(見圖2)

從圖中可以得到總的能量隨著沖擊速度的不同而不同;當(dāng)沖擊速度是5 000 m/s時(shí)是285J，而不考慮沖擊載荷效應(yīng)的是108J。

(2)不同的沖擊速度下鋁合金圓柱殼在疊縮過(guò)程中溫度的增加值(見圖3)

從圖中可以得到隨著沖擊速度的增加，圓柱殼在疊縮過(guò)程中溫度的增加值也是增加的。

(3)不同的鋁合金圓柱殼厚度下疊縮過(guò)程中所吸收的能量(見圖4)

(4)不同的鋁合金圓柱殼半徑下疊縮過(guò)程中所吸收的能量(見圖5)

(5)鋁合金圓柱殼疊縮過(guò)程中的平均載荷和瞬時(shí)載荷

① 疊縮過(guò)程中的平均載荷

而不考慮沖擊載荷效應(yīng)的平均載荷是8.6 kN。

② 疊縮過(guò)程中的瞬時(shí)載荷(見圖6)

5 結(jié)論

(1)金屬圓柱殼在沖擊載荷的作用下(材料假設(shè)為粘塑性材料)其疊縮過(guò)程中總的吸收能量、平均載荷以及瞬時(shí)載荷-位移曲線都比把載荷假設(shè)為準(zhǔn)靜態(tài)(材料假設(shè)為剛塑性)的數(shù)值更大，從而和實(shí)際更為接近;

(2)金屬圓柱殼所吸收的能量和疊縮過(guò)程中的速度、金屬圓柱殼的厚度、半徑有關(guān);金屬圓柱殼的疊縮過(guò)程中的速度越大，金屬圓柱殼的厚度越大、半徑越大，所吸收的能量越大。

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