劉麗蘭，劉宏昭，吳子英，王建平

(西安理工大學(xué) 機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院，西安 710048)

進(jìn)給伺服系統(tǒng)作為數(shù)控機(jī)床的核心組成部分，是一種精密的位置跟蹤與定位系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)精度和定位精度直接關(guān)系到機(jī)床的加工精度和表面質(zhì)量。然而，由于相對(duì)移動(dòng)部件間存在著摩擦，特別是在低速進(jìn)給情況下，非線性摩擦的靜、動(dòng)摩擦力存在差值及Stribeck效應(yīng)，使機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)及靜態(tài)性能受到很大影響，這主要表現(xiàn)為低速時(shí)出現(xiàn)爬行現(xiàn)象，穩(wěn)態(tài)時(shí)有較大的靜差或出現(xiàn)極限環(huán)振蕩等［1］。這些行為破壞了進(jìn)給運(yùn)動(dòng)的準(zhǔn)確性和連續(xù)性，極大地影響了工件表面的加工精度。

對(duì)機(jī)床進(jìn)給伺服系統(tǒng)準(zhǔn)確地建模與分析是設(shè)計(jì)高性能機(jī)床、預(yù)測(cè)其行為的重要前提。許多學(xué)者在該方面做了大量的研究工作［2-4］。本文針對(duì)某大型數(shù)控車床在低速進(jìn)給時(shí)存在的爬行現(xiàn)象，對(duì)其建立合理的考慮摩擦和剛度影響的數(shù)學(xué)模型，通過數(shù)值仿真分析低速進(jìn)給下導(dǎo)致系統(tǒng)爬行的原因，并進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)實(shí)驗(yàn)予以驗(yàn)證，從而為提出消減爬行的合理措施提供理論與實(shí)驗(yàn)依據(jù)。

1 橫向進(jìn)給伺服系統(tǒng)描述

圖1 伺服進(jìn)給系統(tǒng)機(jī)械結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Mechanical schematic of the feed servo system

某型號(hào)數(shù)控車床為兩軸聯(lián)動(dòng)，其橫向進(jìn)給伺服系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1所示。采用伺服電機(jī)經(jīng)二級(jí)齒輪減速箱驅(qū)動(dòng)滾珠絲杠旋轉(zhuǎn)，絲杠通過螺母副實(shí)現(xiàn)工作臺(tái)的直線運(yùn)動(dòng)。工作臺(tái)處采用貼塑導(dǎo)軌，運(yùn)行過程中為滑動(dòng)摩擦。齒輪減速箱總傳動(dòng)比為6，采用雙片斜齒輪增加墊片的方法消除間隙。滾珠絲杠導(dǎo)程16 mm，直徑80 mm，總長(zhǎng)1.773 m，采用兩端止推的支撐方式。交流伺服電機(jī)為西門子系列電機(jī)，調(diào)速范圍0～1 500 r/min。系統(tǒng)采用全閉環(huán)控制，包括電流環(huán)、速度環(huán)和位置環(huán)三環(huán)控制，各控制環(huán)采用不同算法時(shí)其運(yùn)動(dòng)精度與定位精度會(huì)有差別。

2 橫向進(jìn)給伺服系統(tǒng)建模

2.1 數(shù)學(xué)模型

為研究進(jìn)給系統(tǒng)的輸出特性，需建立正確的數(shù)學(xué)模型。對(duì)于圖1所示的數(shù)控機(jī)床進(jìn)給伺服系統(tǒng)，由于其主要運(yùn)動(dòng)形式為轉(zhuǎn)動(dòng)和移動(dòng)，因此將轉(zhuǎn)動(dòng)部件軸Ⅰ、軸Ⅱ、和軸Ⅲ向電機(jī)軸等效，建立該系統(tǒng)的簡(jiǎn)化力學(xué)模型如圖2所示。等效后系統(tǒng)具有電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)和工作臺(tái)的移動(dòng)兩個(gè)自由度。該力學(xué)模型既涵蓋了各個(gè)傳動(dòng)環(huán)節(jié)的運(yùn)動(dòng)特性又簡(jiǎn)單便于分析。

圖2 簡(jiǎn)化力學(xué)模型Fig.2 Mechanical model of the feed system

下面根據(jù)圖2的力學(xué)模型建立其數(shù)學(xué)模型。

首先，交流伺服電機(jī)在負(fù)載作用下進(jìn)行旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，建立系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)方程為:

式中:Jm為等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;θm為電機(jī)輸入轉(zhuǎn)角;Cm為等效粘性阻尼系數(shù);TL為電機(jī)負(fù)載轉(zhuǎn)矩;kt為電機(jī)轉(zhuǎn)角常數(shù);i為電機(jī)輸入電流。等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與等效粘性阻尼系數(shù)可由下式計(jì)算:

式中:J1為軸Ⅰ的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;J2為軸Ⅱ的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;J3為軸Ⅲ的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;C1為軸Ⅰ的粘性阻尼系數(shù);C2為軸Ⅱ的粘性阻尼系數(shù);C3為軸Ⅲ的粘性阻尼系數(shù);i1為齒輪1和齒輪2的傳動(dòng)比;i2為齒輪3和齒輪4的傳動(dòng)比。

電機(jī)軸與絲杠之間由于扭轉(zhuǎn)變形產(chǎn)生的角度偏差為:

式中，θs為絲杠轉(zhuǎn)角。

電機(jī)負(fù)載轉(zhuǎn)矩為:

式中，Kθ為等效扭轉(zhuǎn)剛度，由下式計(jì)算。

式中:Kgθ1為軸Ⅰ的扭轉(zhuǎn)剛度;Kgθ2為軸Ⅱ的扭轉(zhuǎn)剛度;Kgθ3為軸Ⅲ的扭轉(zhuǎn)剛度;Kbθ為絲杠軸的扭轉(zhuǎn)剛度，計(jì)算式為:

式中:a為載荷作用點(diǎn)距離絲杠左端支撐的長(zhǎng)度。

如圖3所示，由于工作臺(tái)在運(yùn)行過程中，a是變化的，所以，絲杠軸的扭轉(zhuǎn)剛度會(huì)隨著工作臺(tái)的位置變化而變化。同時(shí)，電機(jī)負(fù)載轉(zhuǎn)矩TL用以驅(qū)動(dòng)工作臺(tái)軸向運(yùn)動(dòng)，有:

圖3 工作臺(tái)進(jìn)給位置示意圖Fig.3 Position of the worktable

式中:Fd為工作臺(tái)直線運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)力;r為轉(zhuǎn)動(dòng)與移動(dòng)之間的轉(zhuǎn)換比;l為絲杠的導(dǎo)程;η為傳遞效率，取η=1。

在電機(jī)轉(zhuǎn)矩的驅(qū)動(dòng)下，絲杠的轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為螺母(工作臺(tái))的軸向移動(dòng)，但由于軸向彈性變形二者存在位移差，因此工作臺(tái)的驅(qū)動(dòng)力Fd為:

式中:xs為絲杠轉(zhuǎn)化的軸向位移，xs=rθs;xt為工作臺(tái)的位移;K1為工作臺(tái)的等效軸向剛度。K1由下式計(jì)算:

式中:Kb為滾珠絲杠的軸向剛度;Kn為螺母組件剛度;Kz為螺母支架和軸承支架軸向剛度;2Kc為一對(duì)支撐軸承的軸向剛度。

滾珠絲杠軸向剛度計(jì)算式為:

式中:A為絲杠軸截面面積;E為楊氏模量;L為絲杠軸支撐間的跨距。

由式(11)可見，當(dāng)a變化時(shí)，絲杠軸的軸向剛度也隨之變化，且當(dāng)a=L/2時(shí)Kb最小。

該進(jìn)給伺服系統(tǒng)的綜合等效傳動(dòng)剛度Ke可由等效扭轉(zhuǎn)剛度Kθ和等效軸向剛度Kl獲得:

滾珠絲杠的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)通過螺母轉(zhuǎn)換為工作臺(tái)的直線移動(dòng)，建立工作臺(tái)的運(yùn)動(dòng)方程為:

式中:Mt為工作臺(tái)質(zhì)量;Ct為工作臺(tái)阻尼系數(shù);Ff為摩擦力。

結(jié)合系統(tǒng)控制形式，可建立系統(tǒng)電流方程為:

式中:L為電動(dòng)機(jī)電感;R為電動(dòng)機(jī)電阻;kpp為位置環(huán)增益;kv為速度指令調(diào)整增益;kvp為速度環(huán)增益;kip為電流環(huán)增益;kemf為反電動(dòng)勢(shì);xr為系統(tǒng)輸入目標(biāo)位置;e為位移誤差，e(t)=xr(t)-xt(t)。

由以上建?？梢钥闯觯坏┫到y(tǒng)結(jié)構(gòu)形式和控制參數(shù)確定以后，摩擦力是影響工作臺(tái)輸出的關(guān)鍵因素。此外，由于工作臺(tái)在運(yùn)行過程中與絲杠的相對(duì)位置發(fā)生變化導(dǎo)致絲杠的軸向剛度和扭轉(zhuǎn)剛度變化，從而引起綜合傳動(dòng)剛度變化，也會(huì)影響到工作臺(tái)的輸出運(yùn)動(dòng)。因此考慮摩擦對(duì)工作臺(tái)輸出影響的同時(shí)，分析傳動(dòng)剛度對(duì)工作臺(tái)輸出的貢獻(xiàn)也很重要。

2.2 摩擦模型

摩擦非線性將對(duì)進(jìn)給系統(tǒng)工作臺(tái)的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生重要影響。由于工作臺(tái)質(zhì)量較大，且其與導(dǎo)軌間存在滑動(dòng)摩擦，受摩擦力作用較其他部位更加明顯，因此本文主要考慮工作臺(tái)與導(dǎo)軌間滑動(dòng)摩擦。

LuGre模型描述了諸多摩擦現(xiàn)象，包括庫(kù)侖摩擦、粘性摩擦、預(yù)滑動(dòng)、可變靜摩擦力、Stribeck摩擦和摩擦滯后等，較其它模型更能全面體現(xiàn)真實(shí)摩擦現(xiàn)象，是目前應(yīng)用最為廣泛的一種動(dòng)態(tài)摩擦模型。此處采用LuGre 摩擦模型［5］。

LuGre模型中摩擦力由鬃毛的變形產(chǎn)生，描述為:

式中:σ0為鬃毛剛度;σ1為微觀阻尼系數(shù);σ2為粘性摩擦系數(shù);z為鬃毛平均變形，其變形量z表示為:

其中，函數(shù)g(v)描述了 Stribeck效應(yīng)［6］:

式中:v為相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度;vs為Stribeck速度;fc為庫(kù)侖摩擦力;fs為最大靜摩擦力。

3 數(shù)值仿真

由于獲取實(shí)際進(jìn)給系統(tǒng)所有物理參數(shù)的難度很大，因此基于已建立的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，采用數(shù)值仿真方法就摩擦和剛度對(duì)工作臺(tái)輸出的影響進(jìn)行定性地分析。采用Simulink軟件建立含摩擦的兩自由度系統(tǒng)的閉環(huán)控制框圖如圖4所示，仿真數(shù)據(jù)如表1所列。

圖4 進(jìn)給系統(tǒng)控制框圖Fig.4 Control schematic of the feed servo system

表1 仿真數(shù)據(jù)Tab.1 Simulation data

3.1 靜動(dòng)摩擦力差值與爬行

靜動(dòng)摩擦力存在差異是非線性摩擦的一個(gè)重要特點(diǎn)，它會(huì)對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能產(chǎn)生很大影響。而靜動(dòng)摩擦力差值的大小是衡量這種影響程度的關(guān)鍵因素。令靜動(dòng)摩擦力的比值為:

為了分析靜動(dòng)摩擦力差值與工作臺(tái)爬行運(yùn)動(dòng)的關(guān)系，表2給出了在fc=15 N及Ke=0.2 N/μm的條件下，h從1.2變化到1.8時(shí)系統(tǒng)開始發(fā)生爬行運(yùn)動(dòng)的臨界爬行速度。根據(jù)表2繪出的變化趨勢(shì)曲線見圖5。

表2 靜動(dòng)摩擦力比值與臨界爬行速度的對(duì)應(yīng)數(shù)值Tab.2 Values of the ratios of the static to kinematic friction and critical stick－slip velocity

由圖5看出，傳動(dòng)剛度恒定時(shí)，靜動(dòng)摩擦力比值的變化對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為產(chǎn)生的影響較大。隨著h的增加，即靜動(dòng)摩擦力差異的加大，工作臺(tái)的臨界爬行速度也隨之增加，尤其在h=1.3時(shí)較h=1.2時(shí)臨界爬行速度增加的幅度較大。這種變化導(dǎo)致工作臺(tái)在低進(jìn)給速度下更容易發(fā)生爬行運(yùn)動(dòng)，從而使工作臺(tái)進(jìn)給速度的下限范圍受到了限制。因此，減小靜動(dòng)摩擦力的差距是減小系統(tǒng)爬行行為的一項(xiàng)重要措施。

圖5 靜動(dòng)摩擦力比值與臨界爬行速度關(guān)系曲線Fig.13 Relation curve of the ratio of the static to kinematic friction versus critical stick-slip velocity

3.2 傳動(dòng)剛度與爬行

為了進(jìn)一步分析剛度與工作臺(tái)臨界爬行速度之間的關(guān)系，通過反復(fù)多次仿真，表3給出了在fc=15 N、h=1.6及綜合等效傳動(dòng)剛度Ke從 0.4 N/μm 變化到1.6 N/μm的情況下，進(jìn)給伺服系統(tǒng)發(fā)生臨界爬行時(shí)的速度數(shù)值。

表3 綜合等效傳動(dòng)剛度與臨界爬行速度對(duì)應(yīng)數(shù)值Tab.3 Values of the equivalent stiffness and critical stick slip velocity

圖6 綜合等效傳動(dòng)剛度與臨界爬行速度的關(guān)系曲線Fig.6 Relation curve of equivalent stiffness versus critical stick-slip velocity

根據(jù)表3，圖6繪出了綜合等效傳動(dòng)剛度與工作臺(tái)臨界爬行速度關(guān)系曲線。從圖中看出，在靜動(dòng)摩擦力差值不變的情況下，隨著剛度的增加工作臺(tái)發(fā)生爬行的臨界速度逐漸降低，但其減小的幅度逐漸變小。說明在受摩擦非線性影響的進(jìn)給系統(tǒng)中，傳動(dòng)剛度的變化也會(huì)影響工作臺(tái)的輸出。適當(dāng)?shù)卦黾泳C合等效傳動(dòng)剛度，主要是絲杠的剛度，可使進(jìn)給系統(tǒng)在較低的進(jìn)給速度下避免爬行。這對(duì)于高精度、低進(jìn)給要求的機(jī)床加工非常有利。

4 實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證對(duì)該類型機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)的建模與數(shù)值分析得到的定性結(jié)果的正確性，現(xiàn)以某大型數(shù)控車床橫向進(jìn)給系統(tǒng)為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，測(cè)量工作臺(tái)在較低進(jìn)給速度下的臨界爬行速度，分析剛度變化與臨界爬行速度之間的關(guān)系。

4.1 測(cè)試方法

數(shù)控機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)及測(cè)試裝置如圖7所示。實(shí)驗(yàn)中主要使用英國(guó)Renishaw XL激光干涉儀進(jìn)行動(dòng)態(tài)測(cè)量。測(cè)試過程中機(jī)床主軸停止轉(zhuǎn)動(dòng)，橫向進(jìn)給系統(tǒng)空載運(yùn)行。

(1)工作臺(tái)行程為1 000 mm，測(cè)試共取8個(gè)位置作為測(cè)點(diǎn)，如圖8所示。

(2)在每個(gè)測(cè)點(diǎn)處編制機(jī)床控制程序使工作臺(tái)沿著軸線勻速運(yùn)動(dòng)。首先從較高進(jìn)給速度開始運(yùn)行，運(yùn)行時(shí)間為10.2 s，采用Renishaw XL激光干涉儀測(cè)量工作臺(tái)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。觀察工作臺(tái)有無爬行行為，若無爬行發(fā)生，重新設(shè)定進(jìn)給速度驅(qū)動(dòng)工作臺(tái)運(yùn)動(dòng)，進(jìn)給速度以0.1 mm/min的步長(zhǎng)遞減，直至發(fā)現(xiàn)工作臺(tái)出現(xiàn)爬行現(xiàn)象。記錄測(cè)點(diǎn)位置及臨界爬行速度數(shù)據(jù)。

圖9 第1測(cè)點(diǎn)響應(yīng)信號(hào)Fig.9 Responses of the test point 1

通過反復(fù)測(cè)量得到了各個(gè)測(cè)點(diǎn)處工作臺(tái)發(fā)生臨界爬行運(yùn)動(dòng)時(shí)的位移和速度響應(yīng)信號(hào)，其中第1測(cè)點(diǎn)的位移和速度響應(yīng)信號(hào)如圖9(a)、(b)所示。

4.2 測(cè)試結(jié)果

表4給出了在各個(gè)測(cè)點(diǎn)處工作臺(tái)的臨界爬行速度。根據(jù)廠家提供的該型數(shù)控機(jī)床進(jìn)給伺服系統(tǒng)的相關(guān)數(shù)據(jù)，由式(12)可以計(jì)算出工作臺(tái)位于8個(gè)測(cè)點(diǎn)處時(shí)進(jìn)給系統(tǒng)的綜合等效傳動(dòng)剛度Ke列于表4中。并且，為了更直觀地表達(dá)各個(gè)量之間的關(guān)系，圖10繪出了臨界爬行速度、綜合等效傳動(dòng)剛度與工作臺(tái)位置之間的關(guān)系曲線。

表4 測(cè)量與計(jì)算數(shù)據(jù)匯總Tab.4 Measured and computed data

圖10 臨界爬行速度、綜合等效傳動(dòng)剛度與工作臺(tái)進(jìn)給位置的關(guān)系Fig.10 Relationship of critical stik-slip velocity，equivalent stiffness and the position of the worktable

從圖10中的“—*—”曲線可以看出，低速進(jìn)給下，在8個(gè)測(cè)點(diǎn)處工作臺(tái)發(fā)生爬行的臨界進(jìn)給速度是不同的，越接近絲杠中點(diǎn)位置臨界爬行速度越大(第3測(cè)點(diǎn)稍有差異)。原因由于工作臺(tái)在運(yùn)行中處于絲杠的不同位置，每一測(cè)點(diǎn)的傳動(dòng)剛度不同，如圖10中的“—o—”曲線，綜合等效傳動(dòng)剛度由絲杠兩端向絲杠中間位置逐漸減小。8個(gè)測(cè)點(diǎn)處的摩擦條件和控制參數(shù)一致，因此可以判斷是綜合等效傳動(dòng)剛度的變化導(dǎo)致了工作臺(tái)臨界爬行速度的變化，且有綜合等效傳動(dòng)剛度降低，臨界爬行速度增大的趨勢(shì)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果與第3.2節(jié)的數(shù)值仿真分析結(jié)果一致，從而驗(yàn)證了本文對(duì)數(shù)控機(jī)床進(jìn)給伺服系統(tǒng)的理論建模與分析是合理適用的。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果可為該類型的數(shù)控機(jī)床避免低速進(jìn)給下工作臺(tái)發(fā)生爬行的現(xiàn)象提供一種解決方案，即在經(jīng)濟(jì)性和結(jié)構(gòu)方面允許的前提下盡可能地提高滾珠絲杠的剛度。

5 結(jié)論

針對(duì)某型號(hào)數(shù)控車床的進(jìn)給伺服系統(tǒng)在低速進(jìn)給下出現(xiàn)爬行的問題，對(duì)其建立了完善的數(shù)學(xué)模型。模型中充分考慮了非線性摩擦和傳動(dòng)剛度的影響。通過數(shù)值仿真，著重分析了靜動(dòng)摩擦力比值和綜合等效傳動(dòng)剛度對(duì)進(jìn)給工作臺(tái)輸出運(yùn)動(dòng)的影響規(guī)律。仿真結(jié)果表明，靜動(dòng)摩擦力差異是導(dǎo)致爬行現(xiàn)象的重要原因，差值越大越容易引起爬行運(yùn)動(dòng)。而傳動(dòng)剛度變化則會(huì)改變產(chǎn)生爬行的條件，剛度越大，發(fā)生爬行所需的靜動(dòng)摩擦力差值就越大。在靜動(dòng)摩擦力差異不變的情況下，剛度增加系統(tǒng)臨界爬行速度隨之降低，有利于系統(tǒng)穩(wěn)定。現(xiàn)場(chǎng)實(shí)驗(yàn)與數(shù)值仿真的結(jié)果趨勢(shì)基本一致，表明本文的理論建模與分析是合理、有效的。

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