林 超，俞松松，程 凱，王勇勤，崔新輝，陶友淘

(重慶大學(xué) 機(jī)械傳動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)試驗(yàn)室，重慶 400030)

目前，在高精密領(lǐng)域，尤其在納米技術(shù)中，微/納米傳動(dòng)平臺(tái)的地位越來(lái)越高，比如微/納米圖像成型［1］、生物工程與醫(yī)療器械［2］、掃描探針顯微鏡檢測(cè)［3］、光學(xué)器件微裝配［4］、MEMS 的微制造［5］等。同時(shí)，也對(duì)傳動(dòng)平臺(tái)的提出了諸多設(shè)計(jì)要求，既要求平臺(tái)具有大行程、納米級(jí)分辨率及良好的緊湊性，又要具有高穩(wěn)定性、高帶寬、高速及高加速等優(yōu)點(diǎn)［6］?；趬弘娞沾沈?qū)動(dòng)和柔性機(jī)構(gòu)的平臺(tái)［7-9］，可克服機(jī)械摩擦、機(jī)械間隙，近年來(lái)，已得到了越來(lái)越廣泛的應(yīng)用。林超等［10］設(shè)計(jì)了5自由度微/納米傳動(dòng)平臺(tái)，由壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)，利用柔性機(jī)構(gòu)彈性變形實(shí)現(xiàn)高精密傳動(dòng)，可滿足納米級(jí)分辨率的設(shè)計(jì)要求。但是，平臺(tái)的高速高加速和高精度是相互矛盾的，由于柔性機(jī)構(gòu)的彈性，在實(shí)際工作中不可避免地會(huì)產(chǎn)生振動(dòng)［11］，嚴(yán)重影響平臺(tái)的動(dòng)態(tài)性能、傳動(dòng)精度和疲勞壽命。同時(shí)，平臺(tái)在高速高加速情況下，具有較為明顯的時(shí)變模態(tài)特性［12］，而利用模態(tài)試驗(yàn)分析對(duì)模態(tài)參數(shù)辨識(shí)的方法［13］，可應(yīng)用于平臺(tái)結(jié)構(gòu)性能的評(píng)價(jià)、結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)修改和優(yōu)化設(shè)計(jì)等研究中，模態(tài)試驗(yàn)識(shí)別出的模態(tài)參數(shù)對(duì)提高平臺(tái)的精度和可靠性起著重要作用［14］。

本文針對(duì)5-DOF微/納米傳動(dòng)平臺(tái)，采用理論動(dòng)力學(xué)建模和有限元方法，對(duì)平臺(tái)的模態(tài)和振動(dòng)進(jìn)行了研究，并分析了柔性板簧厚度、長(zhǎng)度對(duì)平臺(tái)固有頻率的影響，得到了其變化規(guī)律。通過優(yōu)化柔性板簧厚度、長(zhǎng)度設(shè)計(jì)的兩個(gè)平臺(tái)，分別對(duì)其進(jìn)行了模態(tài)試驗(yàn)分析，闡述了模態(tài)試驗(yàn)過程和方法，并識(shí)別出了兩個(gè)平臺(tái)的固有頻率、阻尼比和模態(tài)振型等模態(tài)參數(shù)，為平臺(tái)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)、控制方法提供了試驗(yàn)依據(jù)。

1 動(dòng)力學(xué)建模

設(shè)計(jì)的5自由度微/納米傳動(dòng)平臺(tái)，如圖1所示，由于平臺(tái)是由整塊金屬材料經(jīng)鉆、銑、磨及線切割等工藝加工而成的一體式結(jié)構(gòu)，無(wú)須機(jī)械安裝，且6個(gè)柔性分支之間由柔性板簧(線切割去除兩側(cè)多余金屬而成)連接，通過4個(gè)安裝固定孔將平臺(tái)固定在基座上，安裝固定孔的下端銑有凸臺(tái)，將平臺(tái)懸置，如圖2(a)所示，避免了平臺(tái)與基座之間的摩擦，因此阻尼非常小(幾乎為0)，可將平臺(tái)視為無(wú)阻尼的多自由度系統(tǒng)［15］，應(yīng)用拉格朗日方程，可建立平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)模型，如式(1)所示，從而得到平臺(tái)的固有頻率和模態(tài)陣型。

圖1 微/納米傳動(dòng)平臺(tái)實(shí)物Fig.1 Mirco/nano-transmission platform

式中:T為系統(tǒng)的總動(dòng)能;V為系統(tǒng)的總勢(shì)能;Qi為廣義力;qi為廣義坐標(biāo);N為系統(tǒng)的自由度數(shù);

圖2 平臺(tái)二維結(jié)構(gòu)和柔性分支Ⅱ的結(jié)構(gòu)Fig.2 Architecture of the platform and flexible limbⅡ

由圖1和圖2可知，柔性分支由多個(gè)柔性板簧和剛性桿構(gòu)成，各剛性桿由柔性板簧連接，布置在xoy平面的柔性分支Ⅰ結(jié)構(gòu)完全一樣，見圖2(a)，且布置在xoz和yoz平面的4個(gè)柔性分支Ⅱ結(jié)構(gòu)完全一樣，如圖2(b)所示。每個(gè)柔性分支由一個(gè)壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)，通過控制各個(gè)壓電陶瓷的電壓量，壓電陶瓷由于壓電效應(yīng)可實(shí)現(xiàn)自身的伸長(zhǎng)/收縮，因此，根據(jù)平臺(tái)的幾何特征，平臺(tái)的自由度為5，其傳動(dòng)輸出為δ=［ΔxΔyΔzθxθy］。

由圖2可知，相對(duì)于剛性桿，柔性板簧的質(zhì)量非常小，為了模型建立和計(jì)算方便，可忽略柔性板簧的質(zhì)量不計(jì)，且只考慮其彎曲剛度，不考慮柔性板簧的拉伸變形。根據(jù)式(1)的拉格朗日方程，平臺(tái)的動(dòng)能可表示為:

式中:mt為平臺(tái)的總質(zhì)量;vx，vy，vz為平臺(tái)沿x，y，z向的傳動(dòng)速度;Jf為平臺(tái)上表面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;ωx，ωy分別為平臺(tái)上表面繞x、y向的角速度。其中，vx=Δ，vy=，mf為平臺(tái)上表面的質(zhì)量，s為平臺(tái)上表面的寬度。

平臺(tái)實(shí)現(xiàn)各自由度傳動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)勢(shì)能主要為柔性板簧的彈性勢(shì)能和平臺(tái)的重力勢(shì)能，由于平臺(tái)z向的傳動(dòng)行程非常小(小于0.5 mm)，其重力勢(shì)能在此不作考慮。則柔性板簧的彈性勢(shì)能可表示為:

由圖2(a)可知，柔性分支Ⅰ由內(nèi)部運(yùn)動(dòng)鏈和外部運(yùn)動(dòng)鏈構(gòu)成，因此，其勢(shì)能為:

式中:la，lb為剛性桿的長(zhǎng)度(見圖 2)，khx，khy分別為柔性板簧沿x，y向的彎曲剛度。

同理，柔性分支Ⅱ的勢(shì)能為:

平臺(tái)的總勢(shì)能為:

將式(2)和式(6)代入式(1)，可得平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)模型:

其中，

由式(7)可得，平臺(tái)的固有頻率為:

2 模態(tài)分析與試驗(yàn)

2.1 ANSYS 模態(tài)分析

設(shè)計(jì)的平臺(tái)總質(zhì)量為 1.4 kg，其中mf=0.39 kg，b=10 mm，la=35 mm，lb=30 mm，s=100 mm。為了驗(yàn)證建立的動(dòng)力學(xué)模型是正確的，利用ANSYS軟件，對(duì)微/納米傳動(dòng)平臺(tái)進(jìn)行模態(tài)分析。以四面體單元?jiǎng)澐志W(wǎng)格，材料選用合金彈簧鋼(65Si2Mn)，彈性模量E=210 GPa，密度為7 850 kg·m-3，屈服極限為1 176 MPa，泊松比為0.28。完整約束圖2所示的安裝固定孔，可仿真得平臺(tái)的前6階固有頻率及模態(tài)陣型，如圖3所示。

圖3 平臺(tái)的前6階ANSYS模態(tài)陣型Fig.3 First six modal shapes by ANSYS

由圖3可知，平臺(tái)的第1階模態(tài)振型為平臺(tái)上表面的x，y向扭轉(zhuǎn)和柔性分支1的z向彎曲;第2階模態(tài)振型為平臺(tái)上表面的x，y向扭轉(zhuǎn)和柔性分支2的y向彎曲;第3階模態(tài)振型為柔性分支1的x向彎曲和柔性分支2的y向彎曲;第4階模態(tài)振型為平臺(tái)上表面的z向扭轉(zhuǎn)和柔性分支1的x向彎曲、柔性分支2的y向彎曲;第5階模態(tài)振型為柔性分支1和柔性分支2的z向彎曲;第6階模態(tài)振型為柔性分支1的x向扭轉(zhuǎn)柔性分支2的y向扭轉(zhuǎn)。

2.2 模態(tài)試驗(yàn)分析

采用模態(tài)試驗(yàn)分析方法，對(duì)平臺(tái)進(jìn)行模態(tài)試驗(yàn)，得到其固有頻率和陣型，以驗(yàn)證理論動(dòng)力學(xué)模型和ANSYS仿真的正確性。模態(tài)試驗(yàn)分析系統(tǒng)的原理圖如圖4所示，系統(tǒng)主要由LMS SCADAS-Ⅲ可擴(kuò)展采集前端、BK激振錘、三向加速度傳感器、電荷放大器等幾部分組成，模態(tài)試驗(yàn)裝備見圖5。

激勵(lì)錘的激振力信號(hào)通過安裝在其錘頭的力傳感器測(cè)得，產(chǎn)生的沖擊力信號(hào)直接接入數(shù)據(jù)采集前端。響應(yīng)信號(hào)由PCB三向加速度傳感器測(cè)量得到，將加速度傳感器粘在平臺(tái)的上表面中心點(diǎn)處。模態(tài)試驗(yàn)一般有固定支撐和自由-自由支撐兩種方式，本試驗(yàn)采用固定支撐方式，利用硬泡沫支撐微/納米傳動(dòng)平臺(tái)。在單點(diǎn)重復(fù)激振，并對(duì)平臺(tái)的各個(gè)測(cè)點(diǎn)逐步進(jìn)行激振，每個(gè)測(cè)點(diǎn)5次，利用LMS Test.lab分析軟件可得測(cè)點(diǎn)的平均響應(yīng)信號(hào)，拾取的信號(hào)由電荷放大器放大后，接入數(shù)據(jù)采集前端。

在進(jìn)行模態(tài)試驗(yàn)之前，需合理布置平臺(tái)的測(cè)點(diǎn)，并建立平臺(tái)的幾何模型，以便模態(tài)試驗(yàn)的開展及模態(tài)參數(shù)的識(shí)別，且測(cè)點(diǎn)要覆蓋整個(gè)平臺(tái)，并較好地能反映平臺(tái)的幾何輪廓，再者測(cè)點(diǎn)應(yīng)均勻?qū)ΨQ分布且測(cè)點(diǎn)數(shù)目不宜偏少，建立平臺(tái)的測(cè)點(diǎn)布置及幾何模型，如圖6所示。錘擊法屬寬帶瞬態(tài)激勵(lì)，用激勵(lì)錘敲擊平臺(tái)時(shí)，當(dāng)敲擊脈沖頻率與平臺(tái)的固有頻率相同時(shí)，則平臺(tái)以自身的固有頻率作自由振動(dòng)，振動(dòng)位移出現(xiàn)峰值，那么，振動(dòng)位移出現(xiàn)峰值時(shí)的激勵(lì)頻率，就是平臺(tái)的實(shí)際固有頻率。

根據(jù)上述模態(tài)試驗(yàn)方法，采用LMS Test.lab分析軟件對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，分別選擇平臺(tái)各階模態(tài)的穩(wěn)態(tài)極點(diǎn)，如圖7所示，模態(tài)試驗(yàn)得到平臺(tái)的前6階陣型如圖8所示。由圖8可知，平臺(tái)的各階模態(tài)陣型與ANSYS仿真結(jié)果一致，表明模態(tài)試驗(yàn)分析方法是正確的，應(yīng)用該方法對(duì)平臺(tái)識(shí)別平臺(tái)的模態(tài)參數(shù)是有效的。

圖6 平臺(tái)的測(cè)點(diǎn)及幾何模型Fig.6 Measured point and geometrical model of the platform

圖7 模態(tài)試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理Fig.7 Data processing of modal testing

3 平臺(tái)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)

3.1 固有頻率分析

由式(7)和式(8)可知，平臺(tái)的各階固有頻率與柔性板簧的長(zhǎng)度l和厚度t的關(guān)系，因此，對(duì)平臺(tái)進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)，在剛性桿幾何尺寸一定的情況下，根據(jù)建立的動(dòng)力學(xué)模型，可預(yù)估和調(diào)整平臺(tái)的帶寬，通過調(diào)整柔性板簧的長(zhǎng)度和厚度，消除平臺(tái)的固有頻率與PZT工作頻率的耦合，可避免產(chǎn)生共振，減小柔性機(jī)構(gòu)的殘余振動(dòng)，以提高平臺(tái)的穩(wěn)定性、傳動(dòng)精度等動(dòng)態(tài)特性。

由式(8)可知，平臺(tái)的質(zhì)量一定的情況下，平臺(tái)的固有頻率f主要受柔性板簧厚度和長(zhǎng)度的影響，以第1階固有頻率f1為例，取不同的t，l值，f1隨t，l的變化如圖9所示。由圖可知，柔性板簧厚度t對(duì)f1的影響明顯，而長(zhǎng)度l對(duì)f1的影響不大，且f1隨著厚度t的增大而非線性增大，隨長(zhǎng)度l的增大而減小。因此，調(diào)整柔性板簧的厚度和長(zhǎng)度，提高平臺(tái)的固有頻率時(shí)，應(yīng)首先確定需調(diào)整的柔性板簧的幾何特征參數(shù)，若f1值需大幅度的調(diào)整時(shí)，應(yīng)先調(diào)整參數(shù)t，后調(diào)整參數(shù)l。

圖8 模態(tài)試驗(yàn)得到的平臺(tái)前6階模態(tài)陣型Fig.8 First six modal shapes by modal testing

圖 9 f1與 t，l的關(guān)系Fig.9 Relationship betweenf1andt，l

3.2 結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

根據(jù)控制理論可知，平臺(tái)的穩(wěn)態(tài)時(shí)間與其固有頻率成反比，為了提高平臺(tái)響應(yīng)速度和傳動(dòng)精度，應(yīng)盡可能地提高平臺(tái)的固有頻率，以縮短穩(wěn)態(tài)時(shí)間。要評(píng)價(jià)平臺(tái)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的合理性，必須使壓電陶瓷的工作頻率與平臺(tái)的固有頻率完全避開，由于目前平臺(tái)使用的壓電陶瓷的工作頻率一般在0～150 Hz范圍內(nèi)，因此，為了避免共振及殘余振動(dòng)，平臺(tái)的固有頻率應(yīng)該大于150 Hz，而模態(tài)試驗(yàn)分析得到的平臺(tái)前2階固有頻率，與壓電陶瓷的工作頻率產(chǎn)生耦合，顯然，需對(duì)平臺(tái)的結(jié)構(gòu)的進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，即增大柔性板簧的厚度或減小其長(zhǎng)度。

根據(jù)式(8)的理論分析，可建立目標(biāo)函數(shù):

其中，x1，x2分別代表柔性板簧的厚度t和長(zhǎng)度l，為了消除平臺(tái)第1階固有頻率與壓電陶瓷的工作頻率的耦合，則可建立優(yōu)化目標(biāo):

約束條件為:

(1)t值越大，平臺(tái)的剛性越強(qiáng)，對(duì)壓電陶瓷的驅(qū)動(dòng)力要求越大，但t值越小，線切割加工難度增大，限定0.2 mm≤t≤2 mm，則:

(2)隨著l的減小，平臺(tái)的固有頻率增大，但為了保證平臺(tái)的柔性變形，l的值不宜過小，同時(shí)，受到幾何空間的約束，限定2 mm≤l≤15 mm，則:

(3)為了保證固有頻率完全消除耦合，取一定的安全系數(shù)，平臺(tái)第1階應(yīng)大于200 Hz，則:

在Matlab中建立優(yōu)化模型，對(duì)參數(shù)l和t進(jìn)行求解，優(yōu)化結(jié)果為:x(1)=0.96 mm;x(2)=7.54 mm。為了降低加工制造的難度，柔性板簧的厚度和長(zhǎng)度取整數(shù)，厚度由0.8 mm 增大為1.0 mm，長(zhǎng)度由8.0 mm 減小為6.0 mm，得到優(yōu)化后的平臺(tái)Ⅱ。同樣應(yīng)用有限元和模態(tài)試驗(yàn)方法對(duì)其進(jìn)行分析，ANSYS仿真結(jié)果如圖10所示。

圖10 平臺(tái)Ⅱ的前6階模態(tài)陣型Fig.10 First six modal shapes of the platform-Ⅱby ANSYS

由圖10可知，平臺(tái)Ⅱ的各階模態(tài)陣型與優(yōu)化前一樣，表明改變?nèi)嵝园寤傻暮穸群烷L(zhǎng)度對(duì)平臺(tái)的陣型無(wú)影響，只改變平臺(tái)的固有頻率值。模態(tài)試驗(yàn)識(shí)別出優(yōu)化前、后平臺(tái)的前6階固有頻率和阻尼比，如表1所示。優(yōu)化前、后平臺(tái)的固有頻率對(duì)比如圖11所示，由圖可知，模態(tài)試驗(yàn)得到的固有頻率，與ANSYS分析、理論分析結(jié)果一致，通過對(duì)比分析，三者之間的最大誤差為9.44%，主要原因?yàn)?① 平臺(tái)的結(jié)構(gòu)尺寸較小(120 mm×120 mm×60 mm)，激勵(lì)錘敲擊測(cè)點(diǎn)的位置與理想位置有一定的偏差;②平臺(tái)線切割加工的局部高溫導(dǎo)致平臺(tái)的剛性增強(qiáng);③根據(jù)柔順機(jī)構(gòu)學(xué)推導(dǎo)的柔性板簧的彎曲剛度kh，與實(shí)際值之間的誤差在1%以內(nèi)［16］，由于忽略了柔性板簧的質(zhì)量不計(jì)，導(dǎo)致模態(tài)試驗(yàn)的固有頻率比理論模型值稍大。

表1 優(yōu)化前、后平臺(tái)的模態(tài)頻率和阻尼比對(duì)比Tab.1 Comparison on natural frequencies，damping ratio between before and after optimization

圖11 優(yōu)化前、后平臺(tái)的固有頻率對(duì)比Fig.11 Comparison on natural frequencies of the platform between before and after optimization

同時(shí)，對(duì)比平臺(tái)Ⅰ和平臺(tái)Ⅱ，平臺(tái)Ⅱ的前6階ANSYS和模態(tài)試驗(yàn)的固有頻率大于150 Hz，可避免與PZT的工作頻率的耦合。同時(shí)，平臺(tái)Ⅱ的各階固有頻率值比平臺(tái)Ⅰ對(duì)應(yīng)的固有頻率大，可知其隨柔性板簧厚度、長(zhǎng)度的變化規(guī)律與理論分析一致，表明理論動(dòng)力學(xué)建模是正確的，因此，通過調(diào)整柔性板簧的幾何參數(shù)和模態(tài)試驗(yàn)分析，優(yōu)化平臺(tái)的動(dòng)態(tài)特性是可行的，模態(tài)試驗(yàn)分析結(jié)果是有效的，為平臺(tái)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了理論和試驗(yàn)依據(jù)。

4 結(jié)論

(1)通過建立平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)模型，分析了平臺(tái)固有頻率與柔性板簧厚度、長(zhǎng)度的相互關(guān)系，即厚度越大，長(zhǎng)度越小，固有頻率越大，為平臺(tái)帶寬的估計(jì)、壓電陶瓷的選型和結(jié)構(gòu)優(yōu)化提供理論依據(jù)。

(2)以平臺(tái)固有頻率為優(yōu)化目標(biāo)，確立了平臺(tái)的優(yōu)化模型，并建立了模態(tài)試驗(yàn)系統(tǒng)與分析方法，對(duì)優(yōu)化前、后的平臺(tái)進(jìn)行了模態(tài)試驗(yàn)，識(shí)別出的平臺(tái)的模態(tài)參數(shù)與理論建模、有限元仿真結(jié)果是一致的。

(3)對(duì)比分析理論分析、ANSYS仿真和模態(tài)試驗(yàn)，結(jié)果表明三者的誤差不大，說(shuō)明動(dòng)力學(xué)模型和模態(tài)試驗(yàn)方法是正確的。優(yōu)化前、后平臺(tái)的模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果，驗(yàn)證了建立的優(yōu)化模型是有效的，即增大柔性板簧的厚度或減小其長(zhǎng)度，提高平臺(tái)動(dòng)態(tài)性能的方法是可行的。

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