高 峰，孫常新，2，趙馮兵

(1.重慶交通大學(xué)山區(qū)橋梁與隧道國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室培育基地，重慶 400074;

2.華北水利水電學(xué)院，河南鄭州 450011;3.重慶能源職業(yè)學(xué)院，重慶 400041)

地下結(jié)構(gòu)波動法與振動法的對比

高 峰1，孫常新1，2，趙馮兵3

(1.重慶交通大學(xué)山區(qū)橋梁與隧道國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室培育基地，重慶 400074;

2.華北水利水電學(xué)院，河南鄭州 450011;3.重慶能源職業(yè)學(xué)院，重慶 400041)

介紹了波動法和振動法的計(jì)算原理和使用方法，用這兩種方法計(jì)算人工地震波，分析兩種方法的區(qū)別。結(jié)果表明:波動法和振動法的計(jì)算數(shù)值和變化規(guī)律基本一致;波動法可以反映波動傳播的時間效應(yīng)，振動法不能反映波動傳播的時間效應(yīng)，但振動法計(jì)算步驟簡便，精度可以滿足要求;建議在地下結(jié)構(gòu)動力分析中使用振動法。

波動法;振動法;計(jì)算原理;地震波;人工邊界條件

0 引言

近年來，隨著在地震中地下結(jié)構(gòu)的大量損壞和計(jì)算手段的快速發(fā)展，地下結(jié)構(gòu)的地震計(jì)算方法引起了人們的重視并獲得快速發(fā)展。地下結(jié)構(gòu)地震時程分析的常用方法主要有兩種:一種是以求解波動方程為基礎(chǔ)的波動法，另一種是以求解結(jié)構(gòu)運(yùn)動方程為基礎(chǔ)的振動法。波動法將地下結(jié)構(gòu)與其周圍地層介質(zhì)作為一個整體來進(jìn)行分析，假定地下結(jié)構(gòu)的存在對波動場的影響可以忽略不計(jì)，按波動方程求解地下結(jié)構(gòu)與其周圍介質(zhì)中的波動場和應(yīng)力場;振動法以結(jié)構(gòu)為主體求解其地震運(yùn)動，將地震作用以地震加速度形成的慣性力形式施加到結(jié)構(gòu)上，建立地下結(jié)構(gòu)的地震運(yùn)動方程，按運(yùn)動方程求解地下結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)［1］。

當(dāng)前，使用波動法進(jìn)行地下結(jié)構(gòu)計(jì)算分析主要研究成果有:Pao和Mow［2］采用波函數(shù)展開法開創(chuàng)性地研究了無限空間中單個洞室在彈性波入射下的動應(yīng)力集中問題;20世紀(jì)90年代，Lee和Karl［3］采用大圓弧假定法給出了半空間中單個洞室對P波和SV波的散射解析;梁建文，等［4］用大圓弧假定法分析研究了半空間中雙洞室對P波和SV波的散射并得出解析解;黃艷，等［5］基于波動控制方程研究了以任意方向入射的平面SH波在淺埋多個圓孔處的散射與地震動問題;劉晶波，等［6］應(yīng)用彈性波動理論，發(fā)展了實(shí)現(xiàn)波動直接模擬的三維時域黏彈性人工邊界，可以方便地應(yīng)用于三維波動問題的模擬分析;潘旦光，等［7］將波動理論和隨機(jī)振動理論結(jié)合起來，提出了P波和SV波作用下層狀土層地震反應(yīng)分析的隨機(jī)波動分析方法;黃勝，等［8］基于無限元人工邊界的合理地震動輸入方法，考慮到地層的輻射阻尼和地震波在地層中的反射和散射，采用波場分解的方法給出地震波從底面垂直入射時不同邊界面上的等效地震荷載的計(jì)算公式。振動法是動力計(jì)算較常用的方法，近年來的主要研究成果有:李輝，等［9］基于振動法推證出以地表地震動作為輸入的自由地基地震反應(yīng)分析模型;劉如山，等［10］基于振動法從地震時一維土層反應(yīng)應(yīng)力入手，對有限元反應(yīng)加速度法的地震荷載加載方法進(jìn)行改進(jìn)，提出了有限元反應(yīng)應(yīng)力法;胡世麗，等［11］從概念、建立方程、求解方程和適用范圍多個方面闡述了波動和振動的區(qū)別和聯(lián)系。

當(dāng)前，波動法和振動法應(yīng)用于地下結(jié)構(gòu)地震分析已比較成熟，并取得了不少成果。但是兩種方法有何區(qū)別，至今未見到相關(guān)文獻(xiàn)。筆者將兩種方法進(jìn)行了對比研究，得出了具有一定應(yīng)用價(jià)值的結(jié)論。

1 計(jì)算原理與方法

波動法和振動法用于地下結(jié)構(gòu)地震時程分析時的出發(fā)點(diǎn)不同，兩者的計(jì)算原理和使用方法有所不同，各具特點(diǎn)。

1.1 波動法計(jì)算原理

20世紀(jì)70年代，前蘇聯(lián)的烏茲別克、格魯吉亞等對深埋隧道采用了彈性波動理論擬靜力法進(jìn)行計(jì)算，出現(xiàn)了連續(xù)介質(zhì)彈性力學(xué)法［12］，現(xiàn)行的波動法正是在此基礎(chǔ)上發(fā)展而來的。

波動法中波動輸入方式主要有兩種:①直接在人工邊界上實(shí)現(xiàn)波動輸入，通過對人工邊界和內(nèi)結(jié)點(diǎn)波動的反復(fù)疊加或減去已知的自由波場的方法完成波動輸入［13］，主要在解析計(jì)算中使用，稱之為波動(解析)法;②將人工邊界上的自由場位移作為時變外荷載輸入，主要在數(shù)值計(jì)算中使用，稱之為波動(數(shù)值)法。自由場位移可以由初始數(shù)據(jù)得到，相當(dāng)于將波動輸入問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)源問題進(jìn)行求解分析。

1.1.1 波動(解析)法

波動(解析)法是對波動物理過程的模擬［14］。為說明問題，針對圖1的簡單人工地震波動(波速為c)進(jìn)行計(jì)算分析。

圖1 人工地震波v(t)時程Fig.1 Artificial seismic wave schedule of v(t)

圖2 波動法計(jì)算示意(P波)Fig.2 Calculation of wave method(P wave)

對圖2中的矩形計(jì)算區(qū)域(高H)，設(shè)v(t)于t=0時刻由底部輸入向上傳播，在時刻t=H/c時上行波到達(dá)自由頂面，由此產(chǎn)生一個反射波，此下行波為上行入射波的鏡面映像。當(dāng)下行波在t=2H/c時刻到達(dá)基底時，完成了波動過程的第一個循環(huán)。然后，由于基底采用的是黏彈性邊界，到達(dá)基底的下行波將被完全吸收，波動循環(huán)完成。設(shè)波動在傳播過程中沒有能量損失，則在波動循環(huán)中陸續(xù)增加的反射波動如式(1):

式中:z為計(jì)算點(diǎn)到基底的豎直距離，m。

由式(1)即可求得計(jì)算區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)的波動位移，從而可以得到計(jì)算區(qū)域內(nèi)的波動場。由位移公式求導(dǎo)可得到速度場，由速度公式求導(dǎo)可得到加速度場，即可對波動場中的地下結(jié)構(gòu)進(jìn)行波動求解。

圖3為由波動法計(jì)算得到的計(jì)算區(qū)域內(nèi)的波動場。

圖3 不同深度處v(t)時程曲線Fig.3 Different depths schedule curve of v(t)

由圖3可知:上行波傳到頂面時v(t)變?yōu)樵鹊膬杀?不同深度處的v(t)不僅振幅不同，在相位上也有所區(qū)別。這些情況與波動理論相符。波動(解析)法是基于波動基本理論的通用方法，計(jì)算結(jié)果精確可信，但在有限元計(jì)算分析中使用不方便，具體有限元計(jì)算中常采用波動(數(shù)值)法。

1.1.2 波動(數(shù)值)法

波動(數(shù)值)法是依據(jù)波動場，將輸入波動轉(zhuǎn)化為直接作用在人工邊界上的等效荷載來實(shí)現(xiàn)波動輸入，即把波動作用轉(zhuǎn)換成人工邊界節(jié)點(diǎn)作用力來實(shí)現(xiàn)波動的模擬。波動(數(shù)值)法方便地運(yùn)用于有限元數(shù)值計(jì)算分析中。有限元分析必定是針對有限范圍計(jì)算區(qū)域的計(jì)算，這就需要在半無限地下空間中截取有限的計(jì)算區(qū)域出來，截取的邊界上要采用人工邊界以模擬無限邊界條件，目前常用的是黏彈性人工邊界。

對于平面內(nèi)的柱面波(以P波為例)，其波動方程可以表示為:

式中:g為任意函數(shù)。

經(jīng)推導(dǎo)，可得任一半徑rb處的應(yīng)力，可用該處的速度和位移表示:

為實(shí)現(xiàn)波動輸入，在人工邊界上施加總應(yīng)力σZ，采用力學(xué)中分離隔離體概念［15］，將人工邊界與附加其上的物理元件脫離，則總應(yīng)力σZ包括對邊界施加的應(yīng)力σ0，使人工邊界上的節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生位移為v0的運(yùn)動，和對物理元件上施加應(yīng)力σ1(σ1=-σ)，使物理元件上的節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生位移為v0的運(yùn)動，即:

由式(8)可推導(dǎo)出需要在人工邊界節(jié)點(diǎn)處施加的等效節(jié)點(diǎn)荷載的計(jì)算公式，進(jìn)而可以在地下結(jié)構(gòu)上施加等效節(jié)點(diǎn)荷載進(jìn)行有限元計(jì)算，完成地下結(jié)構(gòu)在地震荷載作用下的動力時程分析。

1.2 振動法計(jì)算原理

振動法是當(dāng)前地下結(jié)構(gòu)動力時程分析的通用方法，1900年日本大森房吉教授提出了計(jì)算地震荷載的靜力理論［16］，假定地震時結(jié)構(gòu)各部分都有一個與地震加速度大小相同的加速度，作用于結(jié)構(gòu)上的水平地震力等于結(jié)構(gòu)自重乘以某一地震系數(shù)來計(jì)算結(jié)構(gòu)的變形與內(nèi)力(地震系數(shù)法)。該方法簡單方便，且經(jīng)受過一般地震的考驗(yàn)，許多國家的抗震設(shè)計(jì)規(guī)范都采用過。我國地下結(jié)構(gòu)的抗震設(shè)計(jì)20世紀(jì)60年代以來沿用地震系數(shù)法，至今仍為隧道設(shè)計(jì)規(guī)程所采用?，F(xiàn)行的振動法正是在此基礎(chǔ)上發(fā)展而來的。

結(jié)構(gòu)體系承受相同的平動運(yùn)動的地震反應(yīng)體系的運(yùn)動方程為［17］:

式中:上標(biāo)t表示總位移。

式(9)表示，引起體系動力反應(yīng)的有效地震力依賴于總運(yùn)動慣性力，而阻尼力和彈性力只依賴于相對運(yùn)動。

若阻尼力和彈性力用總運(yùn)動與地面運(yùn)動的差來表示，則式(9)可寫成:

式(10)、式(11)即振動法的基本原理公式。原則上，地震反應(yīng)問題可用式(10)和式(11)來求解，實(shí)際上，因?yàn)槭?11)的地震應(yīng)力的表達(dá)式較復(fù)雜，同時由于地震運(yùn)動通常以地面加速度來表示，故式(10)較常用。

常用振動法的基本原理，即式(10)可用矩陣的形式表示如下:

式中:［M］為計(jì)算結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣;［C］和［K］分別為ti時刻計(jì)算結(jié)構(gòu)阻尼矩陣和剛度矩陣;ag(t)為第i+1時段內(nèi)(ti到ti+1)輸入的波動加速度增量，{Δ¨x}、{Δ˙x}和{Δx}為第i+1時段內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)相對加速度、相對速度和相對位移的增量所組成的列向量。

式(12)常采用數(shù)值解法，主要有線性加速度法、威爾遜θ法、中點(diǎn)加速度法、紐馬克β法和龍格-庫塔法等，其通用計(jì)算步驟如下［18］:

1)將整個波動時段劃分為一系列的微小時段Δt，通常取(0.01 ～0.02)s;

2)對實(shí)際波動加速度記錄，經(jīng)過零線調(diào)整等一些必要的處理后，按時段Δt進(jìn)行數(shù)值化;

3)在每一個微小時段 Δt內(nèi)，把 M、C、K及ag(t)均視為常數(shù);

4)利用第i+1時段(ti到ti+1)的前端值{xi}、{˙xi}、{¨xi}來求該時段的末端值{xi+1}、{˙xi+1}、{¨xi+1}。循序漸進(jìn)地對每一時段重復(fù)上述步驟，即得整個時程的結(jié)構(gòu)波動反應(yīng)。

式(12)中方程左端的加速度、速度、位移為相對數(shù)值，使用式(12)算出來的結(jié)果也應(yīng)該是相對值。這種方法存在的缺陷是，采用統(tǒng)一的加速度輸入不能考慮波動傳播的時間效應(yīng);計(jì)算出的結(jié)果是相對值，還需要和輸入值進(jìn)行疊加換算后得到絕對值。但該方法計(jì)算簡便，在當(dāng)前的地下結(jié)構(gòu)地震分析中被大量地采用。

圖4為振動法計(jì)算示意，其中計(jì)算模型底部設(shè)置成固定約束以反映底層基巖較堅(jiān)硬的性質(zhì)(具體對比中發(fā)現(xiàn)此種邊界條件較合理，此處不再詳述)，這是對通常振動法中采用3側(cè)黏彈性邊界條件的一種修正。加速度場可由現(xiàn)場實(shí)測或人工合成得到。

圖4 振動法計(jì)算示意Fig.4 Calculation of vibration method

2 計(jì)算結(jié)果對比

波動法和振動法的計(jì)算原理和使用方法有所區(qū)別，筆者采用這兩種方法針對人工地震波(圖1)進(jìn)行了計(jì)算，并對兩者的位移和應(yīng)力計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對比分析。

具體的計(jì)算參數(shù)為［15］:地層的剪切模量 G=5.292 MPa，彈性模量 E=13.23 MPa，泊松比 ν=0.25，密度為 ρ=2.7 kg/m3，計(jì)算模型 381 m ×762 m的長方形，采用有限元軟件ANSYS進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算模型如圖5。

圖5 有限元計(jì)算模型Fig.5 The finite element calculation model

計(jì)算中輸入波動采用周期性的人工地震波，其振幅為1 m，周期為0.5 s(圖1)。

對計(jì)算模型中計(jì)算點(diǎn)B(頂面以下57.15 m)處的計(jì)算結(jié)果對比分析如圖6。

圖6 波動法與振動法計(jì)算結(jié)果對比Fig.6 Contrast of calculation results of wave and vibration method

2.1 豎向位移對比

由圖6(a)可以看出:①波動(數(shù)值)法的計(jì)算結(jié)果和波動(解析)法基本一致，鑒于波動(數(shù)值)法便于實(shí)現(xiàn)，可直接運(yùn)用波動(數(shù)值)法來代表波動法;②波動法所得的y方向位移值和振動法相比相差不大，變化規(guī)律基本相同;③波動法所得的y方向位移值和振動法相比在時間上有所滯后，說明兩種方法所反映的時間效應(yīng)不同;④當(dāng)時間t較大時(波動從底面兩次向上反射傳播到計(jì)算點(diǎn)以后)，振動法的計(jì)算結(jié)果明顯增大，這是因?yàn)檎駝臃ú捎玫氖枪潭ǖ走吔缍皇遣捎镁哂形üδ艿酿椥赃吔纭?/p>

2.2 豎向應(yīng)力對比

由圖6(b)可以看出:①由波動法和振動法計(jì)算所得的豎向應(yīng)力的數(shù)值和變化規(guī)律基本相同;②兩者的計(jì)算結(jié)果在時間上稍有差別，當(dāng)t較大時兩者出現(xiàn)較大差異，這是由于兩者的底部邊界條件有所不同造成的;③波動法的計(jì)算結(jié)果隨時間衰減稍快，這主要是因?yàn)椴▌臃ㄖ性O(shè)置的底部黏彈性邊界具有吸波效應(yīng)。

2.3 最大主應(yīng)力對比

由圖6(c)可以看出:①由波動法和振動法計(jì)算所得的最大主應(yīng)力的數(shù)值和變化規(guī)律基本相同;②波動法和振動法計(jì)算所得的最大主應(yīng)力的極值時刻基本相同;③波動法的計(jì)算結(jié)果隨時間衰減稍快。

3 結(jié)論

將振動法和波動法這兩種常用的動力分析方法分別針人工地震波進(jìn)行了對比計(jì)算分析，得到如下結(jié)論:

1)采用波動法和振動法進(jìn)行動力分析所得的計(jì)算結(jié)果基本一致，振動法可以滿足精度要求。

2)波動法采用3側(cè)黏彈性邊界，而使用振動法時一般要在計(jì)算模型底部采用固定邊界，兩者一般取不同的邊界條件。

3)振動法和波動法所得的位移和應(yīng)力計(jì)算結(jié)果數(shù)值和變化規(guī)律基本一致。

4)波動法反映了動力計(jì)算的實(shí)質(zhì)，可以體現(xiàn)出波的傳播時間效應(yīng)，但是計(jì)算較為繁瑣，振動法不能反映波動的時間效應(yīng)，但是計(jì)算簡便，計(jì)算結(jié)果與波動法基本一致，實(shí)用性較強(qiáng)。建議在地下結(jié)構(gòu)動力分析中使用振動法。

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Contrast of Wave and Vibration Methods for Underground Structure

Gao Feng1，Sun Changxin1，2，Zhao Fengbing3
(1.State Key Laboratory Cultivation Base for Bridge and Tunnel Engineering，Chongqing Jiaotong University，Chongqing 400074，China;2.North China University of Water Resources and Electric Power，Zhengzhou 450011，Henan，China;3.Chongqing Energy College，Chongqing 400041，China)

Calculation theories and methods are introduced respectively in this paper;artificial seismic wave was calculated by wave method and vibration method respectively and the difference of these two methods has been analyzed.The analytical results indicate that:the calculating values and changing rules of wave method and vibration method are almost accordant;the wave method can reflect the time effects for the transition of wave while the vibration method cannot;the vibration method has the following advantages:its calculating steps are simple;its calculating precision can meet the needs.Therefore，vibration method is suggested to be used for the dynamical analysis of underground structure.

wave method;vibration method;calculation theories;seismic wave;artificial boundary condition

U451

A

1674-0696(2012)04-0764-05

10.3969/j.issn.1674-0696.2012.04.07

2011-11-16;

2012-01-15

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51178490);中鐵二院工程集團(tuán)有限責(zé)任公司科研項(xiàng)目(科2009-31);重慶市教委科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目(KJ090403);華北水利水電學(xué)院2009年度青年科研基金項(xiàng)目(HSQJ2009013);山區(qū)橋梁與隧道工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金項(xiàng)目(CQSLBFY12-2);重慶交通大學(xué)(橋梁)結(jié)構(gòu)工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金項(xiàng)目(CQSLBF-Y10-8)

高 峰(1964—)，男，浙江云和人，教授，博士生導(dǎo)師，博士，主要從事地下結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與施工方面的教學(xué)研究工作。E-mail:gaofeng1964@163.com。