胡素敏，張曉果

(河南城建學(xué)院數(shù)理系，河南平頂山467036)

期權(quán)定價問題一直是金融數(shù)學(xué)和金融工程學(xué)研究的核心問題之一.在以往的期權(quán)定價中，人們普遍假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價格服從幾何布朗運(yùn)動，它是一個連續(xù)的隨機(jī)過程，而在金融市場上，一些重要信息的出現(xiàn)會刺激股票價格發(fā)生不連續(xù)的跳躍，因此股票價格應(yīng)包含連續(xù)擴(kuò)散過程和不連續(xù)的跳躍過程兩方面.關(guān)于股價服從跳擴(kuò)散過程的期權(quán)定價方面，周圣武[1]研究了股價服從跳擴(kuò)散過程的標(biāo)準(zhǔn)歐式期權(quán)定價，劉宣會[2]研究了基于跳擴(kuò)散過程的一類亞式期權(quán)定價.K.Zhang[3]和M.Freeman[4]等研究了跳擴(kuò)散模型下期權(quán)的定價和應(yīng)用問題.

本文將用跳擴(kuò)散過程研究股價的演化行為，即用Poisson過程描述股價的跳躍行為，用幾何Brown運(yùn)動刻畫股價的連續(xù)波動行為，在此基礎(chǔ)上應(yīng)用風(fēng)險中性原理研究跳擴(kuò)散過程的歐式雙向期權(quán)，推導(dǎo)了標(biāo)的資產(chǎn)價格服從跳擴(kuò)散過程的歐式雙向期權(quán)定價公式.

1 股票價格的跳擴(kuò)散行為

研究跳擴(kuò)散過程下歐式雙向期權(quán)的定價問題，需要如下假設(shè)：股票價格ST遵循Ito過程[5]

求解式(2)，并應(yīng)用Poisson過程的性質(zhì)qT-qt=qτ(τ=τ-t)，可得T時刻股票價格ST的概率分布

其中：τ=T-t;Un表示股票價格在第n個跳躍時刻tn的跳躍幅度，并假設(shè)U1，U2，…，Un，…是一系列獨(dú)立分布的隨機(jī)變量.應(yīng)用全期望公式可得股票價格在T時刻的數(shù)學(xué)期望.為表述方便，本文將沿用Merton[7]的假設(shè)：

假設(shè)U、qt、Wt相互獨(dú)立，且1+U服從對數(shù)正態(tài)分布，即

其中μ、σU為常數(shù).

于是當(dāng)qτ=n時，由正態(tài)分布的可加性可得：

從而存在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量Z2～N(0，1)，使得隨機(jī)和可表示為：

而且由于U、qt、Wt相互獨(dú)立，可知Z1、Z2也相互獨(dú)立.

由式(3)和式(5)以及正態(tài)分布的可加性可知，當(dāng)qτ=n時，存在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量Zn～N(0，1)，使得

3 無紅利支付的歐式雙向期權(quán)定價

歐式雙向期權(quán)是指期權(quán)持有者可以在未來某T時刻以規(guī)定的價格K買進(jìn)或賣出某指定標(biāo)的資產(chǎn)，且標(biāo)的資產(chǎn)價格滿足式(1)，由于在T時刻歐式雙向期權(quán)的權(quán)益為：

即歐式雙向期權(quán)的終端收益可以分解為具有相同到期時刻和相同執(zhí)行價格的同一種標(biāo)的資產(chǎn)的一個買入期權(quán)的終端收益和一個賣出期權(quán)的終端收益之和.

本文在推導(dǎo)歐式雙向期權(quán)定價的過程中，需要用到下列基本假設(shè)[6-7]：(1)標(biāo)的股票價格服從跳擴(kuò)散過程，且滿足式(1);(2)無風(fēng)險利率r是常數(shù);(3)標(biāo)的股票價格的波動率σ是常數(shù);(4)不存在交易費(fèi)用;(5)在期權(quán)的有效期內(nèi)標(biāo)的股票無紅利支付;(6)不存在無風(fēng)險套利機(jī)會.

根據(jù)風(fēng)險中性定價原理，在風(fēng)險中性概率測度Q下，標(biāo)準(zhǔn)歐式股票看漲期權(quán)在當(dāng)前t(t＜T)時刻的價值為：

其中EQ表示在風(fēng)險中性概率測度Q下的數(shù)學(xué)期望.

引理1[1]標(biāo)的股票價格St服從式(1)、執(zhí)行價格為K的標(biāo)準(zhǔn)歐式看漲期權(quán)在t時刻的價值為：

引理2[1]標(biāo)的股票價格St服從式(1)、執(zhí)行價格為K的標(biāo)準(zhǔn)歐式看跌期權(quán)在t時刻的價值為

式中符號同引理1，證明過程與引理1類似.

定理1[1]標(biāo)的股票價格St服從式(1)、執(zhí)行價格為K的歐式雙向期權(quán)在t時刻的價值為：

證明

推論1當(dāng)n=0時，即股票價格不發(fā)生跳躍時，得歐式雙向期權(quán)的價值為此定價公式與董躍武[8]得到的定價公式完全相同.

[1] 周圣武.基于跳擴(kuò)散過程的歐式股票期權(quán)定價與風(fēng)險度量研究[D].徐州：中國礦業(yè)大學(xué)，2009.

[2] 劉宣會.基于跳擴(kuò)散過程的一類亞式期權(quán)定價[J].系統(tǒng)工程學(xué)報，2008，23(2)：142-147.

[3] Leland H E.Option pricing and replication with transaction costs[J].Journal of Finance，1985(40)：1283-1301.

[4] Markowitz H M.Portfolio selection[J].Journal of Finance，1952(1)：77-91.

[5] 黃志遠(yuǎn).隨機(jī)分析學(xué)基礎(chǔ)[M].北京：科學(xué)出版社，2001.

[6] Merton R C.Option pricing when underlying stock returns are discontinuous[J].Journal of Financial Economics，1976(3)：125-144.

[7] Black F，Scholes M.The pricing of options and corporate liabilities[J].Journal of Political Economy，1973(81)：637-659.

[8] 董躍武.歐式雙向期權(quán)的定價問題[J].上海鐵道大學(xué)學(xué)報，1999，20(6)：71-73.