楊濤

(中鐵第五勘察設計院集團有限公司，北京102600)

高墩在墩頂縱向水平力作用下產生水平變位，使作用在墩頂上的上部結構的重力荷載以及墩身自身的重力荷載產生了偏心，在橋墩內將引起二次變力和變形，即P-△效應。隨著我國橋梁建設的不斷發(fā)展，大跨、高墩的體系已很普遍，實際觀測到的豎向地震動峰值有超過1 g的。這樣豎向地震動對結構的影響并不再是無足輕重，特別是P-△效應問題比較突出。由于豎向地震作用的影響，這種P-△效應將加大，而使高墩進一步處于不利狀態(tài)。因此，高墩在進行結構性能分析時應該計算P-△效應引起的內力和變形。

1 工程背景

該橋位于乾縣縣城西北，為西(安)-平(涼)線上重點橋梁，設計時速120 km/h。主橋采用(54+3×90+54)m預應力混凝土剛構連續(xù)組合梁。橋址處抗震設防烈度為8度，地震動峰值加速度為0.1 g，反應譜特征周期0.40 s。

橋梁采用變高度、變截面箱梁。1～4號墩均采用矩形空心墩，其中1、4號墩為活動墩，2、3號墩為固定墩。

1號墩墩高68 m，墩身及頂帽采用C35混凝土，墩頂設2.5 m實體段，墩底設3 m實體段，縱向為直坡，橫向外側自頂帽下緣以下2.5 m處變坡，外坡30∶1，內坡40∶1，縱向寬為6 m，橫向寬為7～11.7 m，矩形墩壁縱向厚度為0.7 m，橫向厚度為0.8～1.25 m。

2號墩墩高67.5 m，梁底下5 m范圍內墩身采用C50混凝土，其余部分采用C40混凝土，墩頂設2 m實體段，墩底設4 m實體段，橋墩縱向為直坡，橫向外側箱梁底面以下2 m處變坡，外坡30∶1，內坡40∶1，縱向寬為6 m，橫向寬為7.4～11.76 m，矩形墩壁縱向厚度為0.7 m，橫向厚度為0.8～1.24 m。

3號墩墩高66 m，梁底下5 m范圍內墩身采用C50混凝土，其余部分采用C40混凝土，墩頂設2 m實體段，墩底設4 m實體段，橋墩縱向為直坡，橫向外側箱梁底面以下2 m處變坡，外坡30∶1，內坡40∶1，縱向寬為6 m，橫向寬為7.4～11.66 m，矩形墩壁縱向厚度為0.7 m，橫向厚度為0.8～1.24 m。

4號墩墩高21 m，墩身及頂帽采用C35混凝土，墩頂設2.5 m實體段，墩底設3 m實體段，縱向為直坡，橫向外側自頂帽下緣以下2.5 m處變坡，外坡45∶1，內坡65∶1，縱向寬為5 m，橫向寬為7.4～11.35m，矩形墩壁縱向厚度為0.6 m，橫向厚度為0.65～0.69 m。

主橋總體布置圖如圖1所示。

圖1 主橋總體布置圖(單位：cm)

2 動力計算模型

2.1 計算原理

P-△效應問題是一種幾何非線性問題，在單質點體系中，當考慮到P-△影響時，相對位移u產生的次生效應為一作用于支承點的彎矩它相當于在水平方向的一個附加力：

式中：F(t)為豎向力;M為單質點的質量;v¨g(t)為豎向地震動加速度;v¨(t)為質點相對豎向加速度反應。由于考慮到了水平與垂直兩個運動分量的運動，故有兩個自由度，所以運動方程為：

式中cx、cy與kx、ky分別為體系的水平與豎向的阻尼系數(shù)和剛度。

式中：u(t)、v(t)分別為體系在y處的質點在x與y方向的相對位移;u¨g、v¨g分別為x與y方向的地震動加速度。上式左邊第二項即表示P-△效應。其分析流程如圖2所示。

圖2 P-△分析的流程

2.2 計算模型

橋梁結構的剛度和質量分布，以及邊界連接條件決定了結構本身的動力特性。因此，在特殊橋梁的地震反應分析中，為了真實地模擬橋梁結構的力學特性，所建立的計算模型必須如實地反映結構的剛度和質量分布，以及邊界連接條件。

本文采用橋梁專用有限元軟件MIDAS/Civil建立模型。在對該橋建立模型時，主要采用了梁單元、剛性單元、主從單元、彈簧單元，主梁、橋墩及承臺均采用梁單元模擬，剛構墩與主梁之間的連接采用剛性單元模擬，支座采用主從單元模擬。

為考慮地基變形的影響，分別建立了兩個不同的模型。

模型A：橋墩底部加水平和轉動彈簧;

模型B：橋墩底部直接固結。

計算模型如圖3所示。

圖3 全橋有限元模型

3 自振特性計算

在以上模型的基礎上，分別計算了該橋在兩種計算模型下的自振特性，并以此為基礎進行結構的地震響應計算。模型A、模型B的前十階自振頻率見表1。

表1 自振頻率結果對比表Hz

對比表1的數(shù)據可以發(fā)現(xiàn)，模型A的自振頻率比模型B的小，這主要是因為模型A中引入了彈簧單元模擬地基作用的影響，模型B中邊界條件為各墩墩底直接固結，所以計算出的自振頻率模型A較小。模型A將地基變形的影響用位于橋墩底部的水平和轉動彈簧來模擬是合理的，因此本文以模型A進行結構的地震響應計算。圖4給出了前4階振型的示意圖。

圖4 前4階振型示意圖

4 P-△效應分析

為了便于分析豎向地震作用下考慮P-△效應對橋梁結構地震反應的影響，本文在對該橋進行非線性動力時程分析時采用三向輸入，即在兩個相互垂直的水平方向(橫橋向和縱橋向)分別輸入汶川地震時記錄的兩條安評地震波(P1和P2)進行分析，如圖5、圖6所示。垂直分量按照水平地震基本加速度α值的65%進行動力分析。

圖5 P1波加速度時程曲線

圖6 P2波加速度時程曲線

各墩的動力時程響應(墩底彎矩、墩底剪力和墩頂位移)峰值計算結果見表2至表4。

表2 墩底彎矩計算結果kN·m

表3 墩底剪力計算結果kN

表4 各墩頂位移計算結果cm

圖7和圖8分別給出了P2波作用下考慮P-△效應的1號墩和4號墩墩頂位移時程曲線。

圖7 1號墩墩頂位移時程曲線

圖8 4號墩墩頂位移時程曲線

對比分析以上計算結果可以看出：

(1)P1波作用下，考慮P-△效應影響的內力和位移相比不考慮P-△效應影響的內力和位移值有所增加，但就其差值來說，影響并不明顯。這主要是在P1波作用下，橋墩還處在彈性工作狀態(tài)，豎向地震動對橋墩的地震響應本來就不是太大。而在P2波作用下，各墩的內力和變形均出現(xiàn)了較大幅度的變化，例如1號墩在P2波作用下，考慮了P-△效應后其墩頂最大位移增大了9.48%，這是一個不容忽視的問題。分析其原因，主要是P2波作用下，橋墩已進入非線性工作狀態(tài)，豎向地震動對橋墩地震響應的影響很大，會因P-△效應的影響而使其內力和位移顯著增加。

(2)比較各表數(shù)據可以看出，P-△效應對各墩內力和位移影響的增大率隨著墩高度的增加而增大。由于4號墩較其他幾個墩低，P-△效應對該墩的影響明顯要小于對其他各墩的影響。需要說明的是，個別墩內力和位移出現(xiàn)了負值，這是由于豎向地震動以高頻成分為主，高振型含量豐富，那種蛇形變形使各質點重量對體系下方部位產生的附加彎矩反號，所以計算出的結果有可能出現(xiàn)負值。

(3)比較圖6和圖7可以看出，由于P-△效應使得1、4號墩的縱橋向墩頂位移出現(xiàn)了中軸偏移現(xiàn)象，1號墩的偏移量為1.96 cm，4號墩的偏移量為0.22 cm，墩頂出現(xiàn)了較大的永久位移。由表3的數(shù)據可知，其它幾個墩也都有不同程度的偏移。

5 結語

在同時考慮到豎向地震作用和P-△效應之后，由于非線性的影響，豎向作用加強了水平地震動的影響，從而加大水平反應;而且這種影響是隨著原反應的大小而改變的，若不考慮豎向影響時的原水平反應大，則加強也大。P-△效應對高墩的影響要遠遠大于對矮墩的影響，但是并不是考慮了P-△效應后所有的內力和變形都增大，P-△效應會增加結構的永久變形。

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