劉敏 徐世杰 韓潮

（北京航空航天大學(xué)宇航學(xué)院，北京 100191）

1 引言

在航天器執(zhí)行姿態(tài)控制任務(wù)時(shí)，不但會(huì)改變航天器的姿態(tài)，也會(huì)引起撓性部件的振動(dòng)，而撓性部件的振動(dòng)會(huì)影響航天器的控制精度甚至導(dǎo)致航天器失穩(wěn)［1］，所以撓性航天器的姿態(tài)控制問題一直是航天領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一。針對(duì)撓性航天器姿態(tài)控制問題，文獻(xiàn)［2－4］提出了基于狀態(tài)相關(guān)的Riccati方程（State－Dependent Riccati Equation，SDRE）控制方法、變結(jié)構(gòu)控制、魯棒控制等諸多控制方法。其中，直接自適應(yīng)控制方法是由Sobel等于1979年首先提出的［5］，因其具有無需被控系統(tǒng)全狀態(tài)可測(cè)，不依賴實(shí)際被控對(duì)象參數(shù)，無需進(jìn)行實(shí)時(shí)參數(shù)估計(jì)，可以實(shí)現(xiàn)低維控制器對(duì)高維被控對(duì)象進(jìn)行控制等特點(diǎn)，而在撓性空間結(jié)構(gòu)控制［6－7］、航天器控制［8－9］以及飛機(jī)飛行控制［10］等領(lǐng)域有廣泛理論研究和應(yīng)用。然而為了保證直接自適應(yīng)控制閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，被控對(duì)象需滿足近似嚴(yán)格正實(shí)性條件（Almost Strict Positive Real，ASPR）［7，11］。在大部分實(shí)際工程問題中，被控對(duì)象因其相對(duì)階數(shù)不小于2而不滿足ASPR 條件。盡管Mehiel等研究了以速度加上位移的比例項(xiàng)作為輸出的二階或者近似二階系統(tǒng)滿足近似嚴(yán)格正實(shí)性的條件，并給出了位移比例系數(shù)的取值范圍［12］，但是該比例系數(shù)的取值依賴系統(tǒng)參數(shù)，且該方法無法處理具有高相對(duì)階數(shù)的系統(tǒng)。而Bar－Kana則提出了多種可以使得非ASPR 系統(tǒng)滿足ASPR 條件的平行前饋補(bǔ)償方法［11］，但是在引入平行前饋補(bǔ)償后，實(shí)際輸出只能保證對(duì)參考輸出的有界跟蹤，且平行前饋補(bǔ)償器的設(shè)計(jì)需要被控對(duì)象的參數(shù)，從而降低了直接自適應(yīng)控制對(duì)被控對(duì)象參數(shù)的獨(dú)立性。

針對(duì)傳統(tǒng)直接自適應(yīng)控制在非ASPR 系統(tǒng)控制應(yīng)用中的局限和困難，本文提出了將高相對(duì)階數(shù)被控對(duì)象分解成滿足ASPR 條件的低相對(duì)階串聯(lián)子系統(tǒng)，然后利用退步控制方法［13］和直接自適應(yīng)控制方法設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制器的策略，并將該控制策略應(yīng)用到撓性航天器自適應(yīng)姿態(tài)穩(wěn)定控制器設(shè)計(jì)中。

2 撓性航天器模型

考慮中心剛體加撓性附件的撓性航天器模型，利用Lagrange方法建立撓性航天器的數(shù)學(xué)模型，并利用文獻(xiàn)［14］的結(jié)果，可以直接給出帶有撓性附件的撓性航天器動(dòng)力學(xué)方程。航天器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程和撓性附件振動(dòng)方程分別表示為

式中 θ＝［φ θ ψ］T為航天器三軸歐拉角；ω0為航天器軌道角速度。式（3）可以寫成

相對(duì)于航天器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程，航天器的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程不直接受干擾的影響，只與軌道角速度有關(guān)，在軌道角速度ω0準(zhǔn)確時(shí)為準(zhǔn)確模型。經(jīng)過上述假設(shè)和處理，撓性航天器最終可以描述為

3 控制器設(shè)計(jì)

3.1 參考模型的選取

為了設(shè)計(jì)撓性航天器的直接自適應(yīng)姿態(tài)穩(wěn)定控制器，首先需根據(jù)實(shí)際控制任務(wù)建立具有理想性能的參考模型?？紤]航天器的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程式（4），定義系統(tǒng)的輸出為三軸歐拉角θ，則運(yùn)動(dòng)學(xué)子系統(tǒng)可以描述為

式中 B＝C＝E3為3維單位矩陣。

由于航天器的運(yùn)動(dòng)學(xué)子系統(tǒng)在軌道信息準(zhǔn)確時(shí)為精確模型，故可以選擇具有理想控制性能的參考模型：

式中 θm＝［φmθmψm］T為運(yùn)動(dòng)學(xué)參考子系統(tǒng)的狀態(tài)變量；ωm∈R3為運(yùn)動(dòng)學(xué)子系統(tǒng)的參考輸入；ym∈R3為實(shí)際系統(tǒng)需要跟蹤的理想輸出；Tm∈R3為理想?yún)⒖驾斎?；Am、Bm、Cm分別為適當(dāng)維數(shù)的系數(shù)矩陣。

3.2 中間控制律

根據(jù)退步控制，首先以撓性航天器運(yùn)動(dòng)學(xué)子系統(tǒng)為研究對(duì)象，選取姿態(tài)角速度ω為中間虛擬控制變量，并利用直接自適應(yīng)控制方法對(duì)其進(jìn)行中間控制律設(shè)計(jì)，使得設(shè)計(jì)姿態(tài)輸出實(shí)現(xiàn)對(duì)理想輸出的漸近穩(wěn)定跟蹤。由于運(yùn)動(dòng)學(xué)子系統(tǒng)滿足ASPR 條件，由直接自適應(yīng)控制理論以及指令發(fā)生器跟蹤（Command Generator Tracking，CGT）理論可知運(yùn)動(dòng)學(xué)子系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)參考模型的理想跟蹤［11］，此時(shí)有

式中 上標(biāo)“＊”表示在運(yùn)動(dòng)學(xué)子系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)對(duì)參考模型理想跟蹤時(shí)，運(yùn)動(dòng)學(xué)子系統(tǒng)各變量所處的狀態(tài)；θ＊、ω＊、y＊分別為理想狀態(tài)、理想輸入以及理想輸出。定義狀態(tài)誤差和輸出誤差分別為eθ＝θ－θ＊以及ey＝y(tǒng)－ym＝Cθ－Cmθm。在實(shí)際系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)對(duì)參考模型理想跟蹤時(shí)，系統(tǒng)有θ＝θ＊，ym＝y(tǒng)＊＝Cθ＊＝Cmθm。所以有

設(shè)計(jì)中間控制律如下

式中 K為自適應(yīng)參數(shù)矩陣，其自適應(yīng)律將在接下來給出。根據(jù)CGT 理論，可令K＊＝表示實(shí)際系統(tǒng)對(duì)參考模型實(shí)現(xiàn)理想跟蹤時(shí)K 的取值。值得一提的是K＊無需在控制器設(shè)計(jì)中求解其真實(shí)值，在此引入只是為了穩(wěn)定性證明和自適應(yīng)律的推導(dǎo)［11］。定義δ＊為實(shí)現(xiàn)理想跟蹤時(shí)實(shí)際系統(tǒng)的輸入，則

取中間控制變量ω＝δ，對(duì)式（6）求導(dǎo)，得到

式（9）與式（7）組成閉環(huán)系統(tǒng)的誤差狀態(tài)方程。接下來證明在中間控制律（8）的作用下閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。取正定的Lyapunov函數(shù)

式中 P為3維正定對(duì)稱矩陣；tr表示矩陣求跡運(yùn)算；Γ＝diag［Γθ，Γω，Γe］，Γθ，Γω，Γe均為正定的控制器參數(shù)矩陣。對(duì)式（10）求導(dǎo)，可得

令等式右端第二項(xiàng)為零，則有

由式（5）可知航天器運(yùn)動(dòng)學(xué)子系統(tǒng)為一階系統(tǒng)，故有實(shí)際運(yùn)動(dòng)學(xué)子系統(tǒng)滿足近似嚴(yán)格正實(shí)性，所以有下述Kalman－Yacubovic關(guān)系式成立。

式中 Q為正定陣。最終得到Lyapunov函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為

式中 K0為K 的初始值。

3.3 姿態(tài)控制律

退一步以航天器動(dòng)力學(xué)子系統(tǒng)為研究對(duì)象，利用Lyapunov方法推導(dǎo)航天器的姿態(tài)控制律。首先定義動(dòng)力學(xué)子系統(tǒng)輸出航天器姿態(tài)角速度對(duì)中間控制變量δ的跟蹤誤差為eω＝ω－δ。由于跟蹤誤差eω的存在，所以ω＝eω＋δ，式（9）以及（13）則為

對(duì)上述Lyapunov函數(shù)求導(dǎo)得到

選取控制律為

式中 Δ為正定對(duì)稱控制系數(shù)陣。將上述控制律代入到方程（15）中，則

當(dāng)且僅當(dāng)eθ、eω均為0時(shí)，不等式取等號(hào)，根據(jù)LaSalle不變性原理可知實(shí)際航天器實(shí)現(xiàn)對(duì)參考模型的跟蹤漸進(jìn)穩(wěn)定，既有t→∞，則eθ→0，eω→0。將式（7）和（12）代入式（16）則

式中ey、eω均可以直接用于控制器設(shè)計(jì)，需要進(jìn)一步求解，由式（8）可知

圖1 自適應(yīng)姿態(tài)控制器結(jié)構(gòu)示意Fig.1 Sketch map of the adaptive attitude controller

將式（18）代入到式（3）中T的定義之中有

則撓性航天器的姿態(tài)控制律由式（8）、（14）、（17）、（18）和（19）組成。撓性航天器自適應(yīng)姿態(tài)控制器結(jié)構(gòu)如圖1所示。

4 數(shù)值仿真

為驗(yàn)證本文所提出的自適應(yīng)控制器對(duì)撓性航天器姿態(tài)穩(wěn)定控制的有效性，選取參考文獻(xiàn)［15］中的撓性航天器作為數(shù)值仿真對(duì)象，其中航天器的軌道為高度h的圓軌道。為了驗(yàn)證控制器對(duì)撓性振動(dòng)的抑制作用，在數(shù)值仿真中撓性附件的各階阻尼系數(shù)均取為零。航天器的具體參數(shù)以及相關(guān)控制參數(shù)如表1所示。

表1 航天器數(shù)值仿真參數(shù)Tab.1 Parameters for simulation of spacecraft

選擇與實(shí)際航天器系統(tǒng)質(zhì)量分布以及構(gòu)型一致的、不受任何干擾的、軌道信息與實(shí)際航天器一致的理想剛體航天器，對(duì)該剛體航天器設(shè)計(jì)具有理想性能的PD控制器，并以所得到的閉環(huán)系統(tǒng)作為參考模型。為便于計(jì)算進(jìn)一步對(duì)參考模型進(jìn)行簡(jiǎn)化，將參考剛體衛(wèi)星的慣量矩陣Im對(duì)角化，Im的取值如表1所示。參考剛體航天器的初始姿態(tài)角與姿態(tài)角速度與實(shí)際撓性航天器的姿態(tài)信息一致。參考模型中的PD控制器參數(shù)Kd，KP的取值如表1所示。仿真時(shí)長(zhǎng)為300s，仿真結(jié)果如圖2～圖5所示。

航天器三軸姿態(tài)角分別對(duì)相應(yīng)參考姿態(tài)角的跟蹤曲線如圖2所示，航天器姿態(tài)角速度分別對(duì)相應(yīng)期望姿態(tài)角速度的跟蹤曲線如圖3所示。可以看出在本文所設(shè)計(jì)的控制器作用下，航天器的姿態(tài)角和姿態(tài)角速度均實(shí)現(xiàn)了對(duì)理想?yún)⒖贾档姆€(wěn)定跟蹤，航天器實(shí)現(xiàn)了姿態(tài)穩(wěn)定控制。撓性模態(tài)坐標(biāo)的變化曲線如圖4所示，由于航天器參數(shù)中各階模態(tài)的阻尼系數(shù)均設(shè)為0，航天器姿態(tài)控制力矩的變化曲線如圖5所示。從圖5可以看出各階模態(tài)坐標(biāo)均被控制在較小的范圍之內(nèi)，控制器實(shí)現(xiàn)了對(duì)撓性振動(dòng)的有效抑制。

數(shù)值仿真結(jié)果表明，本文所提出的自適應(yīng)姿態(tài)穩(wěn)定控制器既能實(shí)現(xiàn)航天器姿態(tài)角對(duì)理想輸出的漸近跟蹤，從而實(shí)現(xiàn)航天器的姿態(tài)穩(wěn)定控制，又能有效地抑制航天器的撓性振動(dòng)，其對(duì)撓性航天器的控制是有效的。

圖2 航天器姿態(tài)角Fig.2 Attitude angles of spacecraft

圖3 航天器姿態(tài)角速度Fig.3 Attitude angular velocities of spacecraft

圖4 各階撓性模態(tài)位移Fig.4 Flexible modal displacement

圖5 航天器姿態(tài)控制力矩Fig.5 Attitude control torque of spacecraft

5 結(jié)束語

針對(duì)不滿足近似嚴(yán)格正實(shí)性的被控對(duì)象，本文提出了首先將其分解為低階串聯(lián)子系統(tǒng)，然后利用退步控制方法和直接自適應(yīng)控制方法進(jìn)行自適應(yīng)控制器設(shè)計(jì)的策略，并將所提出的控制策略應(yīng)用到撓性航天器姿態(tài)穩(wěn)定控制器設(shè)計(jì)中。理論分析和數(shù)值仿真結(jié)果表明，所得到的姿態(tài)控制器繼承了傳統(tǒng)直接自適應(yīng)控制的特點(diǎn)，能夠有效抑制撓性附件的撓性振動(dòng)，并實(shí)現(xiàn)航天器的姿態(tài)穩(wěn)定控制。

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