曹良足 曹達(dá)明
(1.景德鎮(zhèn)陶瓷學(xué)院機(jī)電學(xué)院,江西景德鎮(zhèn)333001;2.東南大學(xué)吳健雄學(xué)院,江蘇南京211100)
微波介質(zhì)材料廣泛用于制作介質(zhì)諧振器、介質(zhì)濾波器、雙工器、介質(zhì)天線以及微波集成電路介質(zhì)基片等[1]。這些介質(zhì)器件的性能很大程度取決于微波介質(zhì)材料的介電參數(shù),特別是介電損耗。微波介質(zhì)材料的參數(shù)的測量方法主要有以下幾種[2-3]:傳輸線法、空腔微擾法和諧振閉腔法、平行短路板法(又稱截止開腔法)。傳輸線反射法是將介質(zhì)試樣放入短路波導(dǎo)中,通過測量波導(dǎo)的輸入阻抗來計算試樣的介電特性參數(shù)。該方法的特點(diǎn)是測量范圍寬,設(shè)備簡單。但樣品的尺寸精度要完全符合波導(dǎo)的內(nèi)壁尺寸??涨晃_法是將桿狀樣品放入空腔中,應(yīng)用微擾理論推算出介質(zhì)材料的電磁特性。該方法適用于低介電常數(shù)(εr<10)材料的測試[3]。諧振閉腔法是將圓柱形樣品置于同形狀的圓柱形閉腔中,用εr很低的材料作為支撐,根據(jù)諧振曲線的帶寬和頻率計算試樣的無載品質(zhì)因數(shù)。該方法是一種高精度測量介電損耗(tanδ)的方法,但該方法不能同時測量試樣的εr。平行短路板法是圓柱體介質(zhì)的兩端被上下平行金屬板短路,產(chǎn)生諧振現(xiàn)象,由諧振頻率和3dB帶寬計算出介質(zhì)的εr與tanδ,測量精度較高。但計算公式涉及貝塞爾函數(shù)的超越方程的求解,國內(nèi)外的文獻(xiàn)沒有給出具體的求解過程,困擾了很多科研人員。國內(nèi)測量微波介質(zhì)材料參數(shù)的方法主要是“開式腔”法,即平行短路板法,80年代初由上海大學(xué)率先研制出KWDJ型開放腔式微波介質(zhì)測量儀[4],隨后制定了國標(biāo)GB7265.2-87《固體電介質(zhì)微波復(fù)介電常數(shù)的測試方法-開式腔法》。目前,國內(nèi)能準(zhǔn)確測量微波介質(zhì)材料參數(shù)的單位主要是少數(shù)高校,但測試任務(wù)繁忙,且測試費(fèi)用較高。本文采用平行短路板法測量微波介質(zhì)材料的復(fù)介電常數(shù),主要討論TE011模的判斷方法,解決超越方程的求解問題和表面電阻(Rs)的測定問題。
將介質(zhì)材料制成圓柱形樣品,置于兩塊上下平行金屬板之間,通過圓環(huán)與外電路耦合,如圖1所示[2]。
根據(jù)麥克斯韋方程組和邊界條件可以推導(dǎo)出TE011模滿足下列方程組[2]:
(1)~(3)式中λ0和λg分別為自由空間波長和相波長,εr和D分別為樣品的相對介電常數(shù)和直徑,u,v分別為與波數(shù)有關(guān)的變量,J0(u)和J1(u)分別為零階和一階第一類貝塞爾函數(shù),K0(v)和K1(v)分別為零階和一階第二類變宗量貝塞爾函數(shù)。
由于是TE011模,λg=2L,L為樣品的高度。
要想得到εr,必須求解含貝塞爾函數(shù)的超越方程的(3)式。該方程用C語言編程,工作量很大。用Matlab求解,則較簡單。而且該方程是多值函數(shù),即一個v值對應(yīng)多個u值。圖2是用Matlab畫的圖。
已知v值,可以從圖2可讀出u值,但精度不高,可用Matlab編程精確求解。
介質(zhì)損耗角由下式計算[2]:
(4)式中Q0是諧振器的無載Q值(注:國標(biāo)當(dāng)作有載Q值),由諧振頻率f0,3dB帶寬△f,f0處插入損耗IL.計算[2]:
(4)式中RS是諧振器的表面電阻,計算公式[5]:
σr是金屬板的電導(dǎo)率與國際標(biāo)準(zhǔn)退火銅的電導(dǎo)率(在25℃時σ0=5.8×107S/m)之比。
σr一般采取已知介電損耗的介質(zhì)材料校準(zhǔn)得到,本文通過測量與TE011模相同頻率的TE013模諧振器的Q值得到[5]。
Q01和Q03分別為TE011模和TE013模諧振器的無載Q值。
tanδ和σr的計算均與含貝塞爾函數(shù)的F(u)、G(v)有關(guān)。F(u)、G(v)也可用Matlab畫出其相應(yīng)的波形,如圖3所示。
從上圖可知,F(xiàn)(u)、G(v)分別隨u、v的變化明顯,因此精確求解u和v的值非常重要。
采用電子陶瓷工藝,分別制作了4種短圓柱狀介質(zhì)諧振器(簡稱ε20、ε38、ε74和ε88),它們分別由介電常數(shù)為20的(Mg,Ca)TiO3材料、介電常數(shù)為38的(Zr,Sn)TiO4材料、介電常數(shù)為74的BaO-TiO2-Sm2O3材料和介電常數(shù)為88的BaO-TiO2-Nd2O3材料制成的。
對TE011模的介質(zhì)諧振器,其尺寸必須滿足下式[5]:
u01是貝塞爾函數(shù)J0(u)零點(diǎn)的根,如圖4所示。
將測試夾具(見圖5)接入矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀(Agilent Analyzer E570B),調(diào)節(jié)耦合環(huán)的間距(水下方向),使諧振器與輸入輸出環(huán)弱耦合,諧振器的頻響曲線(S21)如圖6所示。
從圖中看出有很多諧振峰,根據(jù)文獻(xiàn)[5],第二個峰是TE011模,還可以輕微升高測試夾具的上金屬板判斷,TE011?;静蛔兓?,第1個峰變化明顯,且往高頻方向漂移,不符合TE011模的特點(diǎn)。
表1 介質(zhì)諧振器的測試數(shù)據(jù)Tab.1 Measured data of dielectric resonators
由于TE013模介質(zhì)諧振器的高度很高,加工比較困難,故只選擇了ε88一種諧振器來測定σr的值。用公式(12)計算得σr=0.2448。
測試數(shù)據(jù)如表1。中QL是直接從網(wǎng)絡(luò)分析讀出的諧振器的有載Q值,與無載Q值的區(qū)別在于公式(9)中有無分母(1-10-IL/20),有載Q值沒有分母(1-10-IL/20)。其實(shí)當(dāng)IL大于25dB時,兩者的差別很小。
下面討論表1中的數(shù)據(jù)處理問題。表中v的值直接用公式(2),用Matllab語句:v=sqrt((pi*D*f0/300) ^2*((300/(2*f0*L))^2-1)),就能得到計算結(jié)果。關(guān)鍵是如何求u的值。最簡單的辦法是將v的值代公式(3),再用語句:fplot(‘函數(shù)名’,[取值范圍]),作出含u的曲線,如圖7所示為表中ε20的曲線。
曲線表明u有許多值,取第一個值(對應(yīng)TE011模),大約為3,如何得到精確值?只需用一條fzero指令,就能得到u的精確值,見表1。有了v和u的值,直接用Matllab寫公式就能計算εr和tanδ,計算結(jié)果見表1。
實(shí)際上,可以一次性編程來計算εr和tanδ,由于篇幅太長,本文未列出。
(1)取樣品的尺寸D/L在1.9~2.3范圍,TE011易與其它模式分開,頻響曲線中的第二個峰即為TE011模的諧振峰
(2)超越方程中的u值,通過Matlab的fplot和fzero指令能輕松得到精確解。
(3)金屬板的相對電導(dǎo)率σr通過測量與TE011模相同頻率的同種材料制成的TE013模的Q值,由公式(11)~(12)計算得到。
(4)該方法一次測量能計算得到微波介質(zhì)材料的相對介電常數(shù)和介電損耗,具有快速簡單的特點(diǎn)。
1 FIEDZIUSZKO S J,HUNTER I C,et al.Dielectric materials, devices and circuits,IEEE Trans.on MTT,2002,50(3): 706~720
2陳嘉禾,卞建江.無機(jī)介質(zhì)材料的微波介電特性測量.電子元件與材料,Vol.26(2),2007,1~4
3倪爾瑚著.介質(zhì)諧振器的微波測量.北京:科學(xué)出版社,2006
4徐得名,李兆年.微波介質(zhì)測量儀.儀器儀表學(xué)報,1984,vol.5 (4):416~419
5 YOSHIO K,SHUZO T.Modes of a dielectric rod resonator short-circuited at both ends by parallel conducting plates.IEEE Trans.on MTT,1980,28(10):1077~1085