曹良足 曹達(dá)明

（1.景德鎮(zhèn)陶瓷學(xué)院機(jī)電學(xué)院，江西景德鎮(zhèn)333001；2.東南大學(xué)吳健雄學(xué)院，江蘇南京211100）

0 前言

微波介質(zhì)材料廣泛用于制作介質(zhì)諧振器、介質(zhì)濾波器、雙工器、介質(zhì)天線以及微波集成電路介質(zhì)基片等[1]。這些介質(zhì)器件的性能很大程度取決于微波介質(zhì)材料的介電參數(shù)，特別是介電損耗。微波介質(zhì)材料的參數(shù)的測量方法主要有以下幾種[2-3]：傳輸線法、空腔微擾法和諧振閉腔法、平行短路板法（又稱截止開腔法）。傳輸線反射法是將介質(zhì)試樣放入短路波導(dǎo)中，通過測量波導(dǎo)的輸入阻抗來計算試樣的介電特性參數(shù)。該方法的特點(diǎn)是測量范圍寬，設(shè)備簡單。但樣品的尺寸精度要完全符合波導(dǎo)的內(nèi)壁尺寸?？涨晃_法是將桿狀樣品放入空腔中，應(yīng)用微擾理論推算出介質(zhì)材料的電磁特性。該方法適用于低介電常數(shù)（εr＜10）材料的測試[3]。諧振閉腔法是將圓柱形樣品置于同形狀的圓柱形閉腔中，用εr很低的材料作為支撐，根據(jù)諧振曲線的帶寬和頻率計算試樣的無載品質(zhì)因數(shù)。該方法是一種高精度測量介電損耗（tanδ）的方法，但該方法不能同時測量試樣的εr。平行短路板法是圓柱體介質(zhì)的兩端被上下平行金屬板短路，產(chǎn)生諧振現(xiàn)象，由諧振頻率和3dB帶寬計算出介質(zhì)的εr與tanδ，測量精度較高。但計算公式涉及貝塞爾函數(shù)的超越方程的求解，國內(nèi)外的文獻(xiàn)沒有給出具體的求解過程，困擾了很多科研人員。國內(nèi)測量微波介質(zhì)材料參數(shù)的方法主要是“開式腔”法，即平行短路板法，80年代初由上海大學(xué)率先研制出KWDJ型開放腔式微波介質(zhì)測量儀[4]，隨后制定了國標(biāo)GB7265.2-87《固體電介質(zhì)微波復(fù)介電常數(shù)的測試方法-開式腔法》。目前，國內(nèi)能準(zhǔn)確測量微波介質(zhì)材料參數(shù)的單位主要是少數(shù)高校，但測試任務(wù)繁忙，且測試費(fèi)用較高。本文采用平行短路板法測量微波介質(zhì)材料的復(fù)介電常數(shù)，主要討論TE011模的判斷方法，解決超越方程的求解問題和表面電阻(Rs)的測定問題。

1 測量原理

將介質(zhì)材料制成圓柱形樣品，置于兩塊上下平行金屬板之間，通過圓環(huán)與外電路耦合，如圖1所示[2]。

根據(jù)麥克斯韋方程組和邊界條件可以推導(dǎo)出TE011模滿足下列方程組[2]：

（1）～（3）式中λ0和λg分別為自由空間波長和相波長，εr和D分別為樣品的相對介電常數(shù)和直徑，u，v分別為與波數(shù)有關(guān)的變量，J0(u)和J1(u)分別為零階和一階第一類貝塞爾函數(shù)，K0(v)和K1(v)分別為零階和一階第二類變宗量貝塞爾函數(shù)。

由于是TE011模，λg=2L，L為樣品的高度。

要想得到εr，必須求解含貝塞爾函數(shù)的超越方程的（3）式。該方程用C語言編程，工作量很大。用Matlab求解，則較簡單。而且該方程是多值函數(shù)，即一個v值對應(yīng)多個u值。圖2是用Matlab畫的圖。

已知v值，可以從圖2可讀出u值，但精度不高，可用Matlab編程精確求解。

介質(zhì)損耗角由下式計算[2]：

（4）式中Q0是諧振器的無載Q值（注：國標(biāo)當(dāng)作有載Q值），由諧振頻率f0，3dB帶寬△f，f0處插入損耗IL.計算[2]：

（4）式中RS是諧振器的表面電阻，計算公式[5]：

σr是金屬板的電導(dǎo)率與國際標(biāo)準(zhǔn)退火銅的電導(dǎo)率（在25℃時σ0=5.8×107S/m）之比。

σr一般采取已知介電損耗的介質(zhì)材料校準(zhǔn)得到，本文通過測量與TE011模相同頻率的TE013模諧振器的Q值得到[5]。

Q01和Q03分別為TE011模和TE013模諧振器的無載Q值。

tanδ和σr的計算均與含貝塞爾函數(shù)的F（u）、G（v）有關(guān)。F（u）、G（v）也可用Matlab畫出其相應(yīng)的波形，如圖3所示。

從上圖可知，F(xiàn)（u）、G（v）分別隨u、v的變化明顯，因此精確求解u和v的值非常重要。

2 實(shí)驗(yàn)過程

采用電子陶瓷工藝，分別制作了4種短圓柱狀介質(zhì)諧振器（簡稱ε20、ε38、ε74和ε88），它們分別由介電常數(shù)為20的(Mg,Ca)TiO3材料、介電常數(shù)為38的(Zr,Sn)TiO4材料、介電常數(shù)為74的BaO-TiO2-Sm2O3材料和介電常數(shù)為88的BaO-TiO2-Nd2O3材料制成的。

2.1 樣品尺寸

對TE011模的介質(zhì)諧振器，其尺寸必須滿足下式[5]：

u01是貝塞爾函數(shù)J0(u)零點(diǎn)的根，如圖4所示。

2.2 模式判定

將測試夾具（見圖5）接入矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀（Agilent Analyzer E570B），調(diào)節(jié)耦合環(huán)的間距（水下方向），使諧振器與輸入輸出環(huán)弱耦合，諧振器的頻響曲線（S21）如圖6所示。

從圖中看出有很多諧振峰，根據(jù)文獻(xiàn)［5］，第二個峰是TE011模，還可以輕微升高測試夾具的上金屬板判斷，TE011?；静蛔兓?，第1個峰變化明顯，且往高頻方向漂移，不符合TE011模的特點(diǎn)。

表1 介質(zhì)諧振器的測試數(shù)據(jù)Tab.1 Measured data of dielectric resonators

2.3 Rs的測定

由于TE013模介質(zhì)諧振器的高度很高，加工比較困難，故只選擇了ε88一種諧振器來測定σr的值。用公式（12）計算得σr=0.2448。

2.4 測試數(shù)據(jù)與計算結(jié)果

測試數(shù)據(jù)如表1。中QL是直接從網(wǎng)絡(luò)分析讀出的諧振器的有載Q值，與無載Q值的區(qū)別在于公式（9）中有無分母（1-10-IL/20），有載Q值沒有分母（1-10-IL/20）。其實(shí)當(dāng)IL大于25dB時，兩者的差別很小。

下面討論表1中的數(shù)據(jù)處理問題。表中v的值直接用公式（2），用Matllab語句：v=sqrt((pi*D*f0/300) ^2*((300/(2*f0*L))^2-1))，就能得到計算結(jié)果。關(guān)鍵是如何求u的值。最簡單的辦法是將v的值代公式（3），再用語句：fplot(‘函數(shù)名’,［取值范圍］)，作出含u的曲線，如圖7所示為表中ε20的曲線。

曲線表明u有許多值，取第一個值（對應(yīng)TE011模），大約為3，如何得到精確值？只需用一條fzero指令，就能得到u的精確值，見表1。有了v和u的值，直接用Matllab寫公式就能計算εr和tanδ，計算結(jié)果見表1。

實(shí)際上，可以一次性編程來計算εr和tanδ，由于篇幅太長，本文未列出。

3 結(jié)論

（1）取樣品的尺寸D/L在1.9～2.3范圍，TE011易與其它模式分開，頻響曲線中的第二個峰即為TE011模的諧振峰

（2）超越方程中的u值，通過Matlab的fplot和fzero指令能輕松得到精確解。

（3）金屬板的相對電導(dǎo)率σr通過測量與TE011模相同頻率的同種材料制成的TE013模的Q值，由公式（11）～（12）計算得到。

（4）該方法一次測量能計算得到微波介質(zhì)材料的相對介電常數(shù)和介電損耗，具有快速簡單的特點(diǎn)。

1 FIEDZIUSZKO S J,HUNTER I C,et al.Dielectric materials, devices and circuits,IEEE Trans.on MTT,2002,50(3): 706～720

2陳嘉禾,卞建江.無機(jī)介質(zhì)材料的微波介電特性測量.電子元件與材料,Vol.26(2),2007,1～4

3倪爾瑚著.介質(zhì)諧振器的微波測量.北京:科學(xué)出版社,2006

4徐得名,李兆年.微波介質(zhì)測量儀.儀器儀表學(xué)報,1984,vol.5 (4):416～419

5 YOSHIO K,SHUZO T.Modes of a dielectric rod resonator short-circuited at both ends by parallel conducting plates.IEEE Trans.on MTT,1980,28(10):1077～1085