潘友華，陸法林，陳 峰

（鹽城師范學(xué)院物理科學(xué)與電子技術(shù)學(xué)院，江蘇鹽城224051）

1 引 言

單擺實(shí)驗(yàn)在大學(xué)基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)中是一個(gè)重要的必做實(shí)驗(yàn)，對此實(shí)驗(yàn)的研究也較多[1－5].我們實(shí)驗(yàn)室使用的上海復(fù)旦天欣科教儀器有限公司FDDB－Ⅱ型單擺實(shí)驗(yàn)儀，采用集成開關(guān)型霍爾傳感器和電子計(jì)時(shí)器實(shí)現(xiàn)自動(dòng)計(jì)時(shí)，能夠在較少的幾個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)，精確地測得角振幅θ0（最大擺角）很小時(shí)的單擺周期，有效減少了計(jì)時(shí)誤差，從而能比較精確地測得重力加速度.在使用該儀器的過程中發(fā)現(xiàn)，儀器的功能還可以進(jìn)一步拓展，在該實(shí)驗(yàn)儀上增加了很少的幾個(gè)配件，結(jié)果表明：除可使儀器操作更加方便、實(shí)驗(yàn)結(jié)果更加準(zhǔn)確外，還能定量研究周期T與θ0的關(guān)系.

2 對裝置的改進(jìn)

改進(jìn)后的裝置如圖1所示，主要添加了2個(gè)配件：

1）可計(jì)算角振幅的刻度板

如圖2所示，刻度板是背面貼上薄平面鏡的刻度尺，將刻度板水平固定在支架上，并可沿支架上下位置任意調(diào)整，這樣可較為準(zhǔn)確地讀出小球在角振幅位置時(shí)擺線（擺線上端點(diǎn)到刻度尺上邊的垂直距離為Y）的水平位移X，然后可以根據(jù)tanθ＝X／Y得出單擺的角振幅θ0.

2）電磁鐵控制擺球的釋放

圖1 改進(jìn)后的裝置

圖2 刻度板的構(gòu)造

自制電磁鐵如圖3所示，通電時(shí)該電磁鐵能吸住1個(gè)鐵質(zhì)擺球.電磁鐵通過控制開關(guān)與電源相接，通電時(shí)擺球被吸住，斷電時(shí)擺球由靜止開始作自由擺動(dòng).將電磁鐵固定于特制的支架內(nèi)，通過此支架可以任意調(diào)整電磁鐵的位置，支架可沿刻度板移動(dòng)，應(yīng)保證電磁鐵的中心在擺球運(yùn)動(dòng)的平面內(nèi).

圖3 電磁鐵的構(gòu)造圖

3 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容的拓展

主要從周期與角振幅的關(guān)系和測重力加速度兩方面作一些探討.

3.1 周期與角振幅

以往單擺測重力加速度實(shí)驗(yàn)都局限在單擺在小角度（小于5°）內(nèi)做近似等周期擺動(dòng)的情況下，測量單擺周期，一般不涉及周期與角振幅之間的關(guān)系.小角度單擺的振動(dòng)周期為T0＝2π，由于擺長l與g沒有變化，因此小角度單擺的振動(dòng)周期是常量，與角振幅θ0無關(guān).

單擺的實(shí)際振動(dòng)周期為[5]

略去高階項(xiàng)，取一級近似有：

θ0很小時(shí)，取零級近似有：T＝T0＝2π.根據(jù)式（2）描繪的T／T0－θ0關(guān)系的理論曲線見圖4.從圖4可以看出，單擺的周期與角振幅有關(guān)，周期隨角振幅的增大而增大，不是線性關(guān)系.

圖4 實(shí)驗(yàn)曲線

以特定擺長下的角振幅與周期關(guān)系為例，不考慮空氣阻力、擺線與懸掛點(diǎn)之間的摩擦力等因素，取擺線長度L1＝（75.60±0.05）cm，擺球半徑L2＝（1.013±0.001）cm，擺長為：L＝L1＋L2＝（76.61±0.05）cm，鹽城氣象局提供的當(dāng)?shù)刂亓铀俣戎禐間＝9.795 9m·s－2，由此可得T0＝1.757 1s.

角振幅可先測得X和Y，再由tanθ0＝X／Y求得.實(shí)驗(yàn)中測得不同角振幅下的周期，結(jié)果見表1（取Y＝0.720 0m）.

表1 周期與角振幅、的關(guān)系

表1 周期與角振幅、的關(guān)系

X／mθ0／（°）sin2θ0 T／s平均值0.046 5 3.70 0.001 040 1.758 1.758 1.758 1.758 1 21 2 3 4 5 6 7 8 9.758 1.756 1.758 1.756 1.757 1.757 4 0.080 5 6.38 0.003 096 1.758 1.758 1.758 1.759 1.759 1.759 1.758 1.759 1.758 1.758 4 0.114 5 9.04 0.006 205 1.760 1.760 1.760 1.760 1.759 1.760 1.760 1.760 1.760 1.759 9 0.120 5 9.50 0.006 859 1.760 1.759 1.760 1.761 1.760 1.760 1.760 1.761 1.761 1.760 2 0.145 5 11.42 0.009 907 1.761 1.762 1.761 1.762 1.762 1.760 1.762 1.762 1.762 1.761 6 0.165 5 12.95 0.012 708 1.763 1.762 1.763 1.7631.762 1.763 1.763 1.763 1.763 1.762 8

從圖4可以看出，隨著θ0增大T／T0逐漸增大，T／T0與θ0曲線的斜率也逐漸變大.實(shí)驗(yàn)曲線與理論曲線基本吻合，驗(yàn)證了單擺在角振幅較大時(shí)T／T0與θ0成非線性關(guān)系.

3.2 用單擺測重力加速度

用傳統(tǒng)的手控計(jì)時(shí)方法，單次測量周期的誤差可達(dá)0.1～0.2s，而多次測量又面臨空氣阻力使擺角衰減的情況，因而（2）式只能考慮到零級近似，而忽略.但是，當(dāng)單擺振動(dòng)周期可以精確測量時(shí)，可以考慮擺角對周期的影響，即可用一級近似公式.在此實(shí)驗(yàn)中，測出不同的θ0所對應(yīng)的周期T，利用Excel繪出曲線，如圖5所示，并將其外推，從截距得到單擺周期，從而更精確地測得重力加速度g.同時(shí)可得：相關(guān)系數(shù)r＝0.994 5，截距A＝1.757 0s，此即周期T.將T＝1.757 0s和θ0＝0代入（4）式，計(jì)算得到：g＝9.797 5m·s－2，該值與鹽城當(dāng)?shù)刂亓铀俣鹊墓J(rèn)值很接近，實(shí)驗(yàn)結(jié)果的相對偏差僅為0.016%.

圖5 曲線

4 結(jié)束語

改進(jìn)后的單擺實(shí)驗(yàn)儀可以通過刻度板計(jì)算出角振幅θ0，從而能定量研究周期T與角振幅θ0的關(guān)系.在測量重力加速度時(shí)，用曲線外推，從截距A得到周期T數(shù)據(jù)的處理方法得到更為精確的結(jié)果.電磁鐵的添加保證了擺球運(yùn)動(dòng)的初速度為0，提高了小球做單擺運(yùn)動(dòng)的成功率，也增強(qiáng)了整個(gè)實(shí)驗(yàn)裝置的可操作性.可保證擺球在一段時(shí)間內(nèi)做單擺運(yùn)動(dòng).

[1] 鞠衍清.任意擺角單擺運(yùn)動(dòng)周期的一個(gè)近似公式[J].沈陽工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，28（2）：230－232.

[2] 韋德泉，王秋芳.單擺的角振幅對其周期的影響[J].洛陽大學(xué)學(xué)報(bào)，2003，18（2）：102－103.

[3] 夏清華，楊國海.兩例非線性振動(dòng)周期的計(jì)算[J].高等函授學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1999（4）：28－30.

[4] 趙繼紅.單擺實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理[J].太原師范專科學(xué)校學(xué)報(bào)，2001（3）：12－13.

[5] 楊述武，馬葭生，賈玉民，等.普通物理實(shí)驗(yàn)（力學(xué)及熱學(xué)部分）[M].3版.北京：高等教育出版社，2004：69－73.