楊 帆， 張振南

(1.上海大學(xué)土木工程系，上海200072;2.上海交通大學(xué)船舶海洋與建筑工程學(xué)院，上海200240)

巖體內(nèi)部含有大量節(jié)理，一般在計(jì)算時(shí)將節(jié)理 簡(jiǎn)化成裂紋.對(duì)于節(jié)理擴(kuò)展匯合模式，國(guó)內(nèi)外學(xué)者［1-6］已進(jìn)行了大量的理論與試驗(yàn)研究.對(duì)于主要節(jié)理，一般采用節(jié)理單元法來(lái)再現(xiàn)節(jié)理面之間的相互作用，其中Goodman類型的節(jié)理單元［5］能夠很好地模擬節(jié)理的力學(xué)特性.但是在應(yīng)用該方法時(shí)，有限元網(wǎng)格劃分需要事先考慮節(jié)理分布和幾何形狀，以便設(shè)置節(jié)理單元.另外，在節(jié)理擴(kuò)展時(shí)還要重新修正網(wǎng)格，以便設(shè)置節(jié)理單元，使模擬過(guò)程得以繼續(xù)，這些都給節(jié)理擴(kuò)展過(guò)程的數(shù)值模擬帶來(lái)很大不便.為了避免前處理網(wǎng)格劃分問(wèn)題和節(jié)理擴(kuò)展后網(wǎng)格修正問(wèn)題，張振南等［7-8］提出了單元劈裂法(element partition method，EPM)，該方法利用常應(yīng)變?nèi)菃卧膸缀翁攸c(diǎn)構(gòu)造了一種特殊的三節(jié)點(diǎn)接觸單元，用以再現(xiàn)節(jié)理面之間的接觸和摩擦效應(yīng)，還可以在原有網(wǎng)格劃分方案的基礎(chǔ)上直接對(duì)裂紋擴(kuò)展進(jìn)行模擬，使得節(jié)理擴(kuò)展數(shù)值模擬更為簡(jiǎn)單、高效.目前國(guó)際上流行的擴(kuò)展有限元法(extended finite element method，XFEM)［9-10］也可以在不用重新劃分網(wǎng)格的基礎(chǔ)上對(duì)裂紋擴(kuò)展進(jìn)行數(shù)值模擬.與EPM相比，XFEM更為精確，但計(jì)算過(guò)程復(fù)雜;而EPM的精確度取決于網(wǎng)格尺寸，計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單，因而為實(shí)際工程的預(yù)先粗略計(jì)算提供了很好的計(jì)算手段.

摩爾-庫(kù)侖(Mohr-Coulomb)準(zhǔn)則在巖土工程界是一個(gè)廣泛使用的破壞準(zhǔn)則.當(dāng)材料微元滿足該準(zhǔn)則時(shí)，微元發(fā)生破壞，相當(dāng)于在微元層面上形成一個(gè)裂紋微段.本研究試圖以摩爾-庫(kù)侖準(zhǔn)則作為一種單元劈裂準(zhǔn)則，應(yīng)用單元劈裂法對(duì)巖體節(jié)理擴(kuò)展行為進(jìn)行模擬，以探索這種方法在節(jié)理擴(kuò)展模擬過(guò)程中的有效性.

1 單元劈裂法

單元劈裂法［7］利用三角單元的幾何特點(diǎn)構(gòu)造特殊的三節(jié)點(diǎn)接觸單元(見(jiàn)圖1)，即當(dāng)有裂紋貫穿時(shí)，總有一個(gè)節(jié)點(diǎn)(節(jié)點(diǎn)3)在裂紋的一側(cè)，另外2個(gè)節(jié)點(diǎn)(節(jié)點(diǎn)1和2)在裂紋的另一側(cè).在裂紋一側(cè)的一個(gè)節(jié)點(diǎn)可與另外2個(gè)節(jié)點(diǎn)分別構(gòu)成2個(gè)接觸點(diǎn)對(duì).根據(jù)這2個(gè)接觸點(diǎn)對(duì)可以推導(dǎo)出三節(jié)點(diǎn)接觸單元的剛度矩陣［7］為

圖1 受裂紋切割的單元網(wǎng)格與三節(jié)點(diǎn)接觸單元Fig.1 Mesh intersected by crack and the tri-node contact element

式中，Kn，Ks分別為法向剛度系數(shù)和切向剛度系數(shù)，L為節(jié)理與三角單元相交的長(zhǎng)度，h為節(jié)理厚度，Hij為表示節(jié)理張開(kāi)與否的參量，

在整體坐標(biāo)系內(nèi)，劈裂單元的剛度矩陣可表示為

式中，Q為轉(zhuǎn)換矩陣，

其中θ為節(jié)理與坐標(biāo)軸的夾角.

2 節(jié)理力學(xué)模型

由于原始節(jié)理(即巖石等脆性材料的已有裂隙)間含有填充物，使得節(jié)理面之間處于一種弱膠結(jié)狀態(tài)，從而具有一定的黏聚力，如圖2所示.節(jié)理面何時(shí)產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)取決于節(jié)理面之間的黏結(jié)強(qiáng)度和作用于節(jié)理面的法向和切向應(yīng)力.在同一節(jié)理面內(nèi)，膠結(jié)強(qiáng)度越大，節(jié)理面越不容易產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng);同時(shí)，法向應(yīng)力越大，節(jié)理面之間的摩擦應(yīng)力也越大，就越不容易產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng).而一旦產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)， 節(jié)理面之間的相對(duì)摩擦阻力就會(huì)突然降低.為了描述這一過(guò)程，采用如下節(jié)理面相對(duì)滑動(dòng)準(zhǔn)則，即

式中，F(xiàn)s，F(xiàn)n分別為節(jié)理面切向應(yīng)力和法向應(yīng)力，Cj為原始節(jié)理面內(nèi)黏聚物黏聚力，μ為節(jié)理接觸面的摩擦系數(shù).式(4)實(shí)質(zhì)上是摩爾-庫(kù)侖準(zhǔn)則的簡(jiǎn)單描述形式.

圖2 原始節(jié)理示意圖Fig.2 Illustration of intact joint

在節(jié)理面滿足滑動(dòng)準(zhǔn)則之前，節(jié)理面的切向剛度與法向剛度取相同量級(jí);當(dāng)節(jié)理面滿足滑動(dòng)準(zhǔn)則時(shí)，節(jié)理面法向剛度保持不變，而切向剛度降為0 (或很小量級(jí)).因而，原始節(jié)理的三節(jié)點(diǎn)節(jié)理單元?jiǎng)偠染仃嚳杀硎緸?/p>

式中，

3 節(jié)理擴(kuò)展過(guò)程的模擬

節(jié)理擴(kuò)展過(guò)程就是節(jié)理尖端材料劈裂過(guò)程(見(jiàn)圖3)，在節(jié)理尖端取一微元，微元破壞機(jī)理可由摩爾-庫(kù)侖準(zhǔn)則來(lái)描述.當(dāng)微元應(yīng)力狀態(tài)滿足摩爾-庫(kù)侖準(zhǔn)則時(shí)，微元發(fā)生破壞，形成一個(gè)裂紋微段，表現(xiàn)在數(shù)值模型上，則為裂尖單元發(fā)生劈裂.因而，可以將摩爾-庫(kù)侖準(zhǔn)則作為單元劈裂準(zhǔn)則，即

式中，τf為巖體破壞面的抗剪強(qiáng)度，c為巖體黏聚力，σn為垂直破壞面的法向應(yīng)力，φ為內(nèi)摩擦角.

本研究假設(shè)單元劈裂面垂直于最大主應(yīng)變?chǔ)?方向.同時(shí)，為了確定裂紋面的位置，假設(shè)滑移面經(jīng)過(guò)三角單元的中心，如圖3所示.

4 不同圍壓下節(jié)理擴(kuò)展數(shù)值模擬

4.1 數(shù)值模擬參數(shù)

為檢驗(yàn)本方法的有效性，本研究應(yīng)用自編的有限單元程序?qū)鷫簵l件下雙裂紋擴(kuò)展進(jìn)行數(shù)值模擬.試件尺寸、裂紋分布模式及試驗(yàn)結(jié)果均取自文獻(xiàn)［6］.試件數(shù)值模擬參數(shù)如表1所示，尺寸及裂紋分布如圖4所示，其中假設(shè)巖石破壞前為線彈性.在模擬過(guò)程中，采用三節(jié)點(diǎn)常應(yīng)變?nèi)切螁卧瑔卧倲?shù)為28 282，節(jié)點(diǎn)總數(shù)為14 400;采用位移控制加載方案，每一荷載步為 0.000 6εt×635=0.160 02× 10－3mm.針對(duì)不同的巖橋傾角，每種情況采用0.35，0.70，1.50 MPa 3種不同的圍壓進(jìn)行數(shù)值模擬.

4.2 0.35 MPa圍壓下的裂紋擴(kuò)展分析

圖5為傾角β/α=45°/0°時(shí)不同荷載步下的裂紋擴(kuò)展情況.圖中可以看出，隨著荷載步的增加，試件的外翼裂紋和內(nèi)翼裂紋從初始裂紋的尖端開(kāi)始豎直向上擴(kuò)展;緊接著是次裂紋從初始裂紋尖端順著初始裂紋方向擴(kuò)展，最終在巖橋中間位置匯合，貫穿整個(gè)巖橋.所模擬的整個(gè)裂紋擴(kuò)展過(guò)程與文獻(xiàn)［6］中的試驗(yàn)結(jié)果基本吻合.

圖4 含有預(yù)置裂紋的試件［6］Fig.4 Specimen containing pre-existed cracks［6］

圖5 β/α=45°/0°時(shí)不同荷載步下的裂紋擴(kuò)展Fig.5 Fracture propagation at different loading steps when β/α=45°/0°

圖6為傾角β/α=45°/30°時(shí)不同荷載步下的裂紋擴(kuò)展情況.圖中可以看出，隨著荷載步的增加，初始裂紋的2個(gè)尖端均出現(xiàn)了向上擴(kuò)展的翼裂紋.當(dāng)巖橋區(qū)出現(xiàn)次裂紋擴(kuò)展時(shí)，張拉型的內(nèi)翼裂紋與剪切型的次裂紋發(fā)生匯合，連接了初始裂紋的2個(gè)內(nèi)部尖端.由此可見(jiàn)，巖橋區(qū)的破壞是由剪切和張拉應(yīng)力共同作用的結(jié)果.

圖6 β/α=45°/30°時(shí)不同荷載步下的裂紋擴(kuò)展Fig.6 Fracture propagation at different loading steps when β/α=45°/30°

圖7為傾角β/α=45°/45°時(shí)不同荷載步下的裂紋擴(kuò)展情況.同其他傾角情況相似，首先是外翼裂紋向豎直方向擴(kuò)展，達(dá)到一定程度以后，初始裂紋內(nèi)部尖端的巖橋區(qū)出現(xiàn)了內(nèi)翼裂紋擴(kuò)展.當(dāng)內(nèi)翼匯合后，外翼裂紋繼續(xù)沿著豎直方向擴(kuò)展，直至試件最終發(fā)生破壞.圖8～圖10分別為傾角β/α=45°/60°，45°/75°，45°/90°時(shí)不同荷載步下的裂紋擴(kuò)展情況.由圖可見(jiàn)，隨著荷載步逐漸增加，翼裂紋仍然是最先沿荷載方向擴(kuò)展，隨后在巖橋區(qū)產(chǎn)生剪切型裂紋與張拉型裂紋的匯合，從而導(dǎo)致試件最終發(fā)生破壞.

圖7 β/α=45°/45°時(shí)不同荷載步下的裂紋擴(kuò)展Fig.7 Fracture propagation at different loading steps when β/α=45°/45°

圖8 β/α=45°/60°時(shí)不同荷載步下的裂紋擴(kuò)展Fig.8 Fracture propagation at different loading steps when β/α=45°/60°

圖9 β/α=45°/75°時(shí)不同荷載步下的裂紋擴(kuò)展Fig.9 Fracture propagation at different loading steps when β/α=45°/75°

為了便于將試驗(yàn)結(jié)果與模擬結(jié)果作對(duì)比分析，現(xiàn)將不同巖橋傾角的模擬結(jié)果列于圖11.從圖中可以看出，當(dāng)巖橋傾角大于0°時(shí)，巖橋出現(xiàn)了剪切裂紋匯合(即原有裂紋的內(nèi)側(cè)裂尖順著原有裂紋方向產(chǎn)生剪切裂紋匯合)和張拉裂紋匯合(即在巖橋區(qū)內(nèi)產(chǎn)生豎直方向的裂紋匯合).總體上看，試驗(yàn)所得的裂紋擴(kuò)展模式和數(shù)值模擬所得的裂紋擴(kuò)展模式基本一致.

圖10 β/α=45°/90°時(shí)不同荷載步下的裂紋擴(kuò)展Fig.10 Fracture propagation at different loading steps when β/α=45°/90°

但從圖11中也可以看出，數(shù)值模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果存在一些差異.如在試驗(yàn)中試件會(huì)同時(shí)出現(xiàn)幾條翼裂紋，而且有些是在裂紋中部開(kāi)始擴(kuò)展，而數(shù)值模擬結(jié)果中沒(méi)有同時(shí)出現(xiàn)幾條翼裂紋的情況，這主要是由于本模型中沒(méi)有考慮巖石的非均質(zhì)性問(wèn)題.眾所周知，巖石具有非均質(zhì)特性，因而在受載過(guò)程中，裂紋會(huì)在薄弱點(diǎn)成核、擴(kuò)展等，宏觀上會(huì)出現(xiàn)隨機(jī)裂紋現(xiàn)象.而在本模型中，巖石為均質(zhì)材料，因而沒(méi)有出現(xiàn)試驗(yàn)中的隨機(jī)次生裂紋.但數(shù)值模擬結(jié)果能夠基本再現(xiàn)裂紋擴(kuò)展模式，與試驗(yàn)結(jié)果在整個(gè)趨勢(shì)上是一致的.因而，應(yīng)用包含摩爾-庫(kù)侖準(zhǔn)則的單元劈裂法可以模擬圍壓狀態(tài)下的裂紋擴(kuò)展和匯合行為.

4.3 不同圍壓下裂紋擴(kuò)展對(duì)比分析

為分析不同圍壓下的裂紋擴(kuò)展特點(diǎn)，本研究針對(duì)不同的巖橋傾角，分別施加0.35，0.70，1.50 MPa 3種不同圍壓對(duì)裂紋擴(kuò)展進(jìn)行模擬.圖12為當(dāng)β/α=45°/45°時(shí)，3種不同圍壓下的裂紋擴(kuò)展模式.從圖中可以看出，在圍壓由 0.35 MPa增大到0.70 MPa的過(guò)程中，裂紋擴(kuò)展模式基本沒(méi)有變化，只是在0.70 MPa圍壓下，張拉型翼裂紋擴(kuò)展變“慢”了.但當(dāng)圍壓增大到1.50 MPa時(shí)，張拉型翼裂紋不存在了，取而代之的是剪切型裂紋從內(nèi)側(cè)裂尖開(kāi)始擴(kuò)展.這是因?yàn)樵诘蛧鷫籂顟B(tài)下，圍壓還不足以約束張拉型翼裂紋擴(kuò)展;但隨著圍壓逐漸增大，這種約束力越來(lái)越強(qiáng)，以至于張拉型翼裂紋擴(kuò)展變“慢”;最后，隨著圍壓的進(jìn)一步增大，圍壓完全約束住了張拉型翼裂紋擴(kuò)展，從而出現(xiàn)剪切裂紋擴(kuò)展，這一趨勢(shì)符合圍壓條件下的裂紋擴(kuò)展特征.圖13為當(dāng)β/α= 45°/45°時(shí)，不同圍壓下的軸向應(yīng)力-應(yīng)變曲線.從圖中可以看出，隨著圍壓的增大，應(yīng)力曲線的峰值也在增大，這與實(shí)際情況相符.

圖11 裂紋匯合模式的試驗(yàn)結(jié)果［6］與模擬結(jié)果對(duì)比Fig.11 Comparison of the coalescence pattern between the experimental［6］and the simulated results

圖12 不同圍壓下裂紋擴(kuò)展對(duì)比(β/α=45°/45°)Fig.12 Comparison offracturepropagation under different confining stresses(β/α=45°/45°)

5 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)與現(xiàn)有雙裂紋圍壓試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，包含摩爾-庫(kù)侖準(zhǔn)則的單元劈裂法可以較好地模擬出巖體節(jié)理的擴(kuò)展和匯合過(guò)程，能基本再現(xiàn)巖體試件的破環(huán)特征.這是由于單元劈裂法能夠在網(wǎng)格不變的情況下模擬節(jié)理的擴(kuò)展和匯合行為，因此避免了重新劃分網(wǎng)格，減少了計(jì)算量，從而在數(shù)值模擬節(jié)理巖體破壞的過(guò)程中具有一定的優(yōu)勢(shì).但單元劈裂法沒(méi)有考慮劈裂后所形成的2個(gè)塊體自身的彈塑性變形，所以該方法只是一種近似方法.

圖13 不同圍壓下的軸向應(yīng)力-應(yīng)變曲線(β/α=45°/45°)Fig.13 Uniaxial stress-strain curves under different confining stresses(β/α=45°/45°)

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