方 勇， 趙維杰， 汪 敏

(上海大學(xué)特種光纖與光接入網(wǎng)省部共建重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海200072)

OFDM技術(shù)以其高效的頻譜利用率而被LTE (long term evolution)和802.16m等下一代移動(dòng)通信標(biāo)準(zhǔn)所選用.OFDM系統(tǒng)對(duì)非理想載波同步引起的載波頻率偏移(carrier frequency offset，CFO)和高速移動(dòng)引起的快衰落信道都十分敏感，二者均會(huì)破壞子載波間的正交性并引起子載波間干擾(intercarrier interference，ICI)，從而導(dǎo)致誤碼率(BER)性能下降［1］.為了克服非理想載波同步問(wèn)題，必須采用ICI消除技術(shù)［2］，而針對(duì)快衰落信道，則需要使用快衰落信道估計(jì)技術(shù)［3］.但是，ICI消除技術(shù)只對(duì)理想信道有效，即該技術(shù)必須在信道估計(jì)及均衡之后完成;而現(xiàn)有的信道估計(jì)算法卻依賴(lài)于精確的載波同步，也就是說(shuō)信道估計(jì)必須在ICI消除技術(shù)應(yīng)用之后才能生效，二者相互矛盾.所以，為了解決這一矛盾，研究非理想同步下的快衰落信道估計(jì)技術(shù)有重要意義.

目前，針對(duì)非理想載波同步問(wèn)題，有3類(lèi)ICI消除算法，分別是ICI自消除［6-8］、頻域均衡［4］以及時(shí)域加窗［5］.這3類(lèi)算法均假設(shè)無(wú)線信道的頻率響應(yīng)是已知的并且等于1，這意味著在使用ICI消除技術(shù)之前必須對(duì)快衰落信道進(jìn)行快衰落信道估計(jì)及均衡.現(xiàn)有的快衰落信道估計(jì)算法利用已知的快衰落信道的統(tǒng)計(jì)特性，在時(shí)域或變換域中減少待估計(jì)的參數(shù)個(gè)數(shù)，使導(dǎo)頻方程成為超定的，再利用LS或者最小均方誤差(minimum mean squared error，MMSE)估計(jì)器進(jìn)行信道估計(jì)［3，9-16］.文獻(xiàn)［3］在時(shí)域中利用已知的信道抽頭間最大后驗(yàn)(maximum a posteriori，MAP)概率的方法來(lái)減少待估計(jì)參數(shù)個(gè)數(shù);文獻(xiàn)［9］提出了基于基擴(kuò)展模型(basis expansion model，BEM)的快衰落信道估計(jì)方法，該方法利用信道在頻域中的稀疏性來(lái)減少待估計(jì)參數(shù)個(gè)數(shù)，該稀疏性源于信道功率譜密度所具有的低通特性;同樣，文獻(xiàn)［10-11］提出的廣義復(fù)指數(shù)基擴(kuò)展模型(general complex-exponential-BEM，GCE-BEM)算法，以及文獻(xiàn)［12］提出的多項(xiàng)式基擴(kuò)展模型(polynomial-BEM，P-BEM)算法等都屬于BEM類(lèi)算法，只是每個(gè)算法所利用的變換域不同.可見(jiàn)，現(xiàn)有的快衰落信道估計(jì)算法中，待估計(jì)參數(shù)的減少必須依賴(lài)于已知的信道統(tǒng)計(jì)特性，這是唯一已知的先驗(yàn)知識(shí).但在非理想載波同步時(shí)，信道的自相關(guān)矩陣由于受到CFO的影響變?yōu)橐粋€(gè)未知的隨機(jī)矩陣，那么這些使參數(shù)減少的方法便會(huì)失效，從而無(wú)法完成非理想載波同步下的快衰落信道估計(jì).另一方面，這些算法都將非導(dǎo)頻項(xiàng)歸入高斯噪聲項(xiàng)中，增大了建模誤差，降低了估計(jì)精度.

為此，本研究提出一種非理想載波同步下的快衰落信道估計(jì)算法，該算法可以同時(shí)克服CFO和快衰落信道產(chǎn)生的ICI.首先，將CFO與快衰落CIR矩陣結(jié)合，提出了廣義信道沖擊響應(yīng)矩陣(G-CIR)，建立了非理想同步快衰落信道估計(jì)模型;然后，利用G-CIR自相關(guān)矩陣的統(tǒng)計(jì)特性，提出了G-CIR自相關(guān)矩陣的對(duì)角化方法，并由此推導(dǎo)出了基于信道核向量的緊湊型CIR矩陣壓縮表示及其等效信道模型，減少了待估計(jì)參數(shù)個(gè)數(shù)，降低了建模誤差;最后，利用最小二乘(LS)估計(jì)器估計(jì)出信道核向量，并重構(gòu)出快衰落CIR矩陣.仿真結(jié)果驗(yàn)證了本研究提出的非理想載波同步下快衰落信道估計(jì)算法的有效性.

1 系統(tǒng)模型

在非理想載波同步下，n時(shí)刻第k個(gè)子載波上的解調(diào)信號(hào)Y(k)可以表示為

式中，r=［r(0)，r(1)，…，r(N-1)］T為時(shí)域接收信號(hào)向量，z=［z(0)，z(1)，…，z(N-1)］T為時(shí)域加性高斯白噪聲(additive white Gaussion noise，AWGN)向量，H為信道沖擊響應(yīng)(CIR)矩陣.假設(shè)最大可辨多徑數(shù)為L(zhǎng)，則H可以表示為

式中，hl(n)為n接收時(shí)刻第l(0≤l≤L-1)條徑上的信道沖擊響應(yīng)系數(shù)，它是一個(gè)零均值的復(fù)高斯過(guò)程.根據(jù)Jakes模型，hl(n)的自相關(guān)函數(shù)滿足［8］

式中，J0(·)表示第一類(lèi)零階貝塞爾函數(shù)，fd和Ts分別表示最大多普勒頻移和采樣時(shí)間.對(duì)式(4)兩邊進(jìn)行快速傅里葉變換(FFT)，得到如下頻域信道模型：

式中，G∶=FHFH為信道傳輸矩陣，Z為頻域噪聲向量.在快衰落情況下，G是一個(gè)帶型矩陣，其矩陣帶寬與fd有關(guān).將式(7)代入式(3)，可以得到非理想同步時(shí)的頻域通用信道模型如下：

根據(jù)循環(huán)矩陣的性質(zhì)，可以用FFT矩陣F對(duì)C進(jìn)行奇異值分解 C=FΛFH，其中 Λ=diag(λ0，λ1，…，λN-1)為對(duì)角陣，其第i個(gè)元素λi可以表示為C的第一行元素的DFT變換，因此，

利用C的奇異值分解，可以將式(8)重寫(xiě)為

對(duì)式(10)進(jìn)行IFFT變換，可以得到非理想同步時(shí)的時(shí)域通用信道模型：

定義Hg∶=ΛH為G-CIR矩陣，它同時(shí)包含了CFO和快衰落信道兩種信息.由此，建立了非理想載波同步下的快衰落信道模型，并將對(duì)實(shí)際信道的估計(jì)轉(zhuǎn)化為對(duì)Hg的估計(jì).特別地，在理想同步下，矩陣Λ退化為單位陣，此時(shí)，問(wèn)題簡(jiǎn)化為傳統(tǒng)的快衰落信道估計(jì)問(wèn)題.而在非理想同步下，頻域上G與C相乘后不再是帶型矩陣，這不僅使未知元素增多為N×N個(gè)，而且?guī)?lái)了更加嚴(yán)重的ICI;時(shí)域上對(duì)角陣Λ與H相乘后雖然沒(méi)有使未知元素個(gè)數(shù)增多(仍為N× L個(gè))，但卻改變了H的統(tǒng)計(jì)特性，使其自相關(guān)不再滿足式(6)，即Hg的自相關(guān)矩陣是一個(gè)未知矩陣.另外，無(wú)論是在時(shí)域還是頻域上，信道未知元素個(gè)數(shù)均數(shù)倍于子載波個(gè)數(shù)N，也就是說(shuō)，即使插滿導(dǎo)頻也只能得到一個(gè)欠定方程組.因此，必須對(duì)Hg的自相關(guān)矩陣進(jìn)行研究，并在此基礎(chǔ)上提出信道的壓縮表示方法，以減少待估計(jì)參數(shù)的個(gè)數(shù)，從而完成非理想載波同步下的信道估計(jì).

2 緊湊型G-CIR自相關(guān)矩陣的對(duì)角化方法

下面將對(duì)G-CIR自相關(guān)矩陣的統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行研究，并提出緊湊型G-CIR自相關(guān)矩陣的對(duì)角化方法.該方法將自相關(guān)矩陣的隨機(jī)性約束在對(duì)角陣中，為信道壓縮表示提供基礎(chǔ).

2.1 緊湊型G-CIR矩陣及其統(tǒng)計(jì)特性

為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，先將實(shí)際CIR矩陣H中的0元素去除，定義緊湊型CIR矩陣為

由于在接收機(jī)完成同步操作后，頻偏ε是個(gè)未知的確定值，所以矩陣Λ在每次接收時(shí)也是個(gè)未知的確定矩陣.那么，根據(jù)式(6)和(13)，可以計(jì)算出緊湊型G-CIR自相關(guān)矩陣

式中，

式中，(·)N表示模N運(yùn)算.利用Kronecker積的性質(zhì)［17］，可以將式(14)重寫(xiě)為

式中，Φ∶=ΛJNΛH，

為第一類(lèi)零階貝塞爾矩陣，IL為L(zhǎng)×L的單位陣，?表示Kronecker積.根據(jù)Hadamard積的性質(zhì)［17］，可將Φ寫(xiě)成Φ=(ΛΛH)⊙JN，其中⊙表示Hadamard積.根據(jù)式(9)，可將ΛΛH化簡(jiǎn)得

于是，Φ可以進(jìn)一步化簡(jiǎn)為

2.2 緊湊型G-CIR自相關(guān)矩陣的對(duì)角化表示

下面研究緊湊型G-CIR自相關(guān)矩陣的對(duì)角化表示方法，將RΞ分解為2個(gè)確定的酉陣和一個(gè)隨機(jī)的對(duì)角陣的乘積，使RΞ的隨機(jī)性?xún)H體現(xiàn)在對(duì)角陣中.由于RΞ的隨機(jī)部分僅由Φ決定，所以先考察Φ.為了分離Φ中的隨機(jī)部分，利用向量化算子［17］vec(·)對(duì)Φ進(jìn)行向量化操作

定義函數(shù)f(m)=(m-1)mod N和g(m)=「m/N?-1用于計(jì)算向量化前后的元素下標(biāo)，則vec()中第m個(gè)元素為(f(m)，g(m)).定義vec()的自相關(guān)矩陣R為

假設(shè)對(duì)歸一化頻偏ε的統(tǒng)計(jì)特性一無(wú)所知，那么ε為［0，1］上均勻分布的隨機(jī)變量，因此，

式中，Q為NN×NN的酉陣，Ω為NN×NN的對(duì)角陣.由于Q是酉陣，那么其N(xiāo)N個(gè)列向量是NN維向量空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，因此，NN維列向量vec()可以由以下這組基線性表示：

式中，e為NN維隨機(jī)列向量，其均方為E［eeH］= Ω，這可以由下式來(lái)證明：

如果將e中均方值較小的元素作為建模誤差并去除，則可以減少e的維數(shù).由于e的均方由Ω的奇異值決定，因此，保留Ω對(duì)角線上前M大的元素并記為Ω(t)，那么=Q(t)Ω(t)Q(t)H，其中Q(t)由Ω中被保留的奇異值在Q中的對(duì)應(yīng)列組成.由此，式(24)可以近似寫(xiě)成

式中，Pk∶=unvec()為矩陣化后的N×N維矩陣.將式(27)代入式(18)，可得

對(duì) JN⊙Pk進(jìn)行奇異值分解，可得 JN⊙Pk= UkΔkVHk，則

將式(29)寫(xiě)成矩陣形式，可得

將式(30)代入式(16)中，得到

3 緊湊型G-CIR矩陣的壓縮表示及信道估計(jì)

3.1 緊湊型G-CIR矩陣的壓縮表示

下面利用RΞ的對(duì)角化表示推導(dǎo)緊湊型G-CIR矩陣的壓縮表示.為了減少中未知元素的個(gè)數(shù)以簡(jiǎn)化RΞ的對(duì)角化表示，將對(duì)角線上較小的元素作為建模誤差舍去，僅保留前T(T?N)大的元素，并寫(xiě)成對(duì)角陣，那么式(30)可以近似寫(xiě)成

將式(32)代入式(16)，得到

由b(k)的均方可知，列向量b中僅前TL個(gè)元素非0，這些非0元素對(duì)應(yīng)的是?IL的前TL個(gè)列向量，即?IL，而其余的列向量均與b中的0元素相乘，所以可以省去.由此，式(35)可以重寫(xiě)為

式中，TL維的列向量c由b的前TL(TL?N)個(gè)元素組成，即c=［b(1)，b(2)，…，b(TL)］T.由此，就得到了緊湊型G-CIR矩陣的一種壓縮表示.

3.2 等效信道模型及信道估計(jì)

為了利用3.1節(jié)得到的緊湊型G-CIR矩陣壓縮表示，必須重寫(xiě)式(11)中的非理想同步下的快衰落信道模型.由于卷積運(yùn)算滿足交換律，所以可以將式(11)中的x寫(xiě)成卷積形式，得到

式中，

將式(38)代入式(39)，得到

式(41)是基于緊湊型G-CIR矩陣壓縮表示的等效信道模型，其中TL維的列向量c是與信道相關(guān)的待估計(jì)參數(shù).導(dǎo)頻方程個(gè)數(shù)只需大于TL個(gè)便可以建立超定方程組，以求解列向量c.式(41)中，接收信號(hào)y中的第p個(gè)元素y(p)對(duì)應(yīng)于發(fā)射信號(hào)的第p行，其中非0元素為x((p)N)，x((p-1)N)，…，x((p-L+1)N)，(n)N表示對(duì)n作模N運(yùn)算.因此，為了建立導(dǎo)頻方程，必須采用集中式(localized)的導(dǎo)頻模式，如果y(p)是導(dǎo)頻信號(hào)，那么中的第p行非0元素也為導(dǎo)頻.這樣，導(dǎo)頻方程可以表示為

式中，(·)(P)表示導(dǎo)頻處的信號(hào).與傳統(tǒng)信道估計(jì)建模方法不同，式(42)的導(dǎo)頻方程組中僅含有導(dǎo)頻數(shù)據(jù)，非導(dǎo)頻數(shù)據(jù)只位于非導(dǎo)頻方程中，因此，并不會(huì)對(duì)信道估計(jì)產(chǎn)生影響，從而減小了建模誤差.利用最小二乘(LS)估計(jì)器求解式(42)，得到c的估計(jì)值為

為了從c中重構(gòu)出G-CIR矩陣，必須建立二者之間的關(guān)系式.根據(jù)Kronecker積的性質(zhì)［17］，可以將式(41)寫(xiě)成

由于矩陣X—與向量x中的非0元素是相同的，那么根據(jù)向量化算子vec(·)的性質(zhì)［17］，可以用交換矩陣將x中的元素重新排列到vec(X—)中，即

式中，K為交換矩陣，其每一行最多僅有一個(gè)非0元素，且該非0元素為1.將式(45)代入式(44)中，得到

結(jié)合式(11)和(46)，可得c與G-CIR矩陣的閉式表達(dá)式為

根據(jù)式(43)和(47)，可以通過(guò)c^重構(gòu)出G-CIR矩陣，即

4 仿真分析

設(shè)OFDM系統(tǒng)采用四相差分相移鍵控(quadriphase differential phase shift keying，QDPSK)調(diào)制，載波頻率為3.5 GHz，采樣率為0.75 MHz，子載波個(gè)數(shù)N=1 024，OFDM符號(hào)周期為1 365.3 μs，保護(hù)間隔為13.3 μs，最大可辨多徑數(shù)L=4.信道沖擊響應(yīng)符合Jakes模型，仿真中分別考慮最大多普勒頻偏為1.0和1.5 kHz 2種情況.

圖2給出了本研究提出的算法在非理想載波同步下的快衰落信道估計(jì)中的BER性能，其中分別考慮了最大多普勒頻偏為1.0和1.5 kHz 2種情況，而CFO方面則比較了歸一化頻偏為0.2和0.5時(shí)的2種情況.仿真中，fd=1.0和1.5 kHz 2種情況下所對(duì)應(yīng)的導(dǎo)頻比例分別為5.00%和6.25%，而對(duì)應(yīng)的T分別取6和8.仿真結(jié)果表明，在信噪比SNR為20 dB時(shí)，系統(tǒng)的BER性能接近10-3.

圖1 與Φ中保留奇異值占所有奇異值總能量的百分比Fig.1 Percentage energy of the reserved singular values inand Φ

圖2 非理想載波同步下的系統(tǒng)BER性能Fig.2 BER performance of the system with imperfect carrier synchronization

5 結(jié)束語(yǔ)

本研究針對(duì)非理想載波同步下的OFDM系統(tǒng)中無(wú)法同時(shí)克服CFO和快衰落信道的問(wèn)題，提出了一種非理想載波同步下的OFDM快衰落信道估計(jì)算法，建立了非理想載波同步快衰落信道模型，其中G-CIR矩陣的提出將頻偏歸入信道矩陣中.雖然其自相關(guān)矩陣是隨機(jī)的，但本研究提出的G-CIR矩陣的對(duì)角化方法避免了該隨機(jī)性對(duì)信道估計(jì)的影響.由G-CIR矩陣的對(duì)角化表示推導(dǎo)出了基于信道核向量的緊湊型CIR矩陣壓縮表示，該表示方法將GCIR矩陣中的未知元素個(gè)數(shù)減少到TL(TL?N)個(gè)，從而能夠得到超定的導(dǎo)頻方程組，而較少的待估計(jì)參數(shù)也降低了導(dǎo)頻比例，并且其離線計(jì)算的特點(diǎn)降低了在線計(jì)算的復(fù)雜度.仿真結(jié)果表明，本研究提出的算法在非理想載波同步下可以對(duì)快衰落信道進(jìn)行有效估計(jì)，并使系統(tǒng)獲得良好的BER性能.

［1］ 和欣，張曉林.非理想載波同步對(duì)多載波直擴(kuò)系統(tǒng)的性能影響［J］.電波科學(xué)學(xué)報(bào)，2011，26(2)：323-331.

［2］ WANGC L，HUANGY C.Intercarrier interference cancellation using generalphase rotated conjugate transmission for OFDM systems［J］.IEEE Transactions on Communications，2010，58(3)：812-819.

［3］ KIMJ G，LIMJ T.MAP-based channel estimation for MIMO-OFDM over fast Rayleigh fading channels［J］.IEEE Transactions on Vehicular Technology，2008，57 (3)：1963-1968.

［4］ ZHAOY，HAGGMANS G.Intercarrier interference selfcancellation scheme for OFDM mobile communication systems［J］.IEEE Transactions on Communications，2001，49(7)：1185-1191.

［5］ ARMSTRONGJ.Analysis of new and existing methods of reducing intercarrier interference due to carrier frequency offset in OFDM ［J］. IEEE Transactions on Communications，1999，47(3)：365-369.

［6］ CHENY Y，ZHENGZ W，WANGX Y.Research on the intercarrier interference self-cancellation algorithms for the OFDM systems［C］∥2011 International Conference on Internet Technology and Applications(iTAP).2011：1-4.

［7］ LIZ，XIAX G.An Alamouti coded OFDM transmission for cooperative systems robust to both timing errors and frequency offsets［J］.IEEE Transactions on Wireless Communications，2008，7(5)：1839-1844.

［8］ ZHOU K， XIAO L Y. Research ofintercarrier interference cancellation for highly mobile OFDM system［C］∥2011 International Conference on Electrical and Control Engineering(ICECE).2011：4658-4661.

［9］ RABBIM F，HOUS W，KOC C.High mobility orthogonal frequency division multiple access channel estimation using basis expansion model［J］.IET Communications，2010，4(3)：353-367.

［10］ CHIT，CHENX B，WANGL D，et al.Inter-channel interference correlation matrix in OFDM system based on GCE-BEM ［C］∥ 2010 The 12th International Conferenceon Advanced Communication Technology (ICACT).2010：19-22.

［11］ LEUSG.On the estimation of rapidly time-varying channels［C］∥ European Signal Processing Conference (EUSIPCO).2004：2227-2230.

［12］ TOMASINS，GOROKHOVA，YANGH，et al.Iterative interference cancellation and channelestimation for mobile OFDM ［J］.IEEE Transactions on Wireless Communications，2005，4(1)：238-245.

［13］ DUZ，SONGX G，CHENGJ，et al.Maximum likelihood based channelestimation formacrocellular OFDM uplinks in dispersive time-varying channels［J］.IEEE Transactions on Wireless Communications，2011，10 (1)：176-187.

［14］ HUNGN L，THOL N，TRANN H.Iterative receiver design with joint doubly selective channel and CFO estimation for coded MIMO-OFDM transmissions［J］.IEEE Transactions on Vehicular Technology，2011，60 (8)：4052-4057.

［15］ QUF Z，YANGL Q.On the estimation of doublyselective fading channels［J］.IEEE Transactions on Wireless Communications，2010，9(4)：1261-1265.

［16］ HUNGN L，THOL N.Pilot-aided joint CFO and doubly-selective channel estimation for OFDM transmissions［J］.IEEE Transactions on Broadcasting，2010，56(4)：514-522.

［17］ 張賢達(dá).矩陣分析與應(yīng)用［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2004：101-113.