李柱

(信陽師范學院數(shù)學學院，河南信陽 464000)

1 引言

自從上世紀60年代以來孤立子理論得到了迅速發(fā)展.1989年屠規(guī)彰提出了利用零曲率方程得到可積孤子方程族的簡便方法［1］，隨后，人們利用此方法得到了許多具有物理意義的可積方程族［2－7］.近年來，有些可積系統(tǒng)無法由跡恒等式建立其哈密頓結(jié)構(gòu)，為了解決此問題，馬文秀教授等在雙線性泛函下建立了變分跡恒等式［8］.其基本思想如下，對于給定的譜矩陣U=U(u，λ)∈G，其中G是矩陣loop代數(shù)，選擇λ和u合適的秩使得U是同秩的，定義假設(shè)V和V是12靜態(tài)零曲率方程Vx=［U，V］的同秩解，則它們是線性相關(guān)的:V1=γV2，γ=const.此條件是得到跡恒等式的必要條件.令G是一個矩陣loop代數(shù)，U=U(u，λ)∈G是同秩的，記＜.，.＞表示為在矩陣李積下非退化的雙線性形式不變量，若靜態(tài)零曲率方程Vx=［U，V］對于一個確定的常數(shù)有唯一解V∈G，則對任何方程Vx=［U，V］的同秩解V∈G有如下的變分跡恒等式

其中γ是常數(shù).變分跡恒等式推廣了跡恒等式的使用范圍，它可以應(yīng)用于半單或非半單李代數(shù).

本文安排如下，在第二和第四部分得到了一族多分量的可積系統(tǒng)及其耦合系統(tǒng)，作為其約化情況得到了Dirac族，并在第三和第五部分利用變分跡恒等式給出了相應(yīng)的哈密頓結(jié)構(gòu).

2 多發(fā)量的可積系統(tǒng)

設(shè)a=(a1，a2，…，aM)，b=(b1，b2，…，bM)，c是一個常數(shù)，定義它們的乘法和除法為

設(shè)G3={a=(aij)3×M=(a1，a2，a3)T，ai=(ai1，ai2，…，aiM)}，及其換位運算［a，b］為

容易驗證G3是一個李代數(shù).

相應(yīng)的loop代數(shù)~G3為

考慮如下的等譜問題

取

其中

解靜態(tài)零曲率方程Vx=［U，V］，可得

記

直接計算得

得如下的可積系

其中

由(5)可得

其中

因此，系統(tǒng)(9)可以記為

當M=1，u3=u4=u5=0時，系統(tǒng)(13)約化為Dirac族因此稱(13)為推廣的多分量Dirac族.

3 系統(tǒng)(13)的哈密頓結(jié)構(gòu)

設(shè)Gs是一個s維的線性空間，其基元為是Gs的兩個元素，定義其換位運算為

在上述運算下易知Gs是一個李代數(shù).

相應(yīng)的loop代數(shù)G~s及其基和換位運算分別為

在loop代數(shù)G~s的基礎(chǔ)上構(gòu)造線性等譜問題

其相容性條件可得零曲率方程

相應(yīng)的靜態(tài)零曲率方程為

其中

若V1和V2是(19)的同秩解并且滿足

對于a，b∈~Gs，由方程

可得s階矩陣R(b)，由方程組

可得常量矩陣F=(fij)s×s，引入雙線性泛函

則由文獻［8］可得如下的變分跡恒等式

其中λ是待確定的常數(shù).

由(1)可得

解矩陣方程FT=F和R(b)F=－(R(b)F)T，得

故，{a，b}=aTFb=a1b1+a2b2－a3b3.

利用變分跡恒等式(25)得

比較λ－2n－3的系數(shù)得

取n=0得γ=0，因此有，

比較λ－2n－2的系數(shù)得

取n=0得γ=0，因此有，

容易驗證J1L1=L*1J1，J2L1=L*1J2，因此，系統(tǒng)(13)是liouville可積的.

4 系統(tǒng)(13)的可積耦合

在李代數(shù)G3的基礎(chǔ)上構(gòu)造擴展的李代數(shù)G6.令G6={a=(aij)6×M=(a1，a2，a3，a4，a5，a6)T，ai= (ai1，ai2，…，aiM)}，［a，b］的交換運算定為

容易驗證G6是一個李代數(shù).相應(yīng)的loop代數(shù)為

考慮如下的等譜問題

因此，系統(tǒng)(13)具有雙哈密頓結(jié)構(gòu)

取

其中

解靜態(tài)零曲率方程Vx=［U，V］，得

記直接計算得

其中

可得如下的可積系

其中

其中

由(38)可得遞推算子~L滿足

其中

因此，系統(tǒng)(42)可寫為

當u6=u7=u8=u9=u10=0時，系統(tǒng)(48)可約化為(13)，由可積耦合的定義知系統(tǒng)(48)是系統(tǒng)(13)的可積耦合.

5 系統(tǒng)(48)的哈密頓結(jié)構(gòu)

由(35)可得

類似于(27)，可得

故，{a，b}=aTFb=(a1+a4)b1+(a2+a5)b2－(a3+a6)b3+a1b4+a2b3－a3b6.

由(25)可得

比較λ－2n－3的系數(shù)可得

取n=0時得γ=0，因此有

比較λ 的系數(shù)可得－2n－2

取n=0時得γ=0，因此有

故系統(tǒng)(48)具有雙哈密頓結(jié)構(gòu)

容易驗證~J1~L=~L*~J1，~J2~L=~L*~J2.因此，系統(tǒng)(48)是Liouville可積的.

［1］Guizhang Tu.The trace identity，a powerful tool for constructing the Hamiltonian structure of integrable systems［J］.J.Math.Phys，1989，30(2):330－338.

［2］耿獻國，史大，王金科.MKdV族對應(yīng)的非共焦對合系及經(jīng)典可積系統(tǒng)［J］.鄭州大學學報(自然科學版)，1992(3):11－16.

［3］魏媛，李剛.一類高維李代數(shù)及其應(yīng)用［J］.信陽師范學院學報(自然科學版)，2011，24(1):30－34.

［4］董煥河，張寧，楊記明.廣義KN方程族及其Hamilton結(jié)構(gòu)［J］.大學數(shù)學，2005，21(2):69－72.

［5］郭?？?，張玉峰.一族Liouville可積系及其3－Hamilton結(jié)構(gòu)［J］.高校應(yīng)用數(shù)學學報，2004，19(1):41－50.

［6］Yang Hongxiang，Xu Xixiang，Ding Haiyong.Two Hierarchies of lattice soliton equations associated with a new discrete eigenvalue problem and Darboux transformation［J］.Phys.Lett.A.，2005，338(2):117－127.

［7］李柱，張玉娟.A integrable system and its integrable coupling［J］.信陽師范學院學報(自然科學版)，2009，29(4):493－496.

［8］Wen－Xiu Ma.A discrete variational identity on semi－direct sums of Lie algebras［J］.J.Phys.A:Math.Theor.，2007(40):15055－15069.