龍梓軒，張 毅

（蘇州科技學(xué)院a.數(shù)理學(xué)院；b.土木工程學(xué)院，江蘇 蘇州 215009）

分析力學(xué)的Poisson理論，包括定義Poisson括號、建立第一積分的Poisson條件、由已知積分導(dǎo)出新的積分等是研究動力學(xué)系統(tǒng)的一個重要數(shù)學(xué)工具.Birkhoff力學(xué)是Hamilton力學(xué)的推廣［1］，Hamilton系統(tǒng)的Poisson理論可納入Birkhoff系統(tǒng).梅鳳翔［2－3］曾研究了自治和半自治Birkhoff系統(tǒng)的代數(shù)結(jié)構(gòu)和Poisson理論，尚玫等［4］給出廣義Poisson條件以及由一個積分構(gòu)造另一個積分的方法.1993年，梅鳳翔［5］在Birkhoff方程的右端增加一個附加項，并稱其為廣義Birkhoff方程.因為通常的Birkhoff系統(tǒng)不容易構(gòu)造，而廣義Birkhoff方程的實現(xiàn)則較易，并且有更多的“自由度”，因此對廣義Birkhoff系統(tǒng)動力學(xué)的研究具有重要意義.近年來，關(guān)于廣義Birkhoff系統(tǒng)動力學(xué)的研究報道較多［6－12］.在本文中，筆者擬進一步探討非自治廣義Birkhoff系統(tǒng)的代數(shù)結(jié)構(gòu)，建立該系統(tǒng)的Poisson定理，并將Poisson理論推廣到非自治廣義Birkhoff系統(tǒng)，討論與非自治廣義Birkhoff系統(tǒng)Poisson條件相關(guān)的動力學(xué)逆問題.

1 非自治廣義Birkhoff系統(tǒng)的代數(shù)結(jié)構(gòu)

廣義Birkhoff系統(tǒng)的運動微分方程為［5］1460

其中B＝B（t，a）為Birkhoff函數(shù)，Rμ＝Rμ（t，a）為Birkhoff函數(shù)組，Λμ＝Λμ（t，a）為附加項.如果Birkhoff函數(shù)B，Birkhoff函數(shù)組Rμ（μ＝1，…，2n）以及附加項Λμ都顯含t，則稱為非自治的.

將方程（1）表示為如下形式：

令

則方程（2）可表示為逆變代數(shù)形式：

其中Sμν＝Ωμν＋Tμν.將某函數(shù)A（a）按方程（4）求對時間t的導(dǎo)數(shù)定義為一個積：

定理1 非自治廣義Birkhoff系統(tǒng)的運動方程（1）具有相容代數(shù)結(jié)構(gòu).

由積（5）定義一個新積：

它具有反對稱性 ［A，B］＋［B，A］＝0，并滿足Jacobi恒等式［A，［B，C］］＋［B，［C，A］］＋［C，［A，B］］＝0，于是有如下定理.

定理2 非自治廣義Birkhoff系統(tǒng)的運動方程（1）具有Lie容許代數(shù)結(jié)構(gòu).

2 非自治廣義Birkhoff系統(tǒng)的Poisson理論

如果I（t，a）＝c是系統(tǒng)（4）的第一積分，則有

亞里士多德指出，為了使自己說的話聽起來可信，演說者在運用技巧的時候“必須把他們的手法遮掩起來，使他們的話顯得自然而不矯揉造作；話要說得自然才有說服力，矯揉造作適得其反，因為人們疑心說話的人在搗鬼，就像疑心酒里攙了水一樣”。[10]譚恩美并沒有經(jīng)歷過小說中母親們在舊中國的悲慘遭遇，為了讓小說故事顯得更加自然并且讓人信服，她使用了講述故事的言說技巧，讓小說人物親自講述自己的生平經(jīng)歷，并用大量細(xì)節(jié)描寫展現(xiàn)了人物的所見所聞、所思所想，使得故事更加真實、分外感人。

反之，如果I滿足式（7），則I必是廣義Birkhoff系統(tǒng)的積分.式（7）稱為廣義Birkhoff系統(tǒng)的Poisson條件，于是有如下定理.

定理3 I＝I（t，a）是非自治廣義Birkhoff系統(tǒng)（4）的第一積分的充分必要條件是式（7）.

將Poisson條件（7）對t求偏導(dǎo)數(shù)，得到

如果Sμν（?B／?aν）不顯含t，則式（8）成為

這表明?I／?t是系統(tǒng)的第一積分，于是有如下定理.

定理4 如果非自治廣義Birkhoff系統(tǒng)（4）有包含時間t的第一積分I＝I（t，a），而Sμν（?B／?aν）不顯含t，那么?I／?t，?2I／?t2，…都是系統(tǒng)的第一積分.

同樣，將Poisson條件（7）對aρ求偏導(dǎo)數(shù)，得到

如果Sμν（?B／?aν）不顯含aρ，則式（10）成為

這表明?I／?aρ是系統(tǒng)的第一積分，于是有如下定理.

定理5 如果非自治廣義Birkhoff系統(tǒng)（4）有包含變量aρ的第一積分I＝I（t，a），而Sμν（?B／?aν）不顯含aρ，那么?I／?aρ，?2I／?aρ2，…都是系統(tǒng)的第一積分.

定理3～5構(gòu)成了廣義Birkhoff系統(tǒng)的Poisson理論.用定理3可以判斷第一積分，用定理4和定理5可以由已知第一積分導(dǎo)出新的第一積分.

3 非自治廣義Birkhoff系統(tǒng)的廣義Poisson方法與動力學(xué)逆問題

動力學(xué)逆問題是經(jīng)典力學(xué)的主要問題之一，梅鳳翔在其專著［13］中進行了系統(tǒng)深入的研究.與非自治廣義Birkhoff系統(tǒng)的Poisson條件相關(guān)的動力學(xué)逆問題的提法如下：根據(jù)已知第一積分

來求非自治廣義Birkhoff系統(tǒng)中的動力學(xué)函數(shù)Rμ，B和Λμ.

為解上述逆問題，須將第一積分（12）代入Poisson條件（7）中，得到關(guān)于Rμ，B和Λμ的一個偏微分方程，再由這個偏微分方程找到這（2n＋1）個函數(shù).顯然，這類逆問題沒有唯一解.

4 算例

例1 某四階非自治廣義Birkhoff系統(tǒng)為

已知系統(tǒng)的一個第一積分為

試證明?I／?a2，?2I／?（a2）2，… 都是該系統(tǒng)的第一積分.

由式（13）和（14）得

式（15）是包含變量a2的第一積分，而式（16），（17）都不顯含a2，由定理5得

都是該系統(tǒng)的第一積分.

例2 已知某二階非自治廣義Birkhoff系統(tǒng)的一個第一積分

試求系統(tǒng)的動力學(xué)函數(shù)R1，R2，B，Λ1和Λ2.

將式（18）代入Poisson條件（7）中，得到

偏微分方程（19）中有5個未知數(shù)R1，R2，B，Λ1和Λ2，因此沒有唯一解.現(xiàn)在取

則Ω12＝－Ω21＝t－2.此時方程式（19）成為

由此可得

式（20），（21）給出了該問題的一個解.

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