陳 宇

邯鄲職業(yè)技術(shù)學院基礎(chǔ)部

談高職院校數(shù)學建模培訓中《概率論》的教學

陳 宇

邯鄲職業(yè)技術(shù)學院基礎(chǔ)部

本文針對高職院數(shù)學建模培訓的特點，提出在高職院校數(shù)學建模培訓中概率論的教學原則，并結(jié)合全國大學生數(shù)學建模競賽的具體案例加以說明，對高職數(shù)學建模培訓提供了教學的依據(jù)。

數(shù)學建模；高職；概率；教學

數(shù)學模型是描述現(xiàn)實對象數(shù)量規(guī)律的由數(shù)字、字母或其它數(shù)學符號組成的數(shù)學結(jié)構(gòu)，討論建立數(shù)學模型的全過程稱為數(shù)學建模。數(shù)學建模培訓是一項面向大學生的課外科技活動，目的在于開拓學生的知識面，激勵學生學習數(shù)學的積極性，提高學生建立數(shù)學模型和運用計算機技術(shù)解決實際問題的綜合能力，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和協(xié)作意識，訓練學生的邏輯思維能力和開放性思考方式。全國大學生數(shù)學建模競賽自1992年創(chuàng)辦以來，日益受到廣大大學生的歡迎，已經(jīng)成為目前全國高校規(guī)模最大的課外科技活動。全國大學生數(shù)學建模競賽的大專組比賽始于1999年，我院于2001年開始參加大專組比賽，在數(shù)學建模競賽培訓中積累了豐富的經(jīng)驗。高職院校數(shù)學課的課時相對較少，學生的數(shù)學基礎(chǔ)普遍較差，學生有很多數(shù)學建模所需的知識沒有經(jīng)過系統(tǒng)學習，即使學習過的知識也不能完全掌握和領(lǐng)會。因此，高職院校數(shù)學建模競賽的組織與培訓應(yīng)有別于普通本科院校，并應(yīng)針對學生的情況與特點建立一套獨特的數(shù)學建模培訓方法和內(nèi)容。

在高職院校數(shù)學建模培訓時，學生要在較短的學時內(nèi)盡快掌握建模的基本思想和方法，這就需要教師歸納比較不同數(shù)學分支所解決問題的范圍及思維方式，盡可能總結(jié)出一套系統(tǒng)的數(shù)學建模方法。概率論是研究隨機現(xiàn)象及其規(guī)律的一門數(shù)學學科，以其實用性和善于處理隨機現(xiàn)象的特點，廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟學、政治學、生物科學等各學科領(lǐng)域以及社會生產(chǎn)實踐中，是數(shù)學建模中不可缺少的知識和基本方法。因此，研究如何在數(shù)學建模中應(yīng)用概率理論，如何做好數(shù)學建模培訓中概率論的教學具有重要的意義。在數(shù)學建模訓練中，為了讓學生更好地運用概率知識，在教學中應(yīng)做到以下幾點：

1 引導學生深刻體會建模的內(nèi)涵，全面理解所研究的實際問題，充分考慮到實際問題中的隨機性影響

現(xiàn)實世界的變化受著眾多因素的影響，這些因素根據(jù)其本身的特性及人們對它們的了解程度，可分為確定因素和隨機因素兩類。確定因素決定事物的必然規(guī)律，是人們所能認識而且能夠控制的因素；隨機因素使事物呈現(xiàn)統(tǒng)計規(guī)律，大量的隨機因素未能為人們所認識或未能被人們所控制，但只要存在隨機因素的影響，就必然會有所表現(xiàn)。從建模的背景、目的和手段看，如果隨機因素可以忽略或者隨機因素影響可以簡單地以平均值的作用出現(xiàn)，就可以建立確定性模型；如果隨機因素對研究對象的影響必須考慮，就應(yīng)該建立隨機性的數(shù)學模型或利用概率知識解決問題。

例如，報童的訣竅問題：報童每天清晨從報社購進報紙零售，晚上將沒有賣掉的報紙退回。報童每天如果購進的報紙?zhí)?，不夠賣，會少賺錢；如果購進的報紙?zhí)啵u不完，將要賠錢。報童應(yīng)如何確定他每天購進報紙的數(shù)量，以獲得最大收益。顯然，報童應(yīng)該根據(jù)需求量確定購進量，而需求量是隨機的，致使報童每天的收入也是隨機的，隨機分布影響決策，因此必須考慮隨機因素對收益的影響，應(yīng)該建立隨機模型。

有時需要建立的并不是隨機模型，但是其中一些問題或變量的處理需要考慮隨機因素。例如，在2006年全國大學生數(shù)學建模競賽D題《煤礦瓦斯和煤塵的監(jiān)測與控制》中，由于煤礦中瓦斯和煤塵的濃度會受到工作中諸多因素的影響，因此煤礦出現(xiàn)不安全情況帶有隨機性，據(jù)此該煤礦出現(xiàn)不安全情況的可能性就可以通過概率的統(tǒng)計定義進行計算。

2 熟練掌握概率的基本概念和知識，理解常用的重要分布，并能利用基本合理的假設(shè)將問題簡化到可以用簡單的方法解決

近幾年全國大學生數(shù)學建模競賽大專組的賽題中涉及的都是基本的概率知識，但是很多學生在訓練的過程中并不能準確把握，究其原因之一就是對概率的基本概念和知識掌握不牢固，導致不能準確靈活運用。在建模的過程中關(guān)鍵是確定哪個變量是隨機的，即搞清楚隨機性的主要來源是什么，把這個主要來源設(shè)為一個隨機變量，而且這個隨機變量的分布是容易得到的，其他隨機變量都可以寫成它的函數(shù)，并明確這個隨機變量服從于什么類型的分布。同時，合理的假設(shè)也是建立模型的關(guān)鍵。

二項分布是一種重要的隨機分布模型，結(jié)合中心極限定理理論，在科學試驗及生產(chǎn)管理中具有廣泛的應(yīng)用。例如，航空公司的訂票策略問題：乘客是否按時前來登機是隨機的，若假設(shè)每位乘客是否按時前來登機是相互獨立的，則每位不按時前來登機的乘客數(shù)就是服從于二項分布的。雖然這種假設(shè)更適合于單獨行動的商人、游客等，但是假設(shè)基本合理，且可以將問題簡化到所學知識能夠建模的程度。

例如，2009年全國大學生數(shù)學建模競賽D題《會議籌備》：根據(jù)問題1的要求，要對本屆會議與會代表的數(shù)量進行預測。代表是否與會顯然是隨機的，因此，實際與會的代表數(shù)量X是隨機變量。設(shè)與會代表數(shù)量的最大值N中每人實際與會的概率為p，通過“以往每屆與會代表的數(shù)量除以以往每屆與會代表數(shù)量的預測值”再取平均可以得到p的估計值?？梢约僭O(shè)各位代表是否實際與會是相互獨立的，于是X服從于二項分布B(N,p)。當N較大時可以用正態(tài)分布近似二項分布計算。類似的，在2005年的D題《DVD在線租賃問題》中，某一種DVD的需求也是隨機變量，同樣可以看成是服從于二項分布的。

3 將數(shù)學建模策略的教學放在重要位置，加強數(shù)學建模策略與數(shù)學建模方法之間的聯(lián)系

所謂數(shù)學建模策略是指在數(shù)學建模過程中選擇解決方法、采取解決步驟的指導方針，是選擇、組合、改變或操作與當前數(shù)學建模問題解決有關(guān)的事實、概念和原理的規(guī)則。研究表明，優(yōu)秀學生在數(shù)學建模策略的掌握與運用方面具有較高水平，而一般學生的數(shù)學建模策略運用水平較低。掌握一些有效的數(shù)學建模策略，能有效提升學生的數(shù)學建模能力，因此教師應(yīng)將實施數(shù)學建模策略的教學放在重要位置。

一個數(shù)學建模問題案例實質(zhì)上意味著多種數(shù)學建模策略在此特定的情境中發(fā)生特定的聯(lián)系，解析一個數(shù)學建模問題的過程就是將多種數(shù)學建模策略遷移至此情境的過程，關(guān)注每個現(xiàn)實問題所包含的多種數(shù)學建模策略的應(yīng)用，有助于理解和掌握多種數(shù)學建模策略在解決同一情境問題時的有效協(xié)同。因此，在數(shù)學建模教學過程中，應(yīng)向?qū)W生明確揭示數(shù)學建?；顒舆^程所蘊含和所運用的一般思維策略，并鼓勵學生在數(shù)學建模實踐活動中有意識地使用，使學生通過教師的教學和建模訓練的過程，不斷增強數(shù)學建模策略運用的靈活性，提升數(shù)學建模能力。數(shù)學建模的一般思維策略包括：解題時，先準確理解題意，從整體上把握題意，理清復雜關(guān)系，挖掘蘊涵的深層關(guān)系，把握問題的深層結(jié)構(gòu)；在理解問題整體意義的基礎(chǔ)上判斷解題的思路方向；充分利用已知條件信息；克服思維定勢，進行擴散性思維；解題后總結(jié)解題思路，舉一反三等等。

例如，傳送系統(tǒng)的效率問題：在機械化的生產(chǎn)車間里，工作臺旁的工人將生產(chǎn)出的產(chǎn)品掛在經(jīng)過他上方的空鉤上運走，若工作臺數(shù)固定，掛鉤數(shù)量越多，傳送帶運走的產(chǎn)品越多。在生產(chǎn)進入穩(wěn)態(tài)后，給出衡量傳送帶效率的指標，研究提高傳送帶效率的途徑。

首先，引導學生分析傳送系統(tǒng)的工作情況和特點，并據(jù)此進行合理的假設(shè)：進入穩(wěn)態(tài)后為保證生產(chǎn)系統(tǒng)的周期性運轉(zhuǎn)，假定工人們的生產(chǎn)周期相同，即每人作完一件產(chǎn)品后，要么恰有空鉤經(jīng)過他的工作臺，使他可將產(chǎn)品掛上運走，要么沒有空鉤經(jīng)過，迫使他放下這件產(chǎn)品并立即投入下件產(chǎn)品的生產(chǎn)。工人們生產(chǎn)周期雖然相同，但是由于各種隨機因素的干擾，經(jīng)過相當長的時間后，每人生產(chǎn)完一件產(chǎn)品的時刻就會不一致，可以認為是隨機的，并且在一個周期內(nèi)任一時刻的可能性相同；假設(shè)n個工作臺均勻排列，n個工人生產(chǎn)相互獨立，生產(chǎn)進入穩(wěn)態(tài)后每人生產(chǎn)完一件產(chǎn)品的時刻在一個周期內(nèi)是等可能的。然后，在模型分析和假設(shè)的基礎(chǔ)上尋找解決問題的關(guān)鍵：傳送系統(tǒng)長期運轉(zhuǎn)的效率等價于一周期的效率，而一周期的效率可以用它在一周期內(nèi)能帶走的產(chǎn)品的數(shù)量與一周期內(nèi)能生產(chǎn)的產(chǎn)品的數(shù)量之比來描述。最后，在計算傳送帶效率為一周期內(nèi)運走的產(chǎn)品數(shù)s時，如果從工人的角度考慮，分析每個工人能將自己的產(chǎn)品掛上掛鉤的概率，就會使問題復雜化。此時可以引導學生克服思維定勢，轉(zhuǎn)換改變考慮問題的角度：從掛鉤的角度考慮，在穩(wěn)定狀態(tài)下掛鉤沒有次序處于同等的地位，因此很容易能求出一周期內(nèi)的每只掛鉤非空的概率p，則s=mp（m為掛鉤的數(shù)量）。

總之，在教學中結(jié)合具體的數(shù)學建模案例引入數(shù)學建模策略的教學，有利于學生在數(shù)學建模實踐活動更好地把握建模的思維策略，更好更快地提升數(shù)學建模能力。

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[4]李明振,喻平,龐坤.數(shù)學建模策略的教學原則[J].高等理科教育,2009(5).

10.3969/j.issn.1001-8972.2012.23.118

陳宇（1974-）.女，河北邯鄲人,邯鄲職業(yè)技術(shù)學院,副教授,研究方向：數(shù)學教育。