張遠(yuǎn)修，汪 敏

(1.中國科學(xué)院國家天文臺/云南天文臺，云南 昆明 650011;2.中國科學(xué)院研究生院，北京 100049)

二十世紀(jì)上半葉，結(jié)晶學(xué)家探討了一種理論，可用間接方法獲得圖像。20世紀(jì)50年代初，英國劍橋大學(xué)卡文迪許實(shí)驗(yàn)室的射電天文學(xué)家賴爾等人，把這種理論發(fā)展成射電天文中的綜合孔徑技術(shù)，綜合孔徑技術(shù)的應(yīng)用使得在射電波段生成了圖像，這對射電天文學(xué)的發(fā)展具有重要的推動作用，賴爾也因此獲得了1974年的諾貝爾物理學(xué)獎。由于在射電波段使用干涉陣列的成像過程中，試圖使用接收不完全的數(shù)據(jù)恢復(fù)完整的原始二維圖像信息，所以不可避免地產(chǎn)生一個生成圖像質(zhì)量的問題。人們總是試圖用最小的代價和成本獲得最好的效果和收益。于是，在一定的成本下如何尋找最好的布陣方案成為射電天文學(xué)家關(guān)心的問題。

由于綜合孔徑陣型優(yōu)化設(shè)計的復(fù)雜性，目前尚未有完美的解決方案。為了簡化問題，許多優(yōu)化設(shè)計方案一般只考慮其中幾項(xiàng)重要指標(biāo)，如UV覆蓋均勻性、旁瓣水平等。Kogan在1997年針對產(chǎn)生最小的旁瓣提出天線陣優(yōu)化算法［1］，Boone在2001年提出了壓力算法用于以減少旁瓣為目的的優(yōu)化［2］。近來年，關(guān)于陣列設(shè)計和造型的研究主要集中于陣列的優(yōu)化工作［3－6］。而Bonton于1999年曾指出對于二維陣列的優(yōu)化沒有完美的解決方案，甚至難以制定一個好的優(yōu)化標(biāo)準(zhǔn)［3］，部分研究也注意到討論關(guān)于評價標(biāo)準(zhǔn)的問題，張仙玲在2006年結(jié)合不同類型的圖像指出，若頻率采樣點(diǎn)數(shù)固定，低頻點(diǎn)越多，圖像失真度越?。?］;Wenger等在2010年結(jié)合模擬干涉生成的圖像質(zhì)量認(rèn)為，在低頻分量的UV覆蓋采樣更加重要［8］。這些研究工作大多圍繞著陣列的優(yōu)化、評價等展開，而研究中一般將天線的陣元數(shù)目作為預(yù)先的設(shè)定，以此設(shè)定為前提進(jìn)行陣列的優(yōu)化設(shè)計工作，本文將陣元數(shù)目作為一個待解決的問題進(jìn)行討論，并利用現(xiàn)有的優(yōu)化、評價方法為太陽低頻射電陣列陣元數(shù)目的確定提供參考。

1 干涉成像模型

由于干涉陣列的設(shè)計工作大多要在陣列建設(shè)之前進(jìn)行，所以綜合孔徑成像的過程需要在計算機(jī)上進(jìn)行模擬運(yùn)行，這時就需要用到干涉成像的模型。干涉成像主要基于van Cittert-Zernike定理［7］，即通過測定非相干天體目標(biāo)源在出瞳面內(nèi)產(chǎn)生的互相關(guān)強(qiáng)度大小，獲得天體目標(biāo)源的特征分布，如亮度、尺寸大小等。綜合孔徑成像原理為通過安置有限個數(shù)的天線組成陣列，并將任意兩個天線接收到的數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)處理。對于亮度分布為I(l，m)的非相干觀測源，根據(jù)van Cittert-Zernike定理，在坐標(biāo)分別為(x1，y1)與(x2，y2)的兩天線間的相干強(qiáng)度為:

這是干涉成像的理論依據(jù)。下面給出在計算機(jī)上進(jìn)行模擬綜合孔徑成像過程。假設(shè)二維天體目標(biāo)源亮度分布為I(x，y)，其傅里葉頻譜為V(u，v)。其中，x、y為空域坐標(biāo);u、v為頻域坐標(biāo)。則干涉陣列對V(u，v)的抽樣函數(shù)S(u，v)可表示為:

則實(shí)際獲得的頻譜V'(u，v)表示為:

V'(u，v)為對V(u，v)抽樣的結(jié)果。根據(jù)傅里葉變換的性質(zhì)，對上式兩邊作傅里葉逆變換得:

為了簡化，這里用FT－1符號表示傅里葉逆變換。

在計算機(jī)上做模擬成像時使用的模擬干涉成像流程如圖1，首先使用實(shí)驗(yàn)圖像模擬觀測對象的亮度分布I(x，y)，對其進(jìn)行傅里葉變換到頻域V(u，v)，再使用S(u，v)對其進(jìn)行采樣得到然后進(jìn)行傅里葉逆變換得到臟圖，最后去卷積生成最終圖像I*(x，y)。

圖1 模擬綜合孔徑成像過程流程圖Fig.1 Flowchart of simulated synthetic-aperture imaging

2 實(shí)驗(yàn)設(shè)計

本文工作主要源自太陽低頻射電陣列計劃(簡稱低頻陣)預(yù)研究的需要，所以本文的實(shí)驗(yàn)以低頻陣的設(shè)計需要為例進(jìn)行討論，首先介紹計劃中低頻陣的基本情況。

2.1 太陽低頻射電陣列概況

計劃中的低頻陣使用基于綜合孔徑技術(shù)和千兆網(wǎng)光纖數(shù)據(jù)傳輸。它工作在20～600 MHz頻段，時間分辨率為10 ms(快照)，頻率分辨率為0.1～1 MHz可調(diào)，角分辨率約1.0～30″，靈敏度0.1 sfu。它將對太陽中高層日冕劇烈活動—耀斑、日冕物質(zhì)拋射進(jìn)行觀測研究，在空間災(zāi)害天氣實(shí)時預(yù)警預(yù)報方面，發(fā)揮不可替代的重要作用。太陽低頻射電陣列的科學(xué)目標(biāo)包括磁場測量、磁重聯(lián)、日冕物質(zhì)拋射、高能粒子加速問題，是太陽物理學(xué)中最重要研究方向，耀斑、日冕物質(zhì)拋射是最重要的觀測對象。射電觀測提供了對日冕等離子體、瞬變過程、高能粒子加速/傳輸?shù)莫?dú)特診斷。該陣列的主要性能參數(shù)見表1。

表1 計劃中的太陽低頻陣列主要參數(shù)Table 1 Parameters of the Low-Frequency Solar Array

對干涉陣列設(shè)計的過程可以假定其觀測對象是各種太陽活動，使用快照模式進(jìn)行觀測。另外由于天線陣列分布的幾何尺度比較大，必須使用后相干的方法。天線的數(shù)目在本文中作為待定項(xiàng)目進(jìn)行討論。

2.2 評價方法

評價標(biāo)準(zhǔn)實(shí)際上是一個類似于價值觀的問題，它決定了陣列的優(yōu)化、設(shè)計的方向，也必然影響對陣元數(shù)目的研究。各種評價方法有各自的優(yōu)勢和缺點(diǎn)，沒有一種完美的評價方法，所以考慮將旁瓣水平、能量覆蓋率、平均方差3種代表性的評價方法分別應(yīng)用于實(shí)驗(yàn)。3種評價方法的具體定義如下:

(1)旁瓣水平:在(7)式中h(x，y)就是對點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的定義，在點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的基礎(chǔ)上可以繼續(xù)給出旁瓣水平(Sidelobe Level，SL)的定義:

式中，δn為位于點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)中心的主瓣的峰值;δm為最大旁瓣的峰值。

(2)能量覆蓋率(Energy Coverage Rate，ECR):這種方法認(rèn)為對大多數(shù)圖像(包括綜合孔徑成像)而言，在傅里葉頻域較為重要的部分就是能量較高的部分。由于不同觀測對象的能量分布可能會有很大的差別，于是可以使用針對將來可能觀測到的大量觀測對象的統(tǒng)計，給出一個統(tǒng)計意義上的能量分布作為評價的依據(jù)。根據(jù)實(shí)際需求中潛在的觀測對象，可以將大量與觀測對象相同類型的圖像累加起來，然后得到一幅統(tǒng)計意義上能量分布頻譜:

在收集過程中，要保證這些圖像的形態(tài)盡量廣泛和具有代表性，進(jìn)而可以認(rèn)為這幅統(tǒng)計意義的頻譜能夠代表將來觀測對象的頻譜分布。于是，能量覆蓋率在這幅統(tǒng)計頻譜上可以定義為:

式中，S(u，v)為采樣函數(shù);Vn(u，v)是統(tǒng)計的頻譜分布。

(3)改進(jìn)的平均方差:全參考圖像質(zhì)量評價是將失真圖像(綜合孔徑生成的圖像)與原始圖像(實(shí)驗(yàn)測試圖像)進(jìn)行比較得出圖像失真的程度。在干涉成像中，原始圖像就是測試圖像I(x，y)，最后的生成圖像可以看作失真圖像，所以干涉成像的過程實(shí)際上可以看作對觀測目標(biāo)的某種失真過程，于是客觀評價技術(shù)非常適合干涉成像質(zhì)量的評價。圖像客觀評價技術(shù)的內(nèi)容非常豐富［9－11］，文中使用一種改進(jìn)的平均方差(Mean Squared Error，MSE)方法用于干涉成像的圖像評價。MSE是一種最簡單也是最古老的圖像質(zhì)量評價方法［10］，它直接將圖像中每一個像素做方差然后累加，作為對圖像失真程度的估計:

式中，w、h分別為圖像的長和寬;n為整幅圖像的像素數(shù)，即w×h。為了更適合模擬綜合孔徑生成的圖像，需要使用像素灰度的相對值代替其絕對值。對像素灰度的相對值定義如下:

式中，mi，j是該像素在整幅圖像所有像素中按灰度值進(jìn)行排序后的次序;n為整幅圖像的像素數(shù)。則基于排名的平均方差(Ranking MSE，RMSE)可定義為:

在這3種評價方法中，旁瓣水平是一種與觀測對象無關(guān)的評價方法，從某種意義上講它的結(jié)果適用于各種類型的干涉陣列陣元數(shù)目的討論，而能量覆蓋率和平均方差的評價方法與實(shí)際觀測對象相關(guān)，其實(shí)驗(yàn)結(jié)果僅限于本文中對太陽低頻陣列的討論。評價標(biāo)準(zhǔn)的計算實(shí)際上就是作為優(yōu)化算法中的適應(yīng)度計算，在實(shí)驗(yàn)的設(shè)計中對這3種評價方法使用3個種群分別進(jìn)行優(yōu)化。

2.3 優(yōu)化方法

由于需要對不同陣元數(shù)目情況下陣列的成像質(zhì)量進(jìn)行考察，這就要求不能將在某個陣元數(shù)目下的任意陣列作為該陣元數(shù)目下的代表，而需要一個最優(yōu)的或接近最優(yōu)的陣列的性能作為這種陣元數(shù)目下的性能代表，得到這個最優(yōu)或次優(yōu)的陣列需要使用優(yōu)化逼近的辦法一步一步地接近最優(yōu)，這就是優(yōu)化算法的任務(wù)。優(yōu)化算法非常多，遺傳算法就是一種得到廣泛應(yīng)用的方法，在實(shí)驗(yàn)中使用遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化。

遺傳算法起源于對生物系統(tǒng)進(jìn)行的計算機(jī)模擬研究，生物的進(jìn)化過程主要通過染色體之間的交叉和變異完成。遺傳算法的基本運(yùn)行步驟描述如下［12］:(1)隨機(jī)產(chǎn)生N個個體，組成初始種群，種群中每一個個體代表問題的一個候選解。然后根據(jù)優(yōu)化問題，計算種群中每個個體的適應(yīng)度值。(2)對種群中的個體執(zhí)行交叉、變異等操作，產(chǎn)生新的個體，并且選擇一定數(shù)量的個體形成新的種群。(3)判斷是否滿足算法終止條件，若滿足，則輸出最優(yōu)解或最終種群;否則回到步驟(2)，繼續(xù)循環(huán)過程。流程如圖2。

遺傳算法的設(shè)計過程主要考慮以下幾個重要組成部分:遺傳編碼、適應(yīng)度計算、遺傳操作算子等，分別進(jìn)行簡單介紹并給出實(shí)驗(yàn)中使用的方法。

圖2 遺傳算法流程圖Fig.2 Flowchart of the Genetic Algorithm

(1)遺傳編碼。遺傳算法在求解優(yōu)化問題時，是通過建立問題的決策變量與種群中個體之間的一一對應(yīng)關(guān)系，對個體進(jìn)行操作。因此，確定個體的編碼與解碼方式是遺傳算法首先要解決的問題。不同的編碼方式?jīng)Q定了不同的遺傳操作方式。實(shí)驗(yàn)中使用的遺傳編碼方法較為簡單，每個天線位置坐標(biāo)的兩個整數(shù)作為對每個個體的編碼，如(100，127)、(212，54)等。

(2)適應(yīng)度值的計算。為了遵循適者生存的原則，遺傳算法需要對個體進(jìn)行評價，賦予其適應(yīng)度值。評價方法實(shí)際上就是適應(yīng)度計算，其中能量覆蓋率的指標(biāo)是向上優(yōu)化(越大越好)，而旁瓣水平和平均方差是向下優(yōu)化(越小越好)。根據(jù)實(shí)際測試發(fā)現(xiàn)，對陣列優(yōu)化的需要而言，使用對數(shù)的適應(yīng)度變換效果較好，變換規(guī)則為a'=log(1.0+a)。其中，a為直接計算的適應(yīng)度值;a'為變換后的數(shù)值。

(3)選擇算子。選擇算子是模擬自然選擇，對種群中的個體進(jìn)行優(yōu)勝劣汰，從父代群體中按某種規(guī)則選取一定數(shù)量的個體遺傳到下一代群體中。文中使用比例選擇的方法，其中也隱含著精英保留策略，每個個體生存下去的概率為:

式中，ri為該個體在整個種群中適應(yīng)度的排名;n為種群數(shù)目。

(4)交叉算子。交叉操作是生物遺傳和進(jìn)化的主要環(huán)節(jié)，是遺傳算法區(qū)別于其它進(jìn)化算法的特征。在遺傳算法中，交叉算子通過模仿自然界有性繁殖的基因重組過程，將兩個個體的部分基因互換，從而在產(chǎn)生新個體的同時，將父體的優(yōu)良基因遺傳給新個體。由于基因編碼比較簡單，所以交叉也使用普通的兩點(diǎn)交叉方法。例如，兩個體(100，127)、(212，54)進(jìn)行兩點(diǎn)交叉產(chǎn)生的子代為(100，54)、(212，127)。

(5)變異算子。變異操作是模擬自然界生物遺傳和進(jìn)化過程中，染色體上某些基因發(fā)生的突變現(xiàn)象。在遺傳算法中，變異操作主要作用于個體的等位基因上，將某些基因位上的基因用其它等位基因替換，從而產(chǎn)生新的個體。一般而言，在遺傳算法中，變異算子的作用沒有交叉算子那么顯著，執(zhí)行概率取值較小。實(shí)驗(yàn)中使用均勻的變異算子，每一個個體的兩個基因都以相同的概率變異為一個任意的合法取值。

由于實(shí)驗(yàn)中的計算量很大，并且討論具有估計、估算的性質(zhì)，在速度和準(zhǔn)確性存在矛盾的情況下，更傾向于保證較快的計算速度。進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的陣元數(shù)目從20到100，在3種評價模式下，這樣一共需要建立240個種群，每個種群規(guī)模設(shè)置為1000。

2.4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

根據(jù)實(shí)驗(yàn)測試，進(jìn)行一次優(yōu)化所需的時間旁瓣水平∶能量覆蓋率∶平均方差≈100∶1∶150。由于能量覆蓋率的計算速度最快，在一定時間內(nèi)可以對能量覆蓋率進(jìn)行更多次的優(yōu)化，其優(yōu)化更為充分，可能更接近于最優(yōu)。實(shí)驗(yàn)中對以能量覆蓋率為目標(biāo)的優(yōu)化進(jìn)程如圖3。

圖3 陣列優(yōu)化的進(jìn)程示意圖Fig.3 Course of the optimization experiment

圖3分別列舉了20、40、60、80和100個陣元情況下以能量覆蓋率為目標(biāo)的優(yōu)化進(jìn)程，可以看到在優(yōu)化剛開始時優(yōu)化進(jìn)展較快，后期趨于緩和，并且陣元數(shù)目較多的情況始終保持著比更少陣元的較高能量覆蓋率水平。從另外一個角度，展示了整個優(yōu)化過程的情況(圖4)。

圖4 陣列優(yōu)化進(jìn)程示意圖Fig.4 Course of the optimization experiment showing progress over number of array elements

圖4展示的是在100個陣元情況下的優(yōu)化開始前和分別進(jìn)行10、100、1000、10000次優(yōu)化的各種陣元數(shù)目情況下的能量覆蓋率水平?？梢钥吹皆趦?yōu)化剛開始時，不同陣元間的差別較大，優(yōu)化到1000、10000以后，不同陣元的差別趨于穩(wěn)定增長的水平。給出了實(shí)驗(yàn)的進(jìn)程之后，最后給出實(shí)驗(yàn)得到的陣元數(shù)目分別與旁瓣水平、能量覆蓋率和平均方差的對應(yīng)關(guān)系(圖5)。

圖5 各種評價標(biāo)準(zhǔn)與陣元數(shù)目的對應(yīng)關(guān)系示意圖Fig.5 Relation between each evaluation criterion and number of array elements

圖5中的圓點(diǎn)均為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，曲線為擬合曲線。其中旁瓣水平和平均方差使用冪函數(shù)進(jìn)行擬合，擬合曲線的函數(shù)關(guān)系式分別為 y=1.129 1x－0.909和 y=4 160.8x－0.5717。能量覆蓋率用一次函數(shù)進(jìn)行擬合，解析式為y=0.001 8x+0.155 6。函數(shù)定義域均為［20，100］，在定義域內(nèi)可以認(rèn)為擬合函數(shù)具有較好的準(zhǔn)確性。

3 結(jié)果利用

有了評價標(biāo)準(zhǔn)與天線數(shù)目的關(guān)系曲線，如何確定具體該建設(shè)多少個天線，總結(jié)起來可以有如下3類方法:

(1)成本截斷。假定成本固定或者有嚴(yán)格上限，由于無論使用何種評價指標(biāo)，天線數(shù)目的增加總意味著干涉陣列性能的提高，所以在成本允許的情況下，需要盡量建設(shè)較多的天線。在此基礎(chǔ)上根據(jù)各方面的成本計算，最后可以得出最多可建設(shè)的天線數(shù)目。成本截斷的方法必然要配合成本的估計和計算進(jìn)行，對成本的估算也是一個非常復(fù)雜的問題。

(2)效果截斷。這種方法假定成本在某一范圍內(nèi)可以接受，用效果作為截斷的依據(jù)，一旦達(dá)到某個預(yù)定的效果，則可以作為天線的數(shù)目。效果截斷的依據(jù)使用主觀評價的結(jié)果，主觀評價的一種劃分標(biāo)準(zhǔn)為［11］:①好的——可供觀賞的高質(zhì)量的圖像，干擾并不令人討厭;②可通過的——圖像質(zhì)量可以接受，干擾不討厭;③ 邊緣的——圖像質(zhì)量較低，希望能加以改善，干擾有些討厭;④ 劣等的——圖像質(zhì)量很差，尚能觀看，干擾顯著令人討厭;⑤ 不能用的——圖像質(zhì)量非常差，無法觀看。使用主觀評價實(shí)驗(yàn)可以得出每個主觀標(biāo)準(zhǔn)與各種客觀評價方法的對應(yīng)關(guān)系(表2)。

表2 主觀效果與各種評價標(biāo)準(zhǔn)的對應(yīng)關(guān)系Table2 Various evaluation criteria for subjective judgements

由于在射電波段的綜合孔徑成像是一個復(fù)雜的問題，所以不能寄希望于生成絕對高質(zhì)量的圖像，達(dá)到第3級效果的陣列已經(jīng)可以滿意，根據(jù)這3條標(biāo)準(zhǔn)在實(shí)驗(yàn)結(jié)果中進(jìn)行截斷，在3種評價標(biāo)準(zhǔn)下建議天線數(shù)目分別為61、59、55。

(3)其他方法。除了以上兩種方法之外可以使用綜合的方法，如增加陣元效率(Increasing Array Element Efficiency，IAEE)、性能價格比(Price-Performance Ratio)等，也可以考慮進(jìn)一步將問題轉(zhuǎn)換成一個基于更多約束條件的多目標(biāo)優(yōu)化問題。以平均方差為目標(biāo)的增加陣元效率為例進(jìn)行討論，設(shè)平均方差與天線數(shù)目的對應(yīng)關(guān)系RMSE=f(x)，則增加陣元效率定義為在當(dāng)前陣元數(shù)目的基礎(chǔ)上再增加天線帶來的單位性能受益，即LAEE=f'(x)。根據(jù)前面的擬合結(jié)果可以得到以平均方差為標(biāo)準(zhǔn)的增加陣元效率LAEE=－2 378.7x－1.5717，表3列出了該函數(shù)的部分取值。

表3 不同陣元數(shù)目下的增加陣元效率Table 3 IAEE for different numbers of array elements

可以看到當(dāng)陣元數(shù)目達(dá)到90后，再增加天線帶來的性能提升僅為20個陣元時的不足9.4%，而當(dāng)陣元數(shù)目為50、60時其性能提升約為20個陣元時的23.7%、17.5%，結(jié)合效果截斷的結(jié)果認(rèn)為建設(shè)50～60個天線作為陣元共同組成太陽低頻射電陣列是較為合理的選擇。

4 結(jié)論

在許多關(guān)于陣列設(shè)計的研究中將組成陣列的陣元數(shù)目作為已知或一個預(yù)設(shè)，然后在此基礎(chǔ)上展開對干涉陣列的設(shè)計、優(yōu)化等工作。本文將陣列數(shù)目作為一個待定的問題進(jìn)行討論，通過一定的實(shí)驗(yàn)和分析得出較為合理的陣元數(shù)目建議。首先通過遺傳優(yōu)化算法分別得出3種評價標(biāo)準(zhǔn)與天線數(shù)目的對應(yīng)關(guān)系，然后利用截斷和計算的方法對陣元數(shù)目給出推薦值。按照本文的實(shí)驗(yàn)結(jié)果和討論認(rèn)為太陽低頻陣列建設(shè)50～60個天線是比較合理的陣元數(shù)目候選范圍，如果受成本限制較多則考慮建設(shè)50個左右天線組成陣列，如果需要適當(dāng)提高性能則可以增加至60個或更多，具體進(jìn)行建設(shè)的準(zhǔn)確數(shù)字要根據(jù)成本、建設(shè)地點(diǎn)等更多實(shí)際情況最終確定。

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