張凱

(安徽省靈璧一中 安徽 宿州 234200)

近年來，許多教輔資料、刊物都有這樣一題.

【題目】如圖1所示，M,N是豎直放置的兩平行金屬板，分別帶等量異種電荷，兩極板間產(chǎn)生一個水平向右的勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)為E.一個質(zhì)量為m,電荷量為+q的微粒，以初速度v0豎直向上，從兩極板正中間的A點(diǎn)射入勻強(qiáng)電場中，微粒垂直打到N極板上的C點(diǎn)，已知AB=BC,不計空氣阻力，則可知

A.微粒在電場中做拋物線運(yùn)動

B.微粒打到C點(diǎn)時的速率與射入電場A點(diǎn)的速率相等

圖1

給出的答案:選項(xiàng)B正確.選項(xiàng)A不正確，有如下幾種說明:

(1)由題意知，微粒到達(dá)C點(diǎn)時，豎直方向速度為零，所以微粒不可能做拋物線運(yùn)動.

(2)微粒在水平方向做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動，豎直方向上為豎直上拋運(yùn)動(上升階段)，這與平拋運(yùn)動不同，故其軌跡不可能為拋物線.

(3)以A為原點(diǎn)，水平向右為x軸，v0方向?yàn)閥軸

(1)

(2)

由運(yùn)動學(xué)公式和牛頓第二定律易知

a=g

(3)

消去參數(shù)t得軌跡方程為

(4)

該式與拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程對比可知不是拋物線.

分析探究：說明(1)習(xí)慣地以v0方向?yàn)閤軸，水平方向?yàn)閥軸，認(rèn)為到C點(diǎn)處vx=0就不是類平拋運(yùn)動;說明(2)似乎有些道理;在一次公開課中，授課老師以該題為例運(yùn)用說明(3)定量解答時,聽課學(xué)生、老師和教研員都未提出任何疑問.甚至某市把該題作為單選題出在多校聯(lián)考試卷上，答案亦為選項(xiàng)B.選項(xiàng)A真不對嗎？我們不妨探究探究.

(1)平拋運(yùn)動軌跡是拋物線.

質(zhì)點(diǎn)水平方向不受力，為勻速直線運(yùn)動；豎直方向只受重力，為自由落體運(yùn)動,建立坐標(biāo)系如圖2.

圖2

x=v0t

(5)

(6)

消去參數(shù)t得

(7)

顯而易見其軌跡一定為拋物線.

(2)斜拋運(yùn)動的軌跡是拋物線.

同理,建立坐標(biāo)系如圖3.

圖3

x=v0tcosθ

(8)

(9)

消去參數(shù)t得

(10)

其軌跡一定為拋物線.

(3)在較小空間區(qū)域內(nèi)(其線度遠(yuǎn)小于中心天體半徑)，重力場可看作豎直向下，強(qiáng)度為g的勻強(qiáng)場.本題中微粒在兩個勻強(qiáng)場中運(yùn)動，由于場具有疊加性，可引入等效重力場概念即可先由平行四邊形定則，求出mg與qE的合力，則等效重力場強(qiáng)度為

其方向?yàn)楹狭Φ姆较?，則等效重力場水平面(等勢面)為與等效場線垂直的一簇平面.本題中為使問題簡化，類比拋體運(yùn)動沿等效場強(qiáng)方向建立y軸，等勢線方向?yàn)閤軸建立坐標(biāo)系如圖4.

圖4

則x方向的分運(yùn)動為勻速直線運(yùn)動

x=v0tcosθ

(11)

y方向的分運(yùn)動為類豎直上拋運(yùn)動

(12)

同樣消去t有

(13)

可見微粒運(yùn)動為類斜拋運(yùn)動，其軌跡為拋物線.

而等效重力場等勢面與軌跡AC的切點(diǎn)為等效最高點(diǎn)D，若將坐標(biāo)原點(diǎn)移至該點(diǎn)，等效場強(qiáng)方向?yàn)閥軸正方向，其軌跡為過原點(diǎn)的關(guān)于y軸成對稱的拋物線.

圖5

事實(shí)上，在解析幾何中，可以通過坐標(biāo)變換，使二次曲線方程在新坐標(biāo)系中有最簡單的形式.如圖5所示,設(shè)平面直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)的舊坐標(biāo)為(x,y),新坐標(biāo)為(X,Y)，則轉(zhuǎn)軸公式為

x=Xcosα-Ysinα

(14)

y=Xsinα+Ycosα

(15)

(16)

該式與正解式(13)完全相同.運(yùn)用類比思想和數(shù)學(xué)工具不難得出結(jié)論：恒力作用下的一切曲線運(yùn)動，其軌跡都是拋物線.變力作用下的曲線運(yùn)動軌跡可以是圓、橢圓、螺線、雙曲線或更復(fù)雜的曲線.

可見，在探究物理問題時，要注重從基本模型出發(fā)，運(yùn)用類比、對稱、等效等方法，要善于深入思考，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)工具，不盲從權(quán)威，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度.