趙斌

(長沙市第六中學 湖南 長沙 410000)

圓是完美的象征，在物理學中圓的知識應(yīng)用非常廣泛.下面賞析圓在物理解題中的巧妙應(yīng)用.

1 用半徑表示大小相等的矢量

由三角形知識求出正確答案是選項A，C.

圖1

2 用弦設(shè)置運動的比較

兩個重要結(jié)論：

(1)物體從豎直圓環(huán)的頂點沿任何弦由靜止開始無摩擦下滑到圓周上，所用的時間都等于它沿圓的直徑做自由落體的時間.

(2)物體從豎直圓環(huán)的圓周上沿任何弦由靜止開始無摩擦下滑到圓周的最低點，所用的時間都等于它沿圓的直徑做自由落體的時間.

【例2】如圖2所示，由豎直墻壁和斜坡構(gòu)成一凹形槽，豎直墻壁和斜坡相交于O，從墻的最高處A到斜坡有兩條光滑軌道AB，AC，已知OA=OB，C點在B點的下方.兩小孩同時從A處開始自由滑下，問兩小孩誰最先滑到斜坡？

圖2

解析：該題似乎少了條件，給思維造成了很大障礙.如果應(yīng)用上面結(jié)論的(1)，該題可即刻求解.

因OA=OB，故可以O(shè)點為圓心，OA為半徑作圓，AB為圓的一條弦，由結(jié)論(1)可知，沿AB滑下的小孩比沿AC滑下的所用時間長，即沿AC滑下的小孩先達到斜坡.

【例3】如圖3所示，在同一豎直線上有A,B兩點，相距h，B點離地高度為H.現(xiàn)要在地面上找到一點C，使得物體由靜止沿從A,B兩點分別向C點安放的光滑木板滑動時，滿足運動時間相等.求O到C的距離.

圖3

解析：由結(jié)論(2)可知，該題中涉及的A,B,C三點分別是豎直圓周上的三個不同位置，其中C點是最低點,AC和BC分別是圓的兩條弦.畫出過A,B兩點并與地面相切的圓，切點即為滿足題設(shè)條件的C點.由幾何關(guān)系有

由直角三角形知識有

3 用切線求解最值問題

【例4】如圖4所示，在勻強電場中，將一電荷量為q,質(zhì)量為m的小球由靜止釋放，帶電小球的運動軌跡為一條直線，該直線與豎直方向的夾角為θ.下列對電場強度大小說法正確的是

D.以上說法都不正確

圖4

解析：由題設(shè)可知，帶電小球受重力和電場力作用，且合力方向與運動方向相同，即與豎直方向成θ角.根據(jù)力的合成法則可知，電場方向不是唯一的并且沒有最大值，故選項A,B錯誤.在圖4中，以重力的末端為圓心畫出與合力相交的所有圓中，合力方向與圓相切時對應(yīng)的電場力最小，由三角形知識可知這一最小值為mgsinθ，故選項C正確.

4 用對稱性挖掘隱含條件

【例5】如圖5所示，正方形勻強磁場區(qū)域邊界長為a，由光滑絕緣壁圍成.質(zhì)量為m，電荷量為q的帶正電粒子垂直于磁場方向和邊界從下邊界正中央A孔射入磁場中，粒子碰撞時無能量和電量損失，不計重力和碰撞時間，磁感應(yīng)強度大小為B，粒子在磁場中運動的半徑小于a.欲使粒子仍能從A孔射出，粒子的入射速度應(yīng)為多大？在磁場中運動時間為多長？

圖5

解析：當粒子垂直于磁場方向進入磁場且只受洛倫茲力作用時，粒子的運動軌跡是圓(或圓弧).粒子從A孔射入又要回到A孔，經(jīng)歷了什么樣的路徑？這是本題的難點，同時也是題設(shè)中一個關(guān)鍵性的隱含條件，要突破這一難點，必須用到圓運動的對稱性.當粒子垂直于邊界進入磁場時，必定經(jīng)過一系列對稱形式的運動才有可能回到出發(fā)點.粒子的運動可能是圖6(a)、(b)兩種形式(這種對稱性構(gòu)成了一幅美麗的“窗簾”).

圖6

由于粒子速度的大小并未確定，圖6(a)的運動形式中粒子的碰撞次數(shù)是多種可能的.由幾何關(guān)系可知，粒子做圓周運動的半徑可能為

又

所以

(n=0,1,2…)

同樣，對于圖6(b)的運動形式，粒子的碰撞次數(shù)也是多種可能的，且當粒子恰好運動到正方形的頂角并反彈后，由于粒子受到的洛倫茲力垂直于豎直邊，粒子只可能沿著豎直邊做勻速直線運動，由幾何關(guān)系可知粒子做圓周運動的半徑可能為

又

所以

(k=1,2…)

5 用相切圓的特性化解難點

圖7

解析：該題的難點是如何確定速度最大的帶電粒子做圓周運動時圓心的位置.

粒子在磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場中運動半徑為

(1)

速度小的粒子將在x

軌道半徑大于a的粒子開始進入右側(cè)磁場，考慮r=a的極限情況，這種粒子在右側(cè)的圓軌跡與x軸在D點相切(虛線圓)，OD=2a，這是水平屏上發(fā)亮范圍的左邊界.

速度最大粒子的軌跡如圖8中實線所示，如何確定這一臨界狀態(tài)的粒子打在屏上的位置,找到它的軌跡圓心是關(guān)鍵.它的軌跡由兩段圓弧組成，即兩圓相切于M點，根據(jù)相切圓的特點：兩相切圓的圓心與切點必在同一直線上.由此可知，兩段圓弧的圓心必在過M點的直線上，設(shè)圓心分別為C和C′，又由于左邊圓弧的圓心在y軸上，兩圓弧半徑相等，由對稱性可知C′在x=2a直線上.

設(shè)t1為粒子在0a區(qū)域中的運動時間，由題意可知

由此解得

(2)

(3)

由式(2)、(3)和對稱性可得

∠OCM=60°

∠MC′N=60°

∠MC′P=150°

所以

∠NC′P=150°-60°=90°

設(shè)速度最大值粒子的軌跡半徑為R，由直角三角形COC′可得 2Rsin60°=2a

得

由圖8可知OP=2a+R，因此水平熒光屏發(fā)亮范圍的右邊界坐標為