鐘 陽， 高嫄嫄， 田 斌， 李 銳

(1.大連理工大學(xué) 建設(shè)工程學(xué)部， 遼寧 大連 116024; 2.中國路橋工程有限責(zé)任公司科技部， 北京 100011)

橋梁工程中的橋面板、高速公路中的水泥混凝土路面、機(jī)場跑道以及各種房屋建筑中的樓板等，都是以彈性薄板為力學(xué)模型進(jìn)行計(jì)算的。彈性薄板的分析一直是學(xué)術(shù)界和工程界研究的重點(diǎn)，但尋求其精確解是相當(dāng)困難的。特別是對于彈性薄板的動(dòng)力問題的求解，無論是在力學(xué)和數(shù)學(xué)方面都是難題。近年來，曲慶璋從能量角度，并且人為的預(yù)設(shè)撓度函數(shù)，求得了彈性薄板振動(dòng)問題的級數(shù)解[1]；成祥生利用變分原理分析了懸臂板彎曲、穩(wěn)定和振動(dòng)問題[2]；曹國雄用疊加法分析了固支彈性薄板的固有頻率[3]，曹志遠(yuǎn)用梁函數(shù)法分析了彈性矩形薄板的振動(dòng)問題[4]，Leissa、何福保利用Reileigh-Ritz法分析了彈性地基上四邊自由矩形薄板振動(dòng)問題[5～7]。上述各種求解方法主要為疊加法[8～12]和傅立葉級數(shù)半逆解法[13,14]，這兩種方法不僅計(jì)算量大，而且都需要預(yù)先人為地選取撓度函數(shù)，但撓度函數(shù)的選取具有一定的任意性，無確定規(guī)律可循。

懸臂矩形薄板的求解一直是彈性力學(xué)中難點(diǎn)問題之一，原因是其控制方程為高階偏微分方程且含有兩個(gè)自由角點(diǎn)，邊界條件復(fù)雜，直接求解非常困難，而積分變換方法是求解高階偏微分方程強(qiáng)有力的工具，利用該方法可將高階偏微分方程轉(zhuǎn)化為易于求解的線性代數(shù)方程組，通過線性方程組的求解，并進(jìn)行相應(yīng)的積分逆變換，即可得到實(shí)際問題的精確解，因而使問題的求解過程得到了極大簡化。

本文直接從彈性薄板的基本方程出發(fā)，采用二維有限積分變換方法推導(dǎo)出了懸臂矩形薄板固有頻率和振型的精確解，由于在求解過程中不需要人為選取撓度函數(shù)，因此求解過程更加合理。

1 控制方程和有限積分變換

懸臂矩形薄板自由振動(dòng)控制方程為

(1)

圖1 彈性薄板坐標(biāo)

懸臂矩形薄板的坐標(biāo)如圖1所示，其邊界條件為：

(2)

(3)

(4)

(5)

根據(jù)振動(dòng)理論，板自由振動(dòng)動(dòng)撓度方程可表示為：

W(x,y,t)=w(x,y)sin(ωt+θ)

(6)

其中，w(x,y)為板的振型函數(shù)，ω為板的自振頻率，θ為初相位。

將式(6)代入式(1)，可得懸臂矩形薄板的振型微分方程：

(7)

根據(jù)懸臂邊界條件和二維有限積分變換性質(zhì)，選取正變換為[15]：

(m=1,3,…；n=0,1,…)

(8)

其相應(yīng)逆變換為：

(9)

式中，αm=mπ/a，βn=nπ/b,a和b分別為板的長度和寬度。

文中所用撓度w高階偏導(dǎo)數(shù)的有限積分變換為：

(10)

(11)

(12)

對式(7)進(jìn)行二維有限積分變換，并將式(10)、(11)、(12)代入可得：

(13)

對邊界條件(4)中兩式分別進(jìn)行一維有限余弦、半正弦積分變換，可得：

(14)

將邊界條件(2)中第一式和式(5)、(14)代入式(13)可得：

(15)

在上式中，令

(16)

則式(15)可表示為：

(17)

再將式(17)代入式(9)即可得到由自振頻率ω、待定系數(shù)Im、Jm、Kn、Ln(m=1,3,…,n=0,1,…)表示的振型函數(shù)w(x,y)。

(18)

由以上求解過程可知，此時(shí)式(18)已滿足邊界條件式(4)、(5)和(2)的第一式。

為求得Im、Jm、Kn、Ln，按照級數(shù)逐項(xiàng)微分法則[16]將式(6)代入邊界條件式(2)第二式和式(3)：

=0 (m=1,3,…)

(19)

-Rmnwmn]=0 (m=1,3,…)

將式(17)代入式(19)：

(n=0,1,2,…)

(20)

(n=0,1,2,…)

(21)

(22)

(m=1,3,…)

(23)

式(20)～(23)是關(guān)于Im、Jm、Kn、Ln(m=1,3,…；n=0,1,2,…)的齊次線性方程組，有非零解的條件是由ω表示的系數(shù)矩陣行列式為零，由此可解得懸臂板任意階的自振頻率，再回代式(20)～(23)可求得Im、Jm、Kn、Ln，代入式(18)即可得到任意階固有頻率下的振型函數(shù)。由于ω表示的系數(shù)矩陣行列式為一元高次方程，直接求解難度較大，可以利用振型對稱性進(jìn)行一定的化簡。由式(16)可以看出，Im、Jm、Kn、ln分別為y=b,y=0,x=a,x=0四邊轉(zhuǎn)角的半正弦級數(shù)系數(shù)和彎矩的余弦級數(shù)系數(shù)，令I(lǐng)m=-Jm可求得對稱振型，Im=Jm可求得反對稱振型。

2 算 例

為了驗(yàn)證所推導(dǎo)公式的正確性，以文獻(xiàn)[17]為例，計(jì)算了正方形懸臂薄板的對稱、反對稱前五階固有頻率，并與文獻(xiàn)[17]進(jìn)行對比，在計(jì)算中取v=0.3。本文采用Matlab[18]編程求解，固有頻率的計(jì)算結(jié)果列于表1，板的振型如圖2所示。

圖2 對稱、反對稱一、二階振型

對稱性階次項(xiàng)數(shù)10×1020×2030×30文獻(xiàn)[17]正對稱13.2383.3023.4483.459220.0820.3220.8721.09326.1526.5626.9227.06452.7353.2153.4053.53560.1160.7361.1961.12反對稱18.218.2568.3338.356229.8430.2330.4630.55362.0362.7863.5163.62469.7470.1770.5570.64591.4291.8492.1692.21

由表1可以看出，本文計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[17]完全一致，說明本文采用二維有限積分變換方法所得結(jié)果是正確的。

3 結(jié) 語

本文利用二維有限積分變換的方法，求解出了矩形懸臂薄板的固有頻率和振型的精確解。并且，通過計(jì)算實(shí)例的結(jié)果驗(yàn)證了本文采用方法的正確性。該方法不僅概念清晰、計(jì)算簡便，而且較傳統(tǒng)疊加法、傅立葉級數(shù)法等解析方法計(jì)算量有了明顯減少。由于求解過程中不需要人為選取位移函數(shù)，而是直接從彈性薄板的基本方程出發(fā)，使得求解方法更加合理。

[1] 曲慶彰，梁光復(fù). 矩形懸臂板的穩(wěn)定、自由振動(dòng)和彎曲問題分析[J]. 土木工程學(xué)報(bào), 1995, 28(5):12-20.

[2] 成祥生. 懸臂矩形板的彎曲穩(wěn)定和振動(dòng)[J]. 應(yīng)用力學(xué)與數(shù)學(xué), 1987, 8(7): 639-648.

[3] 曹國雄. 彈性矩形薄板振動(dòng)[M]. 北京: 中國建筑工業(yè)出版社, 1983.

[4] 曹志遠(yuǎn). 板殼振動(dòng)理論[M]. 北京: 中國鐵道出版社, 1989.

[5] Leissa A W, Niedenfuhr F W. A study of the cantilevered square plate subjected to a uniform loading [J]. Journal of the Aero/Space Sciences, 1962, 29(2): 162-169.

[6] Leissa A W. The free vibration of rectangular plate [J]. Journal of Sound and Vibration, 1973, 31(3): 257-293

[7] 何福保, 沈亞鵬. 板殼理論[M]. 西安: 西安交通大學(xué)出版社, 1993.

[8] Timoshenko S P, Woinowsky-Krieger S. Theory of Plates and Shells(2nd Edition)[M]. New York: McGraw-Hill, 1959.

[9] Henwood D J, Whiteman J R, Yettram A L. Fourier series solution for a rectangular thick plate with free edges on an elastic foundation [J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1982, 18(12): 1801-1820.

[10] Chang F V. Bending of uniformly cantilever rectangular plates [J]. Applied Mathematics and Mechanics, 1980, 1(3): 371-383.

[11] Chang F V. Bending of a cantilever rectangular plate loaded discontinuously [J]. Applied Mathematics and Mechanics, 1981, 2(4): 403-410.

[12] 張福范. 彈性薄板(第2版)[M].北京: 科學(xué)出版社, 1984.

[13] 曲慶璋, 章 權(quán), 梁興復(fù). 彈性薄板理論[M]. 北京: 人民交通出版社, 2000.

[14] Henwood D J, Whiteman J R, Yettram A L. Finite difference solution of a system of first-order partial differential equations [J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1981, 17(9): 1385-1395.

[15] Sneddon I N. The Use of Integral Transforms [M]. New York: McGraw-Hill, 1972.

[16] Khalili M R, Malekzadeh K, Mittal R K. A new approach to static and dynamic analysis of composite plates with different boundary conditions [J]. Composite Structures, 2005, 69(2): 149-155.

[17] Gorman D J. Free Vibration Analysis of Rectangular Plates [M]. New York: Elsevier, 1981.

[18] 張志湧. 精通Matlab 6.5[M]. 北京: 北京航空航天大學(xué)出版社, 2003.