郭帥杰，王保田，張福海

(河海大學(xué) a. 巖土力學(xué)與堤壩工程教育部重點實驗室，b. 巖土工程科學(xué)研究所， 江蘇 南京 210098)

Terzaghi一維固結(jié)理論自提出以來在土體固結(jié)沉降計算中得到廣泛應(yīng)用，具有簡單實用的優(yōu)點，經(jīng)受了大量工程實踐檢驗，在此基礎(chǔ)上發(fā)展出適于吹填土固結(jié)的各種修正方法擴展Terzaghi理論的應(yīng)用范圍[1]。但Terzaghi理論主要應(yīng)用于大范圍線彈性小變形飽和土體固結(jié)計算，對壓縮性大、孔隙比高的吹填土體固結(jié)問題存在理論應(yīng)用上的局限[2]，計算結(jié)果與土體實際沉降相差甚遠。Gibson[3]等采用流動坐標代替空間坐標避免土體沉降引起的坐標誤差建立大變形固結(jié)方程，在吹填土、淤積土、河、海相新沉積粘土等軟土體大變形固結(jié)計算中得到廣泛應(yīng)用。

Terzaghi理論方程建立過程中并沒有小變形約束，僅在利用邊界條件求解固結(jié)方程解析解時采用小變形假定，小變形固結(jié)方程是Gibson大變形固結(jié)方程某些假定情況下的簡化處理[4]。Terzaghi理論在固結(jié)方程建立流程上不存在小變形限制，那么通過有限應(yīng)變理論與固結(jié)參數(shù)固結(jié)過程中的連續(xù)修正方法將經(jīng)典固結(jié)理論推廣到軟土地基的大變形固結(jié)沉降計算是可行的。

Mikasa和Gibson[5]作為一維大變形固結(jié)理論的主要開拓者，都致力于將Terzaghi小變形理論推廣到更普遍的大變形固結(jié)理論。謝新宇[6]等對大變形固結(jié)系數(shù)進行研究，得到不同情況下固結(jié)系數(shù)的變化趨勢。Duncan[7]的研究指出假定固結(jié)系數(shù)在固結(jié)過程中恒定是不合理的，土體在固結(jié)過程中表現(xiàn)出非線性非彈性特點。因而，應(yīng)用非線性土體本構(gòu)方程表征固結(jié)參數(shù)的變化趨勢，以及在固結(jié)沉降計算中的具體應(yīng)用是值得深入研究的內(nèi)容。

Terzaghi固結(jié)方程求解的關(guān)鍵是固結(jié)系數(shù)固結(jié)過程中的常數(shù)性假定。土體固結(jié)系數(shù)與滲透性、壓縮性相關(guān)，而滲透性、壓縮性隨土體固結(jié)過程連續(xù)變化可分別表達為孔隙比的非線性函數(shù)，固結(jié)系數(shù)也不為常數(shù)，隨固結(jié)過程不斷變化，將固結(jié)系數(shù)表達為孔隙比表達式更能反映吹填土固結(jié)系數(shù)在固結(jié)過程中變化規(guī)律[8]。Terzaghi固結(jié)方程解析解應(yīng)滿足小變形假定，將大變形沉降應(yīng)用有限應(yīng)變理論分段表達，滿足小變形條件(1%～5%)，逐級疊加求解各步長沉降量，得到固結(jié)沉降曲線。

1 Terzaghi固結(jié)方程

Terzaghi理論以超孔壓為控制變量，根據(jù)邊界條件與初始超孔壓分布求解固結(jié)方程。為便于控制應(yīng)變步長與時間步長，以孔隙比作為方程變量，根據(jù)邊界條件與初始條件獲得方程解析解。

圖1 土層單向固結(jié)示意圖

1.1 超孔隙水應(yīng)力固結(jié)方程及解析解

圖1所示固結(jié)土層場地條件下，土層坐標零點位于底部不可壓縮層，方向豎直向上，排水上邊界，下邊界不透水，初始超孔壓分布為u0，靜孔壓分布為u。超孔壓控制變量固結(jié)方程為

(1)

式中，u為超靜孔隙水應(yīng)力；cv為固結(jié)系數(shù)；t為固結(jié)時間維度；z為固結(jié)土層空間坐標。

(2)

式中，Ω為排水邊界；Γ為不透水邊界。

應(yīng)用分離變量法，(1)式在(2)式條件下解析解為

(3)

1.2 孔隙比固結(jié)方程及解析解

圖1中土層固結(jié)示意圖中邊界條件下，孔隙比控制變量固結(jié)沉降歸結(jié)為(4)式固結(jié)問題。

(4)

應(yīng)用分離變量法，方程(4)式解析解為

(5)

式中，n為自然常數(shù)(n=1,2,…)。式(5)可得單面排水情況下任一點、任意時刻相對初始狀態(tài)沉降量S(z,t)與平均應(yīng)變固結(jié)度Ut

(6)

式中，St，S∞為固結(jié)歷時t后沉降量和穩(wěn)定沉降量。

2 修正Terzaghi理論

2.1 固結(jié)參數(shù)固結(jié)過程中的變異性

滲透性、壓縮性作為最重要的固結(jié)參數(shù)在吹填土體固結(jié)過程連續(xù)變化，不滿足Terzaghi常量假定，兩固結(jié)參數(shù)在固結(jié)過程中變化趨勢如圖2所示，固結(jié)過程中滲透系數(shù)、壓縮系數(shù)均非常數(shù)。

圖2 土體非線性本構(gòu)關(guān)系

Gibson[3,5]大變形固結(jié)方程求解時假定方程參數(shù)g(e)，λ(e)為常量，得到有效應(yīng)力、滲透系數(shù)關(guān)于孔隙比的半對數(shù)表達式；方開澤[9]、洪振舜[10,11]等由淤泥滲透固結(jié)試驗，測定有效應(yīng)力、滲透系數(shù)與孔隙比間非線性關(guān)系，采用半對數(shù)函數(shù)關(guān)系式進行擬合；Fox[12]應(yīng)用孔隙比與有效應(yīng)力、滲透系數(shù)間分段線性關(guān)系代替非線性關(guān)系，形成的大變形數(shù)值模型在離心試驗中得到較好應(yīng)用。Lucas[13]根據(jù)室內(nèi)沉降柱模擬粘性泥沙沉降試驗結(jié)果采用(7)和(8)式擬冪次函數(shù)關(guān)系表達土體非線性本構(gòu)關(guān)系。

σ′=Kσ(1+e)n

(7)

k=Kk(1+e)m

(8)

式中，e為孔隙比；σ′為有效應(yīng)力；Kσ為有效應(yīng)力參數(shù)；n為有效應(yīng)力指數(shù)參數(shù)；k為滲透系數(shù)；Kk為滲透參數(shù)；m為有效應(yīng)力指數(shù)參數(shù)。

2.2 固結(jié)系數(shù)

一維沉降固結(jié)系數(shù)采用土體非線性本構(gòu)關(guān)系修正，在經(jīng)典Terzaghi固結(jié)系數(shù)計算基礎(chǔ)上，引入修正固結(jié)變量參數(shù)，反映大變形固結(jié)沉降中固結(jié)參數(shù)的非線性特點。固結(jié)系數(shù)cv一般定義為

(9)

將式(9)中k與mv作為固結(jié)參數(shù)變量以(7)(8)式代入，得到修正一維固結(jié)系數(shù)cv表達式

(10)

為得到cv在土體固結(jié)過程變化趨勢和主要影響因素，將固結(jié)系數(shù)cv關(guān)于孔隙比e求導(dǎo)。

(11)

(11)式中Kk、Kσ為正值，固結(jié)系數(shù)導(dǎo)數(shù)正負由-n(n+m)正負性確定，可預(yù)測固結(jié)系數(shù)在固結(jié)過程中的變化趨勢。根據(jù)淤積泥沙沉降柱試驗結(jié)果，n=-3.40；m=7.72，cv′>0恒成立，即固結(jié)系數(shù)在固結(jié)過程中保持減小趨勢[14,15]。

2.3 修正Terzaghi理論在大變形固結(jié)中應(yīng)用

為修正大變形問題中經(jīng)典Terzaghi固結(jié)理論的適用性問題，修正Terzaghi固結(jié)理論以土層有限應(yīng)變固結(jié)理論為基礎(chǔ)，采用分段計算方法，控制每一個沉降計算步長上的應(yīng)變步長，使其滿足小變形要求；計算每一應(yīng)變步長上對應(yīng)時間步長，經(jīng)沉降累加與時間累加計算得到吹填土體時間維度上的固結(jié)曲線。根據(jù)計算得到的土體內(nèi)部實時孔隙比，調(diào)整每一應(yīng)變步長上固結(jié)參數(shù)，主要包括平均孔隙比、滲透系數(shù)、體積壓縮系數(shù)、固結(jié)系數(shù)等固結(jié)參數(shù)調(diào)整，每一個應(yīng)變步長均采用(5)、(6)式獨立求解。

限定應(yīng)變步長ε，由初始孔隙比分布及固結(jié)參數(shù)代入式(5)計算第i個時間步長Δti上孔隙比分布ei(z)，由式(12)計算土層平均孔隙比及應(yīng)變。

(12)

εi<ε，不改變固結(jié)參數(shù)，增大時間步長Δti計算(12)式；εi≥ε，循環(huán)計算時i=i+1，T(i)=T(i-1)+Δti為固結(jié)歷時；固結(jié)參數(shù)由(12)式修正。固結(jié)參數(shù)修正為

(13)

邊界條件為

(14)

代入式(5)進行新應(yīng)變步長計算ei+1(z)。最后一級應(yīng)變步長一般達不到ε，設(shè)定時間步長限值tlimit，當(dāng)Δti>tlimit時強制結(jié)束循環(huán)求解過程。

2.4 程序?qū)崿F(xiàn)流程

根據(jù)修正Terzaghi理論計算流程，采用Matlab工具內(nèi)部語言編制計算程序，通過循環(huán)調(diào)整計算得到固結(jié)計算結(jié)果。程序?qū)崿F(xiàn)流程如圖3所示。

圖3 修正Terzaghi方法程序?qū)崿F(xiàn)流程

3 修正Terzaghi算例驗證

應(yīng)用算例從三個方面對修正Terzaghi理論適用性及預(yù)測精度進行驗證：(1)小變形問題修正方法對比計算；(2)壓縮系數(shù)、滲透系數(shù)保持不變的大變形固結(jié)問題；(3)固結(jié)參數(shù)隨固結(jié)過程連續(xù)變化的大變形非線性固結(jié)問題。算例均采用圖1土層條件。

3.1 小變形固結(jié)問題

為驗證修正Terzaghi理論計算固結(jié)問題的可行性，將其與小變形固結(jié)問題計算結(jié)果進行對比，根據(jù)沉降曲線計算結(jié)果的穩(wěn)定性與收斂性驗證修正Terzaghi理論的可靠性。算例中，飽和粘土層厚10 m，底邊界不透水不可壓縮，均布荷載240 kPa，初始孔隙比e1=0.8，av=2.5×10-4kPa-1，k=6.342×10-10m/s，穩(wěn)定應(yīng)變量為4.8%，屬于小變形固結(jié)問題。采用Terzaghi方法與分段修正方法計算結(jié)果如圖4所示，其中邊界條件與固結(jié)系數(shù)均不進行修正。

圖4 小變形、線彈性固結(jié)問題

圖4中小變形固結(jié)問題計算結(jié)果表明，固結(jié)參數(shù)不變情況下，采用修正Terzaghi理論固結(jié)曲線具有很好的收斂性，說明小變形條件下修正方法能夠與經(jīng)典理論保持一致，能夠應(yīng)用于小變形固結(jié)計算。

3.2 壓縮性參數(shù)調(diào)整固結(jié)問題

對于大變形固結(jié)問題，固結(jié)參數(shù)在固結(jié)過程中連續(xù)變化，采用修正體積壓縮系數(shù)方法修正，滲透系數(shù)在固結(jié)過程中保持不變，但固結(jié)系數(shù)連續(xù)變化。將修正理論與Terzaghi理論計算結(jié)果進行對比，根據(jù)沉降曲線計算結(jié)果的差異確定修正Terzaghi理論計算大變形固結(jié)的可行性。驗證算例中，飽和粘土層厚10 m，不透水不可壓縮底層，均布荷載100 kPa，初始孔隙比e1=4，av=2.0×10-5kPa-1，k=1.0×10-8m/s，穩(wěn)定應(yīng)變量為47%，屬于大應(yīng)變固結(jié)問題。采用Terzaghi方法與分段修正方法計算結(jié)果如圖5所示，其中邊界條件不修正為常量。

圖5 壓縮性修正求解大變形固結(jié)問題

圖5結(jié)果表明大變形固結(jié)問題采用修正固結(jié)參數(shù)方法能夠反映出土體大變形固結(jié)特性，一定程度上克服基本假定引起的計算誤差。采用修正方法計算最終穩(wěn)定沉降量略小于Terzaghi方法，但是修正方法達到80%固結(jié)度固結(jié)歷時僅為Terzaghi方法的一半，符合大變形固結(jié)進程快于小變形的一般結(jié)論。

3.3 固結(jié)參數(shù)雙修正計算

固結(jié)參數(shù)雙修正方法以室內(nèi)沉降柱模擬粘性泥沙沉降試驗為基礎(chǔ)，采用式(13)滲透系數(shù)、有效應(yīng)力及固結(jié)參數(shù)修正公式進行固結(jié)計算。土層基本參數(shù)為：固結(jié)起始態(tài)飽和土層厚0.430 m，底層不透水不可壓縮，自重固結(jié)穩(wěn)定，初始孔隙比e1=11.45，Gs=2.75;初始態(tài)壓縮系數(shù)av(1)=0.14 Pa-1，k(1)=5.6×10-6m/s，體積壓縮系數(shù)mv(1)=0.01125 Pa-1，固結(jié)系數(shù)cv(1)=4.98×10-8m2/s，穩(wěn)定應(yīng)變?yōu)?2%，屬于大應(yīng)變固結(jié)問題。固結(jié)土體采用式(7)、(8)擬冪次形式本構(gòu)關(guān)系，代入方程參數(shù)進一步表達為(15)式，有效應(yīng)力、滲透系數(shù)與孔隙比關(guān)系如圖6(a)、(b)所示。

(15)

圖6 土體非線性本構(gòu)關(guān)系

采用Terzaghi方法與固結(jié)參數(shù)雙修正方法計算結(jié)果以及沉降柱試驗曲線如圖7所示。計算過程中，上邊界條件et=11.45保持不變，下邊界條件孔隙比關(guān)于坐標的導(dǎo)數(shù)隨固結(jié)過程根據(jù)式(14)連續(xù)調(diào)整修正。采用1%應(yīng)變修正方法，自重固結(jié)孔隙比在固結(jié)過程中沿深度分布及發(fā)展曲線如圖8所示。

圖7 壓縮性修正求解大變形固結(jié)問題

圖8 孔隙比分布及固結(jié)過程中發(fā)展變化

圖7實際沉降曲線與不同層次應(yīng)變修正方法計算曲線及Terzaghi方法計算曲線對比表明修正Terzaghi方法能夠滿足土體大變形固結(jié)沉降特點及計算要求，與實際沉降曲線符合良好；經(jīng)典Terzaghi理論計算結(jié)果與實際沉降曲線相差甚遠，固結(jié)進程遠慢于土體實際沉降進程，在大變形固結(jié)計算中存在較大誤差。圖8中孔隙比在固結(jié)過程中的變化規(guī)律基本滿足土體自重固結(jié)過程特點，孔隙比分布與不排水下邊界條件處理相關(guān)，由于邊界條件在固結(jié)過程中的變化，下邊界附近孔隙比在固結(jié)后期有增大膨脹現(xiàn)象，與土體實際情況不相符，邊界條件的合理處理對提高修正Terzaghi方法的計算精度具有重要意義。

Terzaghi理論求解大變形固結(jié)問題的誤差來源于沉降量引起的較大坐標誤差以及固結(jié)參數(shù)在固結(jié)過程中的變異性誤差，采用單一不變固結(jié)參數(shù)無法反應(yīng)固結(jié)過程的非線性大變形特點。修正方法以有限應(yīng)變理論分步計算為基礎(chǔ)，應(yīng)變步長滿足小變形要求并根據(jù)固結(jié)進程實時進行固結(jié)參數(shù)調(diào)整修正，反映出固結(jié)參數(shù)在固結(jié)過程的非線性與變異性，擴展Terzaghi理論在大變形固結(jié)領(lǐng)域中的應(yīng)用范圍。

4 結(jié) 論

(1) Terzaghi固結(jié)方程在建立過程中不存在小變形限定，基于有限應(yīng)變理論的修正Terzaghi方法在滿足小變形解析計算、收斂于小變形解析解基礎(chǔ)上能夠應(yīng)用于吹填土大變形固結(jié)沉降計算，計算結(jié)果反映出土體固結(jié)的大變形非線性特點，沉降預(yù)測曲線與實際沉降符合良好。

(2) 采用基于試驗數(shù)據(jù)的擬冪次函數(shù)關(guān)系表征有效應(yīng)力、滲透系數(shù)與孔隙比間非線性關(guān)系能夠反映出固結(jié)參數(shù)在固結(jié)過程的非線性變化規(guī)律。根據(jù)三個算例的計算驗證，得到修正Terzaghi方法收斂于小變形固結(jié)計算，固結(jié)參數(shù)的變化對固結(jié)進程影響巨大以及考慮雙參數(shù)修正方法能夠得到與實際沉降曲線相匹配計算結(jié)果的結(jié)論。

(3) 孔隙比控制變量固結(jié)方程邊界條件處理是方程求解的困難所在，由于固結(jié)參數(shù)的變化，孔隙比邊界條件一直改變，賦值不當(dāng)極易造成較大計算誤差。不排水孔隙比邊界條件的處理是孔隙比變量固結(jié)計算的關(guān)鍵，特別是考慮吹填土體自重應(yīng)力的欠固結(jié)土固結(jié)計算，這也是修正Terzaghi方法改進的方向。

(4) 應(yīng)變步長對固結(jié)計算結(jié)果有較大影響，但小變形與大變形固結(jié)的分界一直沒有嚴格限定。根據(jù)修正計算、大變形固結(jié)計算以及Terzaghi固結(jié)計算結(jié)果的對比分析確定不同土體大小變形固結(jié)界限具有重要工程意義。

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