，，

(1．江南大學(xué)自動化研究所 輕工過程先進控制教育部重點實驗室，江蘇 無錫 214122；2．中國船舶科學(xué)研究中心，江蘇 無錫 214082)

浮式海洋平臺及船舶在海浪、海風(fēng)等環(huán)境因素影響下，其運動是一個非線性隨機過程，特別是在高海情下更加明顯。運動短期預(yù)報可以提前幾秒或十幾秒預(yù)報出平臺的運動姿態(tài)或其運動趨勢，為鉆桿柱的主動運動補償以及直升機起降等作業(yè)提供作業(yè)指導(dǎo)，對提高平臺的工作效率和運行安全性具有重要的意義。

近20年時間，利用時間序列分析法對船舶運動姿態(tài)進行極短期預(yù)報得到了長足的發(fā)展，時間序列法無需知道船舶運動姿態(tài)響應(yīng)的狀態(tài)方程，僅僅利用運動的歷史數(shù)據(jù)尋求規(guī)律進行預(yù)報。AR模型法[1]算法簡單、運行速度快，但其假設(shè)船舶在海浪中的運動姿態(tài)為一平穩(wěn)的窄帶隨機過程，但實際海況下的船舶運動是非線性的，在預(yù)報精度上仍有待提高，艏前波法[2]建立在對即將遭遇的波浪預(yù)先測量，以及浮體對波浪激勵的運動響應(yīng)模型的基礎(chǔ)上，實際使用中在測量手段上存在一定的困難。近年來，混沌時間序列的建模和預(yù)測已成為信息處理研究領(lǐng)域中的一個重要研究熱點[3-4]。本文在遞推最小二乘算法(RLS)的基礎(chǔ)上引入小波多尺度分析法，對所測船舶運動時間序列進行預(yù)處理，將其分解為若干層近似意義上的平穩(wěn)時間序列，再使用Volterra自適應(yīng)預(yù)報模型對每層的單支重構(gòu)信號進行預(yù)報，最后綜合每層的預(yù)報值得到原時間序列的預(yù)報值。

1 小波多尺度分析法

給定一個時間序列x(k)，選取不同的小波函數(shù)對其進行一次小波變換，可將其分解成近似部分C1和細節(jié)部分D1，然后對近似部分C1繼續(xù)分解，可得到尺度2上的近似部分C2和細節(jié)部分D2……，如此下去，即可實現(xiàn)對時間序列x(k)的多尺度分解。

小波多尺度分析可由Mallat算法實現(xiàn)。Mallat算法如下：

1)信號分解。

(1)

式中：H，G——低通濾波器和高通濾波器；

圖1 塔式分解算法示意

cj，dj——原始信號在分辨率2-j下的近似信號和細節(jié)信號。

2)信號重構(gòu)。

cj=H*cj+1+G*dj+1
j=J-1,J-2,J-3,…,0

(2)

圖2 塔式重構(gòu)算法示意

式中：H*，G*——H和G的對偶算子。

采用Mallat算法，每次分解后得到的細節(jié)信號和近似信號比分解前的信號點數(shù)減少1倍，這對預(yù)報是不利的。因此對d1,d2,d3,…,dJ和cJ分別進行單支重構(gòu)，得到D1,D2,D3,…,DJ和CJ，且有

X=D1+D2+…+DJ+CJ

(3)

2 自適應(yīng)Volterra級數(shù)預(yù)報模型

(4)

(5)

其中：hn(i1,…,in)——n階Volterra核；

p——Volterra濾波器階數(shù)。

這種無窮級數(shù)展開式在工程應(yīng)用中難以實現(xiàn)，考慮到極短期預(yù)測的實效性，必須采用有限截斷和有限次求和的形式。取二階截斷m次求和形式，則Volterra自適應(yīng)預(yù)測濾波器改寫為

(6)

在工程應(yīng)用中，Volterra自適應(yīng)濾波器階數(shù)p選取為相空間重構(gòu)的最小嵌入維數(shù)mmin， 定義二階Volterra自適應(yīng)預(yù)測濾波器的輸入矢量U(k)和系數(shù)矢量H(k)分別為

x2(k),x(k)x(k-1),…,x2(k-M+1)]T

H(k)=[h0,h1(0),h1(1),…,h1(m-1),

h2(0,0),h2(0,1),…,h2(m-1,m-1)]T

(7)

則其狀態(tài)擴展后的系數(shù)總個數(shù)為M=1+m+m(m+1)/2。

式(6)可表示為

(8)

如果利用最小均方誤差(MSE)估計對運動姿態(tài)進行實時在線辨識時，隨著新數(shù)據(jù)的不斷獲取，維數(shù)將不斷增大，勢必會耗費大量存儲空間，故本文采用遞推最小二乘(RLS)算法對式(7)表示的VoIterra自適應(yīng)濾波器的系數(shù)矢量H(k)進行辨識，也能得到更快的收斂速度。其算法可描述為

(9)

3 小波多尺度時間序列預(yù)報算法

{X(k),k=1,2,…}為船舶運動姿態(tài)時間序列，對其進行小波分解，并對各層進行單支重構(gòu)，可以得到

跟隨小組沿著開滿杜鵑花的河流前行，穿越過喜馬拉雅山白雪皚皚的山丘，攀過山脈頂峰，來到也許是世界上最高的與世隔絕的村莊。

X=D1+D2+…+DJ+CJ

(10)

式中：D1={d1,1,d1,2,…,d1,k};D2={d2,1,d2,2,…,d2,k},…,DJ={dJ,1,dJ,2,…,dJ,k}分別為第一層，第二層，……，第J層細節(jié)信號的單支重構(gòu)結(jié)果。CJ={cJ,1,cJ,2,…,cJ,k}是第J層逼近信號的單支重構(gòu)結(jié)果，則

X(k)=d1,k+d2,k+…+dJ,k+cJ,k

(11)

其n步以后的預(yù)報值為

(12)

1)對Dj(1≤j≤J)和CJ建立Volterra自適應(yīng)預(yù)報模型，利用遞推最小二乘(RLS)算法來確定VoIterra自適應(yīng)濾波器的系數(shù)。

(13)

則原來時間序列的預(yù)報值為

(14)

4 仿真計算與結(jié)果

仿真采用某船舶分別在頂浪12 kn和艏斜浪25 kn航行過程中縱搖和橫搖運動的實船實測運動數(shù)據(jù)，采樣間隔為1 s。步驟如下。

1)對實船數(shù)據(jù)進行歸一化處理。

(15)

x(k)——歸一化后的時間序列；

N——樣本序列個數(shù)。

2)選取某一特定的小波函數(shù)，對歸一化處理后的時間序列x(k)按式(1)、(2)進行小波分解，并單支重構(gòu)得式(11)。

3)對小波重構(gòu)后的d1,k,d2,k,…,dJ,k,cJ,k利用式(7)、(8) 建立Volterra自適應(yīng)預(yù)報模型，按式(9)所示的遞推最小二乘(RLS)算法計算得到式(13)，最終合并各層預(yù)報值得式(14)，即為最終的預(yù)報值。

首先選取100個實船所測數(shù)據(jù)，按上述步驟計算得出該船在未來10 s的縱橫搖預(yù)報值，每間隔1 s引入一個新的數(shù)據(jù)，向后連續(xù)預(yù)報100 s。使用Cao方法和C-C方法確定嵌入維數(shù)m=3，時間延遲τ=1，小波函數(shù)選取sym10小波。圖3～6為截取連續(xù)預(yù)報90次預(yù)報仿真曲線。

圖3 頂浪12 kn縱搖預(yù)報曲線

為了更直觀地評價算法的預(yù)報性能，以預(yù)測均方誤差作為評測標(biāo)準(zhǔn)，預(yù)測均方誤差Perr定義為

(16)

圖4 頂浪12 kn橫搖預(yù)報曲線

圖5 艏斜浪25 kn縱搖預(yù)報曲線

圖6 艏斜浪25 kn橫搖預(yù)報曲線

為了更好地考察算法的連續(xù)預(yù)報性能，分別超前預(yù)報3 s、5 s、7 s、10 s，并計算每次預(yù)報的相對均方誤差，見表1。

表1 遞推連續(xù)預(yù)報誤差分析 %

誤差分析結(jié)果表明，隨著預(yù)報時間長度的增加，預(yù)報精度明顯下降。本方法較傳統(tǒng)的時間序列分析法在預(yù)報10 s時精度依然保持在要求范圍之內(nèi)。

為進一步對利用小波進行運動預(yù)報算法的工程實用性進行分析，選取頂浪12 kn橫搖縱搖運動數(shù)據(jù)進行預(yù)報，以分析小波多尺度預(yù)報算法中一些參數(shù)對預(yù)報效果的影響。

1)分解層數(shù)的選取。選擇頂浪12 kn的縱搖數(shù)據(jù)進行預(yù)報，以分析小波分解層數(shù)對預(yù)報效果的影響。選用sym10小波，前100 s為建模階段，向后一次預(yù)報10 s，小波分解層數(shù)選取1～10層，分別計算其預(yù)報誤差，分析結(jié)果見表2。

表2 不同小波分解層數(shù)的預(yù)報誤差(sym10小波)

仿真結(jié)果表明,小波分解層數(shù)對預(yù)報誤差有一定的影響。隨著分解層數(shù)的增加，預(yù)報誤差隨之降低；但當(dāng)分解層數(shù)增大到一定程度(5層)后，預(yù)報誤差逐漸趨于某一固定值，對預(yù)報效果基本已經(jīng)沒有影響。

2)小波函數(shù)類型的選取。選擇頂浪12 kn的橫搖縱搖數(shù)據(jù)進行預(yù)報，以分析所選小波函數(shù)類型對預(yù)報效果的影響。分解5層，前100 s為建模階段，向后一次預(yù)報10 s，選用不同類型的小波，分別計算其預(yù)報誤差，分析結(jié)果見表3。

表3 不同類型小波函數(shù)對應(yīng)縱搖和橫搖的預(yù)報誤差

結(jié)果表明,小波函數(shù)類型的選取非常重要，當(dāng)選擇不同類型的小波函數(shù)時，相同海況下的橫搖或縱搖運功預(yù)報誤差各不相同，同一類型小波函數(shù)對于同一數(shù)據(jù)，橫搖和縱搖運動的預(yù)報誤差也不盡相同。

5 結(jié)論

基于小波多尺度分析的混沌時間序列法比傳統(tǒng)時間序列方法具有更大的優(yōu)越性，在預(yù)報精度和預(yù)報時長方面都優(yōu)于傳統(tǒng)時間序列方法，因此在實船預(yù)報中可發(fā)揮重要作用；本文選取sym10小波，為緊支集正交小波，且具有更好的對稱性，可減少重構(gòu)時的相移。

通過對實船實測數(shù)據(jù)的預(yù)報計算，發(fā)現(xiàn)小波函數(shù)類型的選取也非常重要，不同海況及航向、航速的組合具有不同的最適合的小波函數(shù)，因此小波函數(shù)的選取將直接影響預(yù)報效果，如何更好地選取合適的小波類型，以后需要進一步研究。

[1] 彭秀艷,趙希人,魏納新,等.大型艦船姿態(tài)運動極短期預(yù)報的一種AR算法[J].船舶工程,2001(5):6-8.

[2] 趙希人，彭秀艷，呂淑萍，等.具有艏前波觀測量的大型艦船姿態(tài)運動極短期預(yù)報[J].船舶力學(xué),2003,7(2): 39-44.

[3] 張家樹,肖先賜.用于混沌時間序列自適應(yīng)預(yù)測的一種少參數(shù)二階Volterra濾波器[J].物理學(xué)報,2001,50(07):1248-1254.

[4] 劉長德.基于時間序列的船舶運動建模預(yù)報方法研究[D].哈爾濱：哈爾濱工程大學(xué)，2009.

[5] 翁震平，顧 民，劉長德.基于二階自適應(yīng)Volterra級數(shù)的船舶運動極短期預(yù)報研究[J].船舶力學(xué),2010,14(7): 732-740.