，，，

(大連理工大學(xué) 運(yùn)載工程與力學(xué)學(xué)部，遼寧 大連 116023)

在海洋石油開發(fā)過(guò)程中，立管系統(tǒng)是連接海面浮式生產(chǎn)平臺(tái)和水下井口的重要通道。在海洋環(huán)境荷載作用下，立管的渦激振動(dòng)是研究的熱點(diǎn)[1-2]。渦激振動(dòng)是由漩渦激發(fā)而導(dǎo)致的結(jié)構(gòu)振動(dòng)，當(dāng)漩渦脫落頻率與結(jié)構(gòu)的頻率接近時(shí)，會(huì)產(chǎn)生“鎖定”現(xiàn)象，立管大幅值的動(dòng)力響應(yīng)會(huì)降低立管的疲勞壽命，而立管的固有頻率是預(yù)測(cè)是否“鎖定”的重要判據(jù)，振型可以用來(lái)預(yù)測(cè)最大響應(yīng)的位置，因此研究立管的模態(tài)有重要的意義。由于海洋立管的控制方程是一個(gè)變系數(shù)的四階偏微分方程，很難精確求解模態(tài)，工程中常根據(jù)不同的考慮因素對(duì)方程進(jìn)行簡(jiǎn)化，國(guó)內(nèi)外學(xué)者已作了許多有益的研究工作[3-7]。本文根據(jù)軸向張力的不同表達(dá)形式對(duì)立管模型進(jìn)行分類，討論相應(yīng)的模態(tài)計(jì)算方法，研究相關(guān)參數(shù)對(duì)立管振動(dòng)頻率和振型的影響。

1 微分方程的推導(dǎo)

海洋立管通?？梢钥醋鲝椥粤海蛇\(yùn)用基于小變形假設(shè)的歐拉-貝努利梁模型[8]，即假設(shè)微元的轉(zhuǎn)動(dòng)量可以忽略，只關(guān)注水平位移；和彎曲變形相比，因剪切力引起的角變形是微階小量。如圖 1所示建立坐標(biāo)系，梁的兩端假設(shè)為鉸接，x軸為順流向，y軸為橫流向，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，在xoy截面內(nèi)徑和外徑分別為Di和Do，材料彈性模量為E，單位長(zhǎng)度質(zhì)量為m。梁模型在xoz和yoz平面有相似的振動(dòng)形式和控制方程，只是所受外荷載不同，以xoy平面為例從能量的角度推導(dǎo)它的控制方程。圖2為任意微元的變形和受力示意，所受作用力包括沿軸向的張力Te，彎矩M，剪力Q，環(huán)境荷載引起的外荷載fdz。

圖1 梁模型及笛卡爾坐標(biāo)系示意

微元的應(yīng)變能為

dV=dVM+dVTe

(1)

式中：dVM——由M引起的微元應(yīng)變能，

dVTe——由Te引起的微元應(yīng)變能，

微元的動(dòng)能為

圖2 梁模型微元變形及受力示意

(2)

微元上外力所作的虛功為δW=fδxdz。沿z方向積分可得到整個(gè)系統(tǒng)的應(yīng)變能、動(dòng)能和總虛功。

對(duì)于整個(gè)系統(tǒng)，運(yùn)用哈密頓原理可表達(dá)為

(3)

將各個(gè)變量代入式(3)進(jìn)行變分計(jì)算，可得到

(4)

考慮到在t=t1和t=t2時(shí)δx=0，則式(4)第一項(xiàng)積分為零。則式(4)對(duì)于任意虛位移δx成立，需在整段滿足式(5)和兩端的邊界條件式(6)和式(7)。

(5)

(6)

(7)

考慮到兩端為鉸接，式(4)和式(5)可進(jìn)一步化簡(jiǎn)為

(8)

式(5)為立管的動(dòng)力控制微分方程，要研究立管的動(dòng)力情況即求解式(5)。對(duì)于變系數(shù)(EI，Te)的偏微分方程，求解是比較困難的，一般思路是先求出其齊次方程式(8)的通解即自由振動(dòng)時(shí)的模態(tài)。

(9)

下面重點(diǎn)討論立管自由振動(dòng)的模態(tài)問(wèn)題。

2 自由振動(dòng)方程的求解

2.1 基本參數(shù)的計(jì)算

在實(shí)際工程中，單根立管直徑相同，忽略連接處對(duì)整體的影響，因此立管為等截面的，抗彎剛度EI為常量。對(duì)于圖1所示的截面，抗彎剛度為

(10)

為了避免立管的失穩(wěn)，一般在頂端施加較大的張力。記為

T0=rwL

(11)

式中：r——張力因子；

w——單位長(zhǎng)度的表觀重力。

若考慮表觀重力的影響，則張力沿立管高度為線性變化，任意高度z處的張力可表示為

Te(z)=T0-w(L-z)=(r-1)wL+wz

(12)

立管處于海水之中，振動(dòng)時(shí)要帶動(dòng)周圍的水一起振動(dòng)，因此單位長(zhǎng)度的質(zhì)量應(yīng)包括自身的質(zhì)量和附加水的質(zhì)量，可表示為

m=mc+ma

(13)

Ca——附加水質(zhì)量系數(shù)；

ρc，ρw——立管和海水的密度。

2.2 模態(tài)的計(jì)算

根據(jù)以上的表述，式(12)是立管軸向張力較為精確的表達(dá)形式，運(yùn)用此形式無(wú)法直接求出式(9)的解析解，需進(jìn)一步進(jìn)行簡(jiǎn)化。下面根據(jù)Te的不同簡(jiǎn)化方法，討論其模態(tài)的求解方法。

2.2.1 模型1

當(dāng)Te=T0為常量時(shí)，則式(7)可化為

(14)

此時(shí)式(14)有解析解

(15)

結(jié)構(gòu)的第n階頻率為

(16)

其中彎曲剛度EI對(duì)結(jié)構(gòu)彎曲振動(dòng)頻率的貢獻(xiàn)為

(17)

軸向張力Te對(duì)結(jié)構(gòu)彎曲振動(dòng)頻率的貢獻(xiàn)為

(18)

結(jié)構(gòu)的第n階振型為

(19)

從式(17)和式(18)的對(duì)比可以看出，對(duì)于截面性質(zhì)相同的立管，隨著長(zhǎng)度L的增加，彎曲剛度EI對(duì)結(jié)構(gòu)彎曲振動(dòng)頻率的貢獻(xiàn)急劇減小，而提高張力因子r可以增大結(jié)構(gòu)的頻率，相當(dāng)于使結(jié)構(gòu)的剛度變大。

2.2.2 模型2

當(dāng)Te為式(12)形式時(shí)，則式(9)化為

(20)

此時(shí)，式(20)的第n階頻率ωn和振型φn可表示為[9]

(21)

φn(z)=

(22)

式(21)為ωn的隱式表達(dá)式，不能直接求解，可用迭代的方法不斷逼近精確解從而求得ωn的數(shù)值解，再將ωn代入式(22)即可求得振型。

2.2.3 模型3

由模型1知當(dāng)長(zhǎng)度L較大時(shí)，彎曲剛度對(duì)結(jié)構(gòu)的影響減小，主要受軸向張力Te控制，若忽略式(9)中的第一項(xiàng)，即得到弦的控制方程

(23)

將式(11)代入式(23)可化為

(24)

引入變換式(25)和分離變量形式的解式(26)

(25)

x(z,t)=φ(z)sin(ωnt)

(26)

將式(25)、式(26)代入式(24)，可得到

(27)

式(27)的解可寫為

φ(z)=A·J0(p)+B·NY0(p)

(28)

式中：J0，NY0——零階第一、二類貝塞爾函數(shù)；

A，B——系數(shù)；

ωn——頻率。

這種方法可以求得結(jié)構(gòu)的模態(tài)，但因?yàn)樨惾麪柡瘮?shù)形式復(fù)雜，計(jì)算效率不高。Sparks[10]提出一種簡(jiǎn)化方法將表觀重力項(xiàng)乘以系數(shù)1/2，即將式(24)化為

(29)

再將式(25)、(26)代入式(28)，可得到

(30)

由底端邊界條件，式(30)的解為熟悉的三角函數(shù)形式

φn(z)=Csin[p(z)-p(0)]

(31)

式中：C——常數(shù)；

p(0)——函數(shù)p(z)在底端的值。

還需頂端邊界條件，則需滿足p(L)-p(0)=nπ，式(25)代入可求得結(jié)構(gòu)頻率為

(32)

式(31)、(32)為簡(jiǎn)化模型的振型和頻率的解析表達(dá)形式，比式(28)更易于計(jì)算。

3 算例分析

3.1 基本參數(shù)

工程中常用的某種立管基本參數(shù)見表1。

表1 立管的基本參數(shù)

3.2 頻率分析

首先按模型1計(jì)算張力因子r=1.3，附加水質(zhì)量系數(shù)Ca=1時(shí)立管長(zhǎng)度L從100～1 500 m變化時(shí)的基頻，結(jié)果見圖 3。

圖3 模型1計(jì)算的不同長(zhǎng)度立管的基頻

圖3可見，隨著長(zhǎng)度L的增加，基頻的值急劇下降。圖中還比較了式(16)、(17)、(18)的計(jì)算結(jié)果，當(dāng)L>400 m時(shí)，式(16)、(17)的計(jì)算結(jié)果幾乎相同，說(shuō)明結(jié)構(gòu)彎曲振動(dòng)頻率主要受軸向張力Te控制，彎曲剛度EI對(duì)頻率的貢獻(xiàn)可以忽略不計(jì)，與前文的理論分析結(jié)果一致。

其次取與圖3相同的計(jì)算參數(shù)，對(duì)比立管的基頻按三種不同模型理論的計(jì)算結(jié)果，見圖 4。由圖4可見：模型1的計(jì)算結(jié)果明顯高于模型2和模型3的計(jì)算結(jié)果，那是因?yàn)槟Ｐ?忽略了軸向表觀重力的影響；隨著長(zhǎng)度L的增加，模型1與模型2和模型3的計(jì)算結(jié)果偏差增大，說(shuō)明當(dāng)立管變得細(xì)長(zhǎng)時(shí)，應(yīng)考慮表觀重力對(duì)頻率的影響，而模型2和模型3的計(jì)算結(jié)果趨近相同，說(shuō)明模型3中對(duì)表觀重力的適當(dāng)簡(jiǎn)化是合理的。

圖4 立管的基頻按三種模型的計(jì)算結(jié)果

最后對(duì)比長(zhǎng)度L=1 500 m時(shí)，三種模型的前10階頻率的計(jì)算結(jié)果，見表2。

表2 前10階頻率的計(jì)算結(jié)果 rad·s-1

由表2可見，在長(zhǎng)度L=1 500 m時(shí)，模型1的高階頻率計(jì)算結(jié)果遠(yuǎn)大于模型2和3，結(jié)果與真實(shí)頻率相差較大；模型3和2的結(jié)果基本一致，由于模型3削弱了表觀重力的作用，其結(jié)果比模型2的值略偏小，但誤差范圍都控制在5%以內(nèi)。因此可以得出結(jié)論，模型3通過(guò)合理簡(jiǎn)化，給出了頻率計(jì)算的顯式表達(dá)式，在對(duì)計(jì)算結(jié)果影響不大的前提下，提高了計(jì)算效率，易于工程應(yīng)用。

3.3 振型分析

結(jié)構(gòu)的振型體現(xiàn)了內(nèi)部各自由度的變形比例關(guān)系，對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)一步的動(dòng)力分析有著至關(guān)重要的作用，選取精確的振型可以更準(zhǔn)確地計(jì)算結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)。圖5給出了長(zhǎng)度L=1 500 m時(shí)，按三種不同模型計(jì)算的立管的歸一化振型。由圖5可見，由于模型1忽略了軸向線性變化的軸力，隨著階數(shù)的增大，模型1～3的計(jì)算結(jié)果偏差增大；模型2和3的前5階振型基本重合，高階(第10階)振型略有差異；比較振型的峰值點(diǎn)可以看出，模型2和3的峰值出現(xiàn)位置比模型1偏低，體現(xiàn)了表觀重力的影響，更符合工程實(shí)際情況。

3.4 參數(shù)分析

對(duì)于不同的海洋工程結(jié)構(gòu)，上部浮體給立管提供的軸向張力不盡相同，張力因子r是設(shè)計(jì)中需要考慮的因素，圖6給出了不同張力因子r對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)基頻。由圖6可見，立管的基頻隨著張力因子r的增大而增大，張力因子r越大，模型1和模型3的計(jì)算結(jié)果偏差趨于變小；通過(guò)比較三種長(zhǎng)度立管的基頻圖像可以看出，長(zhǎng)度L=500 m時(shí)的結(jié)構(gòu)基頻的圖像斜率最大，說(shuō)明長(zhǎng)度越小的結(jié)構(gòu)對(duì)張力因子變化越敏感。

圖5 三種模型計(jì)算的立管歸一化振型

圖6 張力因子對(duì)基頻的影響分析

在海洋環(huán)境中與真空中不同，流體對(duì)結(jié)構(gòu)的影響是必須考慮的因素，涉及流固耦合問(wèn)題，工程廣泛應(yīng)用的是基于試驗(yàn)的莫里森公式，附加水質(zhì)量系數(shù)Ca就是由莫里森公式而來(lái)。對(duì)于Ca的取值，各個(gè)規(guī)范的要求也不相同，因此分析附加水質(zhì)量系數(shù)Ca對(duì)結(jié)構(gòu)基頻的影響，見圖7。從圖7中可以看出，Ca從0～1變化時(shí)，基頻逐漸減??；比較三種長(zhǎng)度的基頻圖像，它們隨Ca變化的斜率基本相同，說(shuō)明Ca對(duì)結(jié)構(gòu)基頻的影響對(duì)長(zhǎng)度變化不敏感。

4 結(jié)論

1)在相同的張力因子下，隨著立管長(zhǎng)度的增大，其固有頻率主要受軸向張力的控制，彎曲剛度的影響減小。文中算例，當(dāng)張力因子為1.3，長(zhǎng)度L>400 m時(shí)，彎曲剛度的影響可忽略。

圖7 附加水質(zhì)量系數(shù)對(duì)基頻的影響分析

2)在深海中，因表觀重力引起的沿軸向張力的線性變化不可忽略，對(duì)結(jié)構(gòu)的模態(tài)有重要影響。忽略這種線性變化，固有頻率的計(jì)算結(jié)果會(huì)比真實(shí)頻率變大；受表觀重力的影響，振型不再沿立管中點(diǎn)處對(duì)稱。

3)張力因子的增大使立管固有頻率提高，這種影響對(duì)結(jié)構(gòu)長(zhǎng)度變化敏感，立管長(zhǎng)度越小，影響越明顯；固有頻率隨附加水質(zhì)量系數(shù)的增大而降低，這種影響對(duì)結(jié)構(gòu)長(zhǎng)度變化不敏感。

[1] BAARHOLM G S, LARSEN C M, LIE H. On fatigue damage accumulation from in-line and cross-flow vortex-induced vibrations on risers[J]. Journal of Fluids and Structures， 2006;22:109-127.

[2] 上官麗紅.頂張力對(duì)深水剛性立管渦激振動(dòng)及疲勞損傷的影響[J].船海工程，2011，40(2):111-114.

[3] BOKAIAN A. Natural frequencies of beams under tensile axial loads[J] Journal of Sound and Vibration,1990,142:481-498.

[4] LIU X Q， ERTEKIN R C, RIGGS H R. Vibration of a free-free beam under tensile axial loads[J]. Journal of Sound and Vibration,1996, 190(2):273-282.

[5] WU M C, LOU J Y K. Effect of rigidity and internal flow on marine riser dynamics[J]. Applied Ocean Research,1991,13(5):235-244.

[6] 郭海燕,王樹青,劉德輔.海洋環(huán)境荷載下輸液立管的靜、動(dòng)力特性研究[J].青島海洋大學(xué)學(xué)報(bào),2001,31(4):605-611.

[7] HAN S M, BENAROYA H, WEI T. Dynamics of transversely vibrating beams using four engineering theories[J]. Journal of Sound and Vibration, 1999, 225(5): 935-988.

[8] MEIROVITH L. Principles and techniques of vibrations[M].Englewood cliffs: Prentice Hall, 1997.

[9] TIOOSHENKO S，YOUNG D H，WEAVER W J R.vibration problems in engineering[M].NewYork: JohnWiley&Sons，1974.

[10] SPARKS C P. Transverse modal vibrations of vertical tensioned risers:a simplified analytical approach [J].Oil & Gas Science and Technology, 2002,57(1):71-86.