程鳳林

（衡水學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，河北 衡水053000）

本文介紹了兩種新型期權(quán)定價(jià)模型，分別是籃子期權(quán)和亞式期權(quán).籃子期權(quán)通常比單個(gè)資產(chǎn)期權(quán)的總價(jià)值便宜，它是多種標(biāo)的資產(chǎn)的一個(gè)投資組合的期權(quán).亞式期權(quán)又稱為平均價(jià)格期權(quán)，是股票期權(quán)的衍生，是在總結(jié)真實(shí)期權(quán)、虛擬期權(quán)和優(yōu)先認(rèn)股權(quán)等期權(quán)實(shí)施的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)基礎(chǔ)上推出的.對(duì)于籃子期權(quán)和亞式期權(quán)定價(jià)理論的研究都具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.

1 籃子模型

作為一種新型出現(xiàn)的期權(quán)形式一籃子期權(quán) （Basket Options）從本質(zhì)上說(shuō)是多種標(biāo)的資產(chǎn)的一個(gè)投資組合的.它的收益是根據(jù)其標(biāo)的資產(chǎn)的加權(quán)平均價(jià)格所決定的，一籃子期權(quán)它對(duì)投資費(fèi)用的利用效率較之單個(gè)期權(quán)更為高效.

下面將使用Mellin變換方法［1］在Black－Scholes模型框架下研究在常值波動(dòng)率及無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率下，求解和分析一籃子期權(quán)的定價(jià)模型.第一步，要在滿足Black－Scholes模型推導(dǎo)的假設(shè)條件下建立歐式一籃子期權(quán)的定價(jià)模型.

一籃子期權(quán)就是關(guān)于多個(gè)標(biāo)的資產(chǎn)的投資組合的期權(quán)，令si（T）（i＝1，L n）表示n種證券價(jià)格，μi（i＝1，L n）表示第i種證券在單位時(shí)間內(nèi)以連續(xù)復(fù)利計(jì)算的期望收益率，σi（i＝1，L n）表示第i種證券收益率單位時(shí)間的方差，K表示期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格，t表示現(xiàn)在時(shí)刻，T表示期權(quán)的到期時(shí)刻，V＝V（s1，s2，L sn，t）表示期權(quán)的價(jià)格.則歐式一籃子看跌期權(quán)的到期收益（即期權(quán)在T時(shí)刻的價(jià)值）為：V＝｛K－

這里si（T）（i＝1，L n）表示第i種證券，ωi≥0表示第i種證券的權(quán)重，且 ＝1.

假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格過(guò)程si在一個(gè)過(guò)濾的概率空間（－；F；F；P¤）上服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，也就是說(shuō)，d si＝siμid t＋siσid zi，這里d zi（i＝1，L n）是n個(gè)維納過(guò)程，且cor（dzi，dzj）＝ρij（i，j＝1，L n）且i≠j.

假設(shè)V 是基于si（T）（i＝1，L n）的某個(gè)看跌期權(quán)或其它期權(quán)的價(jià)格，根據(jù)ITO定理［2－4］得到：

對(duì)于到期日為T，執(zhí)行價(jià)格為K的歐式看跌期權(quán)，結(jié)合其邊界，得到歐式一籃子看漲期權(quán)的定價(jià)模型為：

2 亞式期權(quán)

它最早是由美國(guó)銀行家信托公司 （Bankers Tr ust）在日本東京推出的.亞式期權(quán)是當(dāng)今金融衍生品市場(chǎng)上交易最為活躍的奇異期權(quán)之一，與通常意義上股票期權(quán)的差別是對(duì)執(zhí)行價(jià)格的限制，其執(zhí)行價(jià)格為執(zhí)行目前半年二級(jí)市場(chǎng)股票價(jià)格的平均價(jià)格.與標(biāo)準(zhǔn)期權(quán)的區(qū)別在于：在到期日確定期權(quán)收益時(shí)，不是采用標(biāo)的資產(chǎn)當(dāng)時(shí)的市場(chǎng)價(jià)格，而是用期權(quán)合同期內(nèi)某段時(shí)間標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的平均值，這段時(shí)間被稱為平均期.在對(duì)價(jià)格計(jì)算平均時(shí)，可采用兩種平均法，分別為算術(shù)平均和幾何平均.

以I1（T）為例對(duì)于平均價(jià)格型亞式看漲期權(quán)，T時(shí)刻其價(jià)值為：

其看跌期權(quán)價(jià)值為｛K－I1（T）｝＋；而平均執(zhí)行價(jià)格型亞式看漲期權(quán)T時(shí)刻的價(jià)值為：｛sT－I1（T）｝＋，其看跌期權(quán)價(jià)值為 ｛I1（T）－sT｝＋.

下面以算術(shù)平均價(jià)格的平均價(jià)格型亞式看漲期權(quán)為例來(lái)建立定價(jià)模型.假設(shè)V＝V（s，t，I）是基于算術(shù)平均價(jià)格的平均價(jià)格型亞式看漲期權(quán)的價(jià)格，這里I＝tI1（t），顯然有＝sI.且股票價(jià)格的變化過(guò)程可以用普通布朗運(yùn)動(dòng)描述，即：d s＝sμd t＋sσd z.

在dt（dt趨于0）時(shí)間后，該投資組合的價(jià)值變化為：d∏＝－.得到：

結(jié)合無(wú)套利原理，得到Black－Scholes期權(quán)定價(jià)模型：

對(duì)于到期日為T，執(zhí)行價(jià)格為K的歐式看漲期權(quán)，結(jié)合其邊界，得到算術(shù)平均價(jià)格的平均價(jià)格型亞式看漲期權(quán)的定價(jià)模型：

3 結(jié) 語(yǔ)

本文介紹了兩種新型期權(quán)定價(jià)模型及其建立過(guò)程.一份一籃子期權(quán)要比一籃子單個(gè)期權(quán)在費(fèi)用上更有效率，而亞式期權(quán)作為一種新型期權(quán)，對(duì)新型定價(jià)模型的研究將使得金融市場(chǎng)更加有效率，它將加強(qiáng)市場(chǎng)與市場(chǎng)參與者的相互依賴.由于投資者對(duì)其投資最大化的要求和投資組合分散化日益增長(zhǎng)的要求，建立新型期權(quán)定價(jià)模型具有較大的現(xiàn)實(shí)意義.

［1］ Panini R.Srivastav RP.Option pricing with Mellin transforms［J］.J Mat h Co mp Modell，2004，40：43－56

［2］ Wilmott P，Howynne S.The Mathematics of Financial Derivatives ［M］.London：Cambridge University Press，1995，58－67

［3］ 楊啟帆，方道元.數(shù)學(xué)建模 ［M］.浙江大學(xué)出版社，2003：34－47

［4］ 程鳳林，李樂(lè).Mellin變換在推廣的歐式期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用 ［J］.衡水學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011，13（04）：95－97

［5］ 程鳳林.Mellin變換在歐式期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用 ［J］.衡水學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009，11（04）：18－20

［6］ 袁博，張賀，張艷紅.改進(jìn)投資組合模型的一種可行性解法 ［J］.河北北方學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2008，3：74－76