史曉陽(yáng)，魯 芳，劉艷萍

（1.海軍航空工程學(xué)院 山東 煙臺(tái) 264001；2.海軍實(shí)驗(yàn)基地三區(qū) 河北 秦皇島 066000）

近年來(lái)，非線性控制理論的迅速發(fā)展使得其在系統(tǒng)建模和系統(tǒng)控制中的應(yīng)用成為可能。其中，反饋線性化的方法引起了學(xué)者的廣泛關(guān)注，它的核心思想是把一個(gè)非線性系統(tǒng)代數(shù)的轉(zhuǎn)化為一個(gè)（全部或者部分）線性系統(tǒng)，以便可以應(yīng)用線性系統(tǒng)的技巧[1-2]對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)。這種方法已經(jīng)廣泛的應(yīng)用到了開(kāi)關(guān)變換器控制[3]，電動(dòng)機(jī)控制[4-5]，水利系統(tǒng)[6]等領(lǐng)域。目前，反饋線性化在控制領(lǐng)域的研究，大多是采用狀態(tài)反饋線性化的方法以實(shí)現(xiàn)非線性系統(tǒng)的完全線性化。但是狀態(tài)反饋線性化需要滿足嚴(yán)格的能控性條件和對(duì)合條件，而且存在控制器結(jié)構(gòu)復(fù)雜，不利于工程實(shí)現(xiàn)等缺點(diǎn)。從實(shí)用角度來(lái)看，實(shí)現(xiàn)非線性系統(tǒng)完全精確線性化并不比部分精確線性化更為理想[6]。

文中基于他勵(lì)直流電動(dòng)機(jī)非線性模型，通過(guò)選擇不同的輸出函數(shù)，設(shè)計(jì)了輸出反饋線性化轉(zhuǎn)速控制器和狀態(tài)反饋線性化轉(zhuǎn)速控制器。并通過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)和系統(tǒng)仿真，比較兩者的控制器結(jié)構(gòu)，穩(wěn)定運(yùn)行區(qū)域，動(dòng)態(tài)性能，抗干擾能力。結(jié)果表明，輸出反饋線性化控制器相比于狀態(tài)反饋控制器，控制性能優(yōu)良，且更具有實(shí)用價(jià)值。

1 他勵(lì)直流電動(dòng)機(jī)非線性模型

電動(dòng)機(jī)控制的目標(biāo)是控制電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速按照期望的指標(biāo)運(yùn)行。對(duì)于他勵(lì)直流電動(dòng)機(jī)非線性系統(tǒng)，選取電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，電樞電流，勵(lì)磁電流作為狀態(tài)變量，即x=（ω iair）T。 選勵(lì)磁電壓為控制量，即u=ur，系統(tǒng)狀態(tài)方程[7]可寫(xiě)為：

式中，

設(shè)電動(dòng)機(jī)穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速時(shí)x1m=wm，解方程組

得

由計(jì)算結(jié)果可知，對(duì)于給定的穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速wm，有兩組穩(wěn)態(tài)勵(lì)磁電壓、電樞電流、勵(lì)磁電流。容易看出，b組數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的穩(wěn)態(tài)平衡點(diǎn)是物理上無(wú)法實(shí)現(xiàn)的，a組數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的平衡點(diǎn)是我們期望的電動(dòng)機(jī)運(yùn)行平衡點(diǎn)。所以當(dāng)系統(tǒng)控制達(dá)到穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速wm時(shí)，期望的穩(wěn)態(tài)電樞電流為x2ma，穩(wěn)態(tài)勵(lì)磁電流為x3ma。

2 控制器設(shè)計(jì)

2.1 狀態(tài)反饋線性化控制器設(shè)計(jì)

1）狀態(tài)反饋反饋線性化條件

①矩陣[g（x0），adfg（x0），…，ag（x0）]的秩為 n；

②分布 D=span[g，adfg，…，ag]在的一個(gè)鄰域是對(duì)合的。

由電動(dòng)機(jī)非線性模型計(jì)算得

根據(jù)定理充分必要條件②，由于[g（x），adfg（x）]=0，可得D=span{g（x），adfg（x）}在集合 U={x∈R3:x1≠0 或 x2≠0}上為 2維，非奇異，對(duì)合。

當(dāng)時(shí)，det（[g（x0），adfg（x0），ag（x0）]）≠0 時(shí)，rank{[g（x0）adfg（x0）ag（x0）]}=3。

計(jì)算得：

電動(dòng)機(jī)模型滿足狀態(tài)反饋反饋線性化的條件。

2）控制器設(shè)計(jì)

由于相對(duì)階 r=3，非線性系統(tǒng)（1）存在輸出函數(shù) λ（x）使得系統(tǒng)可進(jìn)行狀態(tài)反饋線性化。輸出函數(shù)λ（x）應(yīng)滿足[g（x），adfg（x）]=0，解得 λ（x）=J+La-Z3，其中 Z3=Jw+Lax為常數(shù)。則有微分同胚坐標(biāo)變換z=φ（x）：

則在此坐標(biāo)下得非線性狀態(tài)反饋：

其中，v為線性化虛擬輸入，zm為中不包含控制信號(hào)u的項(xiàng)。經(jīng)坐標(biāo)變化和狀態(tài)反饋?zhàn)儞Q后，原非線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為線性化系統(tǒng)。

顯然，線性化后的系統(tǒng)是能控的線性系統(tǒng)，應(yīng)用線性系統(tǒng)極點(diǎn)配置法設(shè)計(jì)閉環(huán)，即 v=-k1z1-kz2-k2z3（其中 k1，k2，k3＞0）

則加入閉環(huán)控制的控制規(guī)律為

從控制規(guī)律（6）可知，基于狀態(tài)反饋線性化設(shè)計(jì)的控制律不是全局范圍成立的。當(dāng)｝時(shí)，控制規(guī)律沒(méi)有定義好，控制規(guī)律使?fàn)顟B(tài)運(yùn)行到這些奇點(diǎn)時(shí)，控制器不能使系統(tǒng)達(dá)到平衡點(diǎn)。所以設(shè)計(jì)控制器時(shí)反饋系數(shù)k1，k2，k3不但要滿足線性系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)的要求，而且必須保證控制過(guò)程中的狀態(tài)軌跡與沒(méi)有交點(diǎn)，否則交點(diǎn)位置控制器失效。

2.2 輸出反饋線性化控制器設(shè)計(jì)

選擇輸出函數(shù) λ（x）=x3-Z1，顯然相對(duì)階 r=1，其中 Z1=x3m為常數(shù)。設(shè) z1=λ（x），則=-x3+u。在此坐標(biāo)下得輸出反饋線性化

應(yīng)用極點(diǎn)配置法設(shè)計(jì)非線性控制器的閉環(huán)，即v=-kz1（k＞0）。

將 u=Lr（-kz1+x3）代入原系統(tǒng)的方程得

假設(shè) x30=x3-Z1，有 x30=-kx30。 選擇利亞普諾夫[8]函數(shù) V（x）=+1，則 V（x）=-2k，顯然對(duì) x3∈R，V（x）正定，V（x）半負(fù)定。由李亞普諾夫穩(wěn)定性理論可知，控制規(guī)律u=Lr（-kz1+x3）使得系統(tǒng)全局漸進(jìn)穩(wěn)定。

3 系統(tǒng)仿真實(shí)驗(yàn)

為了比較2種控制器的控制效果，文中是用Matlab中的Simulink對(duì)所建系統(tǒng)的模型進(jìn)行仿真。他勵(lì)直流電動(dòng)機(jī)的負(fù)載額定轉(zhuǎn)矩為29.2 N·m，電樞電感為0.012 H，勵(lì)磁回路電阻為240Ω，勵(lì)磁回路電感為0.12 H，電樞與勵(lì)磁回路互感為1.8 H，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為1.0 kg/m2，電勢(shì)常數(shù)取經(jīng)驗(yàn)值k=15，電樞電壓為240 V，電樞電阻為0.6Ω，額定轉(zhuǎn)速為100 rad/s。

圖1為在電動(dòng)機(jī)額定狀態(tài)下，本文設(shè)計(jì)的狀態(tài)反饋控制器和輸出反饋控制器啟動(dòng)和調(diào)速的狀態(tài)響應(yīng)曲線。為了考察系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，在5秒的時(shí)調(diào)節(jié)控制規(guī)律，使電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速?gòu)?00 rad/s穩(wěn)定到127 rad/s。為了考察系統(tǒng)的抗干擾能力，首先控制電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速達(dá)到額定穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速100 rad/s，5 s時(shí)在電動(dòng)機(jī)模型負(fù)載力矩控制端加入寬度為1 s幅值為15 N·m的干擾力矩，系統(tǒng)的響應(yīng)曲線如圖3所示。

圖1 轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)狀態(tài)響應(yīng)曲線Fig.1 State response curve of speed regulation

圖2 加干擾力矩情況下轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線Fig.2 State response curve under disturbance torque

圖3 加干擾力矩情況下轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線放大圖Fig.3 State response zoom curve under disturbance torque

從圖中可以看出，基于反饋線性化設(shè)計(jì)的他勵(lì)直流電動(dòng)機(jī)閉環(huán)轉(zhuǎn)速控制器具有很好的動(dòng)態(tài)性能和抗干擾能力。其中，輸出反饋控制器相比于狀態(tài)反饋控制器具有啟動(dòng)快，調(diào)速迅速，超調(diào)小，抗干擾能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)。

4 結(jié)束語(yǔ)

文中基于他勵(lì)直流電動(dòng)機(jī)的數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用微分幾何理論設(shè)計(jì)了輸出反饋線性化和狀態(tài)反饋線性化閉環(huán)轉(zhuǎn)速控制器。通過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)表明，對(duì)于他勵(lì)直流電動(dòng)機(jī)非線性模型，輸出反饋線性化與狀態(tài)反饋線性化控制器相比，控制器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，且具有更大的穩(wěn)定控制區(qū)域。仿真結(jié)果表明，由于狀態(tài)反饋控制器存在奇點(diǎn)，不是全局能控的，穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速的設(shè)定和極點(diǎn)配置參數(shù)的選擇都會(huì)影響系統(tǒng)控制過(guò)程中的狀態(tài)響應(yīng)軌跡，從而可能使系統(tǒng)運(yùn)行到奇點(diǎn)區(qū)域，出現(xiàn)控制器失效現(xiàn)象。在這種情況下閉環(huán)參數(shù)的設(shè)計(jì)既要保證系統(tǒng)具有很好的控制性能，更要保證在控制過(guò)程中系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)軌跡不經(jīng)過(guò)系統(tǒng)奇點(diǎn)。這就使得控制器閉環(huán)設(shè)計(jì)變得復(fù)雜，且大多情況下無(wú)法選擇最優(yōu)的閉環(huán)控制參數(shù)，從而影響控制器的動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能。相比而言，輸出反饋線性化控制器具有動(dòng)態(tài)調(diào)速性能好；抗干擾能力強(qiáng)；結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，易于工程實(shí)現(xiàn)；有效地避免產(chǎn)生奇點(diǎn)，控制器運(yùn)行穩(wěn)定，容易使系統(tǒng)的閉環(huán)設(shè)計(jì)達(dá)到最優(yōu)配置等優(yōu)點(diǎn)。

[1]程代展.應(yīng)用非線性控制[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2006．

[2]賀昱曜，閆茂德.非線性控制理論及應(yīng)用[M].西安：西安電子科技大學(xué)出版社，2007.

[3]帥定新，謝運(yùn)祥，王曉剛，等.Boost變換器非線性電流控制方法[J].中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2009，29（15）：15-21.SHUAI Ding-xin，XIE Yun-xiang，WANG Xiao-gang，et al.Nonlinear current control method for boost converter[J].Proceedings of the CSEE，2009，29（15）:15-21.

[4]孟昭軍，孫昌志，安躍軍，等.狀態(tài)反饋精確線性化永磁同步電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速控制[J].中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2007，11（1）：21-28.MENG Zhao-jun，SUN Chang-zhi，AN Yue-jun，et al.Speed control of permanentmagnet synchronousmotor based on exact linearization via state variable feedback[J].Proceedings of the CSEE，2007，11（1）:21-28.

[5]曹建榮，虞烈，謝友柏.磁懸浮電動(dòng)機(jī)的狀態(tài)反饋線性化控制[J].中國(guó)電動(dòng)機(jī)工程學(xué)報(bào)，2011，21（9）:22-26.CAO Jian-rong，YU Lie，XIE You-bai.Dynamic feedback linearization control fof induction type bearingless motor[J].Proceedings of the CSEE，2001，21（9）:22-26.

[6]李嘯驄，程時(shí)杰，韋化，等.輸出函數(shù)在單輸入單輸出非線性控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中的重要作用[J].中國(guó)電動(dòng)機(jī)工程學(xué)報(bào)，2004，24（10）：50-55.LI Xiao-cong，CHENG Shi-jie，WEI Hua，et al.Important effection of the output function in siso nonlinear control system design[J].Proceedings of the CSEE，2004，24（10）:50-55.

[7]李殿璞.非線性控制系統(tǒng)理論基礎(chǔ)[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2006.

[8]蔣永新.動(dòng)力系統(tǒng)的穩(wěn)定性與分支理論及其應(yīng)用[D].長(zhǎng)沙：湖南師范大學(xué)，2003.