周 宇,楊劍鋒

(蘭州交通大學(xué)自動化與電氣工程學(xué)院,蘭州 730070)

鐵路線路是由直線段(坡道和非坡道)和曲線段組成的。與直線相比曲線的線路特征更加明顯和復(fù)雜,因此如何提高車輛在曲線區(qū)段上的通過性能成為國際范圍內(nèi)的研究熱點(diǎn)[1]。此外,在車輛懸掛、弓網(wǎng)動力學(xué)、空氣動力學(xué)等相關(guān)領(lǐng)域也有一些研究成果[2]。國內(nèi)柔性車輛系統(tǒng)動力學(xué)研究處于起步階段。對柔性車輛系統(tǒng)動力學(xué)處理的一般方法是：用一組剛塊來代替具有彈性的車體并且做了簡化處理。但這還不是真正意義上的柔性體,且不易確定剛塊間的彈性[3]。本文將采用多體系統(tǒng)分析方法,借鑒有限元方法與模態(tài)分析方法的現(xiàn)有成果,并結(jié)合物體的大位移運(yùn)動來對含有彈性變形的多體系統(tǒng)進(jìn)行分析,建立基于子結(jié)構(gòu)的列車剛?cè)峄旌蟿恿W(xué)模型。

1 列車運(yùn)行受力及基本關(guān)系式

當(dāng)列車在曲線線路上運(yùn)行時,因轉(zhuǎn)向架處于曲線地段,輪軌的作用關(guān)系要復(fù)雜的多。在大半徑曲線線路上,由于內(nèi)外軌上機(jī)車輪對滾動半徑差異從而形成滾動距離差和蠕動力,機(jī)車可以適應(yīng)曲線線路內(nèi)外軌的長度差異,可以依靠蠕滑導(dǎo)向通過曲線,一般很少出現(xiàn)機(jī)車輪緣緊貼軌道的情況；在中等半徑曲線線路上,內(nèi)外輪滾動半徑差難以適應(yīng)內(nèi)外軌長度差,輪軌間的蠕滑力較大,當(dāng)軌道存在橫向不平順對輪對的激擾時,可能出現(xiàn)間斷的輪緣緊貼現(xiàn)象；在小半徑曲線線路上,輪軌間的蠕滑力達(dá)到極限,輪踏面與軌頭間出現(xiàn)真實(shí)的滑動,因轉(zhuǎn)向架轉(zhuǎn)向的需求,此時輪緣緊貼鋼軌運(yùn)行[4-5]。

車輛系統(tǒng)是復(fù)雜的非線性多體系統(tǒng)。由于車體、轉(zhuǎn)向架構(gòu)架和輪對等質(zhì)量體的剛度相對于懸掛系統(tǒng)的剛度大很多。故在不考慮其彈性的前提下,就可以把車輛系統(tǒng)簡化為多剛體系統(tǒng),其動力學(xué)問題可以借助多體系統(tǒng)動力學(xué)進(jìn)行分析,即整個車輛系統(tǒng)的動力學(xué)問題可以采用如下方程表達(dá)[6]

(1)

式中,M為質(zhì)量矩陣；C為阻尼矩陣；K為剛度矩陣；x為狀態(tài)向量；F為激擾力矢量。

2 列車曲線運(yùn)動力平衡方程

我國鐵路線路的構(gòu)成復(fù)雜,在這里只針對曲線線路進(jìn)行受力分析。將整列車人為分解成幾個簡單的子結(jié)構(gòu),對每個子結(jié)構(gòu)分別建模并進(jìn)行動力學(xué)分析,得到其動力特性,再根據(jù)各個子結(jié)構(gòu)間的連接條件,將各子結(jié)構(gòu)的動力特性綜合起來,得到整體結(jié)構(gòu)的動力學(xué)模型,進(jìn)而可對整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行動力學(xué)分析、計(jì)算機(jī)仿真、結(jié)構(gòu)修改及動態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)。這樣可以提高列車在混合線路上受力分析的精確性,對于列車的節(jié)能運(yùn)行和操縱優(yōu)化也有很大幫助。

2.1 輪軌接觸力平衡方程

根據(jù)參考文獻(xiàn)[7]中的輪軌受力分析圖1可知,機(jī)車通過曲線時主要依靠蠕滑導(dǎo)向。輪對沿鋼軌滾動時,輪軌接觸面之間存在相對滑動(縱向和橫向),同時存在相對轉(zhuǎn)動。這個滑動可能是微觀的(輪對處于自由滾動狀態(tài)),也可能是宏觀的(高加速牽引和緊急制動)。輪軌界面存在法向力Fn、橫向蠕滑力Ty、縱向蠕滑力Tx和自旋力矩Mn。

圖1 輪軌之間作用力分量

這幾個力分量構(gòu)成的輪軌力矢量用F(Fn,Tx,Ty,Mn)表示,其數(shù)學(xué)模型可以表示為

F(Fn,Tx,Ty,Mn)=F(P,δwr,vo,ξx,ξy,φn,gpm)

(2)

式中，P為輪載；δwr為輪軌間的壓縮量；vo為輪對滾動速度；ξx,ξy,φn分別為輪軌縱向、橫向和切向蠕滑率；gpm為輪軌幾何參數(shù)。

法向力

機(jī)車通過曲線時,主要依靠蠕滑導(dǎo)向。假設(shè)鋼軌靜止,根據(jù)文獻(xiàn)[2-4]輪軌之間的剛性蠕滑率定義如下

(3)

(4)

(5)

式中ξ1,ξ2,ξ3——分別為縱向、橫向和自旋蠕滑率；

φw——輪對側(cè)滾角；

ψw——輪對搖頭角；

yw——輪對橫向位移；

Δi——輪軌接觸點(diǎn)移動量；

ri——車輪瞬時滾動半徑；

r0——車輪滾動圓半徑；

l0——輪對質(zhì)心到車輪滾動圓橫向距離；

v——材料的泊松比。

機(jī)車通過曲線軌道時,每一瞬時輪對及軌的運(yùn)動量均已知,則通過輪軌空間動態(tài)接觸幾何關(guān)系,可以求出有關(guān)輪軌接觸幾何參數(shù),亦得到輪軌蠕滑率。根據(jù)輪軌蠕滑率,可以求出輪蠕滑力和蠕滑力矩。

2.2 牽引制動力平衡方程

在牽引力的計(jì)算中,牽引力取值一般來自車輛生產(chǎn)廠商提供的列車牽引特性曲線。在已知速度的情況下,可以利用線性插值法從牽引特性曲線上求出某點(diǎn)的牽引力。

如圖2所示,若已知A點(diǎn)和B點(diǎn)是牽引特性曲線上的兩點(diǎn),N是兩點(diǎn)之間的某一點(diǎn),運(yùn)用線性插值法,該點(diǎn)的牽引力為

(6)

若列車共有N塊制動閘瓦,每塊閘瓦壓力為K1、K2,…,KN,它們對應(yīng)的摩擦系數(shù)分別為φk1、φk2,…,φkN,制動盤平均摩擦半徑為rz,車輪半徑為R,則列車的制動力為

(7)

列車在運(yùn)行過程中會受到附加阻力的影響,主要有軸承摩擦阻力、沖擊和振動阻力、空氣阻力、曲線附加阻力。表達(dá)式為

(8)

式中，R為車輪半徑；r為車軸半徑；Qi為軸荷重；φ為軸承摩擦系數(shù)；M,mk分別為列車、車輪質(zhì)量；a、b為彈粘性相關(guān)系數(shù)；Cx為空氣阻力系數(shù)；A為列車迎風(fēng)面的面積；ρ為空氣密度；V為列車相對風(fēng)的速度；R為曲線半徑；ll,lr分別為列車、曲線長。

圖2 牽引力的差值計(jì)算

2.3 列車曲線運(yùn)行模型

目前機(jī)車車輛動力學(xué)研究多以單車為研究對象,由于在多車情況下建模和計(jì)算,難度增加,所以多車也一般只考慮3節(jié)。假設(shè)列車有N節(jié)車輛,車內(nèi)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)相同,即每節(jié)車的質(zhì)量矩陣[m]、阻尼矩陣[c]和剛度矩陣[k]相同。列車系統(tǒng)的運(yùn)動方程可以寫成[8]

(9)

式中，{pi}和{fi}分別是第i節(jié)車廂上所作用的外力和與前后列車之間的耦合力。根據(jù)(9)式,將一節(jié)車廂看做是一個積分單元。先計(jì)算第1節(jié)車廂,再計(jì)算第2節(jié)車廂,一節(jié)車廂一節(jié)車廂逐個進(jìn)行積分計(jì)算,直到計(jì)算出尾車的運(yùn)動狀態(tài),再進(jìn)入下個積分步長周期。

(10)

3 DAE修正算法

車輛系統(tǒng)工程中的多體系統(tǒng)往往是閉環(huán)系統(tǒng),并起到非定常約束的作用。按照多體理論建立的動力學(xué)方程是一組帶拉格朗日乘子的微分-代數(shù)混合方程。

目前車輛運(yùn)動力學(xué)方程求解方法分為兩類：DAE(微分代數(shù)方程)求解；ODE常微分方程求解[9,10]。多體系統(tǒng)動力學(xué)問題的求解集中采用DAE,柔性系統(tǒng)的動力學(xué)方程其形式與多剛體系統(tǒng)相同,一般采用微分-代數(shù)方程組(DAEs)[11]：

(11)

(12)

以上是微分-代數(shù)方程組(DAEs)的簡化過程,具體計(jì)算步驟如下。

(e)如果t>tend,則結(jié)束運(yùn)算,否則回到步驟(b)。

圖3 曲線上車輛動力學(xué)性能計(jì)算仿真結(jié)果

將參考文獻(xiàn)[12]的相關(guān)數(shù)據(jù)同本文的改進(jìn)算法步驟相結(jié)合。得到圖3曲線上車輛的動力學(xué)性能計(jì)算仿真結(jié)果。圖中A、B、C、D分別為不同曲率的四段曲線。由圖可見,在某個特定時刻,同一列車中處于不同線路位置的車輛的動力學(xué)性能明顯不同。這是由于不同線路的曲率半徑及外軌超高等因素不同,使受力狀態(tài)不同,其動力學(xué)性能產(chǎn)生差異。因此,改進(jìn)列車輪軌之間的耦合參數(shù),優(yōu)化列車結(jié)構(gòu),對于提高列車的曲線通過性能有很大的幫助。此外,車體重心高度的降低,對降低內(nèi)軌側(cè)輪重減載率亦是有效的。

4 結(jié)語

為了實(shí)現(xiàn)列車節(jié)能運(yùn)行速度最優(yōu)控制,需對列車在曲線上多模型運(yùn)行狀態(tài)進(jìn)行受力分析,建立精確可用的數(shù)學(xué)模型。本文采用基于柔性多體系統(tǒng)的子結(jié)構(gòu)方法建立了基于曲線運(yùn)行的列車系統(tǒng)受力模型和運(yùn)動模型,并介紹了一種新型的模型求解方法。運(yùn)用于列車結(jié)構(gòu)性能參數(shù)優(yōu)化以及列車的節(jié)能運(yùn)行研究是十分可行的。本文所談到的一些問題,都是屬于鐵路軌道專業(yè)一些最基礎(chǔ)性的參數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)問題。軌道結(jié)構(gòu)的選型、配套,軌道的強(qiáng)度和穩(wěn)定性,輪軌關(guān)系和行車安全條件都無不與這些參數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)有關(guān)。在我國鐵路干線需要提速和建設(shè)高速鐵路的今天,這些參數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)就顯得格外重要。

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