郝曉靜，李國新，李明珠，張亞粉，常曉鳳

（長安大學(xué) 信息工程學(xué)院，陜西 西安 710064）

在目標(biāo)跟蹤中，可靠而精確的目標(biāo)跟蹤是目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)設(shè)計的主要目的。而對目標(biāo)跟蹤技術(shù)的研究，在軍事以及民用領(lǐng)域中都有著十分重要的意義。對于目標(biāo)跟蹤問題的解決，不同的學(xué)者提出過不同的解決方案。在應(yīng)用卡爾曼濾波方法解決許多實際問題時，狀態(tài)方程或量測方程表現(xiàn)為非線性，那么濾波問題也表現(xiàn)為非線性。根據(jù)卡爾曼濾波方法，解決非線性濾波問題的最優(yōu)方案需要得到其系統(tǒng)方程的完整描述。然而這種精確的描述需要無盡的參數(shù)而無法進(jìn)行真正實際應(yīng)用。為此人們提出了大量次優(yōu)的近似方法[1-2]。對于非線性濾波問題的次優(yōu)近似，共有兩大途徑：1）將系統(tǒng)方程中，非線性部分線性化，對高階項采用忽略或逼近的方法；2）利用采樣的方法，對近似非線性分布和非線性函數(shù)進(jìn)行線性化近似。

1 無跡卡爾曼濾波（UKF）

UKF方法是采用采樣策略逼近非線性分布的方法。UKF方法以UT變換[3-5]為基礎(chǔ)，采用卡爾曼線性濾波框架，具體采樣形式為確定性采樣，而非粒子濾波方法[6]的隨機(jī)采樣。UKF方法采樣的粒子點（一般稱為Sigma點）的個數(shù)很少，具體個數(shù)根據(jù)所選的采樣策略而定。UKF采用的是確定性采樣，從而避免了粒子濾波方法的粒子退化問題。UT變換是UKF算法的核心和基礎(chǔ)。它是計算進(jìn)行非線性傳遞的隨機(jī)向量概率的一種方法。具體變換方法可用圖1解釋。

圖1 UT變換原理Fig.1 UT transform principle

UT變換的思想是：在確保采樣均值和協(xié)方差為x和Px的前提下，選擇一組點集（Sigma點集），將非線性變換應(yīng)用于采樣的每個Sigma點，得到非線性轉(zhuǎn)換后的點集y和Py是變換后Sigma點集的統(tǒng)計量。

UT變換算法框架[7-8]如下：

1）根據(jù)輸入變量x的統(tǒng)計量x和 Px，選擇一種 Sigma點采樣策略，得到輸入變量的 Sigma 點集{χi}，i=1，…，2n+1，以及對應(yīng)的權(quán)值Wmi和Wci。其中：2n+1為所采用的采樣策略的采樣Sigma點個數(shù)，Wmi為均值加權(quán)所用權(quán)值，Wci為協(xié)方差加權(quán)所用權(quán)值。如果不采用比例修正，則Wmi=Wci=Wi。

2）對所采樣的輸入變量Sigma點集{χi}中的每個 Sigma點進(jìn)行f（·）非線性變換，得到變換后的Sigma點集{yi}。

3）對變換后的Sigma點集{yi}進(jìn)行加權(quán)處理，從而得到輸出變量y的統(tǒng)計量y和Py，具體的權(quán)值仍然依據(jù)對輸入變量x進(jìn)行采樣的各個Sigma點的對應(yīng)權(quán)值Wmi和Wci。

在對稱采樣中，由2n+1個對稱點來近似估計均值為x和協(xié)方差為Px。其中滿足要求的附帶相應(yīng)權(quán)值的采樣點，由下式確定：

其中κ是一調(diào)節(jié)參數(shù)，用來控制每個點到均值的距離，僅影響二階之后的高階矩帶來的偏差；是矩陣（n+κ）Px平方根的第i列，可以利用喬勒斯基分解進(jìn)行計算。若Px的矩陣平方根為A，可表示為Px=ATA的形式，則采樣點為A的行向量，若Px=AAT，則采樣點為A的列向量。Wi是與第i個Sigma點相應(yīng)的權(quán)值。且有：

隨著系統(tǒng)維數(shù)的增加，Sigma點到中心x的距離越來越遠(yuǎn)，會產(chǎn)生采樣的非局部效應(yīng)，對于許多非線性函數(shù)會產(chǎn)生一些問題，如κ為負(fù)數(shù)會導(dǎo)致方差矩陣的非正定。比例采樣，可有效地解決采樣非局部效應(yīng)問題，并可適用于修正多種采樣策略。比例采樣修正算法如下：

式中：α為正值的比例縮放因子，可通過調(diào)整α的取值來調(diào)節(jié)Sigma點與的距離；β為引入f（·）高階項信息的參數(shù)，當(dāng)不使用高階項信息時，β=2。

將比例修正算法應(yīng)用于對稱采樣中，得到比例對稱采樣方法。具體的Sigma點采樣公式為：

其中 λ=α2（n+κ）-n 是調(diào)節(jié)參數(shù)，控制 Sigma 點與均值的距離。參數(shù)確定的一般取值的范圍：α決定了采樣點x在附近的分布程度，通常取值的范圍是10-4≤α≤1；參數(shù)β用來描述x的分布新息，對于正態(tài)高斯分布情況，β=2是最有效的；而κ是一個比例參數(shù)，通常設(shè)置為0或3-n。

綜上所述，UT變換是將輸入變量的統(tǒng)計特性通過非線性系統(tǒng)傳播。傳播后的均值和協(xié)方差矩陣是狀態(tài)方程真實統(tǒng)計特性的更好逼近，它的計算精度比線性化近似有了很大的提高。由十在計算過程中，它無需進(jìn)行雅克比矩陣計算，因而實現(xiàn)起來更加簡便快捷。

UKF不必線性化非線性狀態(tài)方程或量測方程，它直接利用非線性狀態(tài)方程來估算狀態(tài)向量的概率密度函數(shù)。UKF規(guī)定一組確定的采樣點，當(dāng)狀態(tài)向量的概率密度函數(shù)是高斯型的，利用這組采樣點能獲取高斯密度函數(shù)的均值和協(xié)方差。當(dāng)高斯型狀態(tài)向量經(jīng)非線性系統(tǒng)進(jìn)行傳遞時，對任何一種非線性系統(tǒng)，利用這組采樣點能獲取精確到二階矩的后驗均值和協(xié)方差。

設(shè) x 是 nx維隨機(jī)向量，f：Rnx→Rnx：是非線性函數(shù) y=g（x），假定x的均值和協(xié)方差分別是x和Px，利用UT方法計算y的一、二階矩的步驟[7]如下：

1）計算2n+1個采樣點 χi及相應(yīng)的權(quán)值Wmi和Wci。

2）通過非線性方程傳遞采樣點。

3）估算y的均值和協(xié)方差。

在UKF算法中，當(dāng)需要對噪聲進(jìn)行估計時，需要對狀態(tài)進(jìn)行擴(kuò)維處理。假定在時刻k，狀態(tài)估計和協(xié)方差分別為x^k/k，Pk/k，狀態(tài)方程和量測方程分別為：

狀態(tài)初始條件為：

狀態(tài)的初始條件擴(kuò)維：

當(dāng)不要求對噪聲進(jìn)行估計時，即不需要對狀態(tài)進(jìn)行擴(kuò)維時就可以得到簡化UKF算法，簡化UKF算法只對狀態(tài)進(jìn)行Sigma點采樣。簡化的UKF算法的步驟如下：

1）Sigma點采樣，根據(jù)UT變換計算狀態(tài)向量矩陣

采用采樣策略，得到 k時刻狀態(tài)估計的Sigma點集{χk/k（i）}，i=1，…，2n+1和相應(yīng)的權(quán)值Wmi和Wci。其中2n+1為所采用的采樣策略的采樣Sigma點個數(shù)。Wmi和Wci的值如上所述。

2）利用狀態(tài)方程傳遞采樣點 χk+1/k（i）=f（ χk/k（i））

3）利用預(yù)測采樣點 χk+1/k（i），權(quán)值 Wmi，Wci計算預(yù)測均值x^k+1/k和協(xié)方差矩陣Pk+1/k

4）利用2）預(yù)測量測采樣點

5）預(yù)測量測值和協(xié)方差

這里，Pzz是量測向量協(xié)方差矩陣；Pxz是狀態(tài)向量與量測向量的協(xié)方差矩陣。

6）計算UKF增益，更新狀態(tài)向量和方差

分析上述過程可以看出算法過程主要有2個方面，一方面是對時間的更新另一方面是對量測的更新。該算法適用于任意非線性系統(tǒng)模型，它不需要估算雅克比矩陣，實現(xiàn)簡便。

2 仿真實驗

仿真一：目標(biāo)從（1 000 m，800 m，600 m）處飛行，以（200 m/s，250 m/s，300 m/s）的速度和（50 m/s2，30 m/s2，40 m/s2）的加速度加速飛行，仿真飛行的時間為120 s；機(jī)動頻率α為0.5；采樣周期T為1 s；過程噪聲的方差為1 600；距離、方位角、俯仰角的測量誤差分別為100，1，1；狀態(tài)向量的維數(shù)n=9；初始值的方差矩陣為 diag[1 1 1 1 1 1 1 1 1]。UKF 參數(shù)設(shè)置 α′=1，κ=0，β=2。 仿真結(jié)果如圖 2～圖 5所示。

圖2 位置的真實值和估計值Fig.2 Position real value and estimated value

圖3 速度的真實值和估計值Fig.3 Velocity real value and estimated value

圖4 加速度的真實值和估計值Fig.4 Acceleration real value and estimated value

圖5 加速度估計誤差Fig.5 Acceleration estimate error

從圖2～圖4可以看出UKF濾波算法對機(jī)動目標(biāo)的跟蹤的位置、速度有很高的精度，對加速度大概在60 s時跟蹤上機(jī)動目標(biāo)運動的加速度；圖5說明加速度的跟蹤誤差隨著時間的增加而在不斷減小，在120 s左右誤差就接近為0，因此可以得出UKF濾波算法具有很好的跟蹤效果。

仿真二：目標(biāo)從（1 000 m，800 m，600 m）處飛行，以（200 m/s，250 m/s，300 m/s）的速度勻速飛行，仿真飛行時間為 120 s，在前60 s內(nèi)做勻速運動， 在60 s到120 s以內(nèi) （38 m/s2，30 m/s2，40 m/s2）以做勻加速運動。機(jī)動頻率為0.5；采樣周期為1 s；過程噪聲的方差為1 600；距離、方位角、俯仰角的測量誤差分別為100，1，1；狀態(tài)向量的維數(shù)n=9；初始值的方差矩陣為diag[1 1 1 1 1 1 1 1 1]。UKF 參數(shù)設(shè)置 α′=1，κ=0，β=2。仿真結(jié)果如圖6～圖9所示。

圖6 位置的真實值和估計Fig.6 Position real value and estimated value

圖7 速度的真實值和估計值Fig.7 Velocity real value and estimated value

圖8 加速度的真實值和估計值Fig.8 Acceleration real value and estimated value

圖9 加速度估計誤差Fig.9 Acceleration estimate error

由圖6～8可以看出，當(dāng)機(jī)動目標(biāo)在不同的時間段內(nèi)分別作兩種運動時，UKF濾波算法對狀態(tài)向量在坐標(biāo)軸x軸方向的位置、速度同樣有很高的精度。加速度的估計值在第一段運動的過程中，大概經(jīng)過30 s就能跟蹤上機(jī)動目標(biāo)的加速度，在第二段運動的過程中，在經(jīng)過30 s左右的時間就能對機(jī)動的目標(biāo)又很好的跟蹤。圖9表明目標(biāo)在發(fā)生機(jī)動的時刻60 s左右由很大的跟蹤誤差，但經(jīng)過10左右的時間誤差就會相應(yīng)的減少。因此，可以看出機(jī)動目標(biāo)在不同時間段做不同的運動時，UKF算法對機(jī)動目標(biāo)的跟蹤同樣有很高的精度和穩(wěn)定性。

3 結(jié) 論

文中對無跡卡爾曼濾波方法進(jìn)行了分析和總結(jié)，無跡卡爾曼濾波方法能有效處理系統(tǒng)方程非線性強度大的情況，濾波精度和穩(wěn)定性也好于卡爾曼濾波方法，但要求噪聲是高斯白噪聲。并通過兩個仿真例子，對目標(biāo)跟蹤的位置、速度、加速度進(jìn)行深入分析討論。仿真結(jié)果表明無跡卡爾曼濾波算法對機(jī)動目標(biāo)的跟蹤有很高的精度和穩(wěn)定性。

[1]Maybeck P S.Stochastic models estimation and control[M].New York:Academic，1982.

[2]Jazwinski A H.Stochastic processes and filtering thery[M].New York:Academic，1970.

[3]王志剛，芮國勝，胡昊.UPF算法及其在目標(biāo)跟蹤中的應(yīng)用[J].雷達(dá)科學(xué)與技術(shù)，2005（2）:21－23.WANG Zhi-gang，RUI Guo-sheng，HU Hao.Unscented particle filter algorithm and its application to target tracking[J].Radar Science and Technology，2005（2）:21－23.

[4]Julier S J，UhlmannJ K.Unscented filtering and nonlinear estimation[J].Proceedings of the IEEE，2004，92（3）:401－422.

[5]韓春雷，陳赤聯(lián)，宋明，等.卡爾曼濾波在被動目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)中的應(yīng)用[J].電子科技，2012（4）：47－50，53.HAN Chun-lei，CHEN Chi-lian，SONG Ming，et al.Application of Kalman filter in passive target tracking[J].Electronic Science and Technology，2012（4）：47－50，53.

[6]朱志宇.粒子濾波算法及其應(yīng)用 [M].北京：科學(xué)出版社，2010.

[7]Julier S J.The scaled unscented transformation.Proc of American Control Conf[C]//Jedderson City，2002:4555－4559.

[8]Julier S J，Durrant-Whyte H F.Navigation and parameter estimation of high speed road vehicles[C]//In Robotics and Automation Conference，1995:101－105.