焦靈俠

（西安工業(yè)大學(xué) 北方信息工程學(xué)院，陜西 西安 710032）

倒立擺系統(tǒng)是一個典型的被控對象，用于檢驗各種控制算法，其本身是一個非線性、強(qiáng)耦合、多變量、自然狀態(tài)下不穩(wěn)定的系統(tǒng)。在控制過程中能有效地反映控制過程中的許多關(guān)鍵問題如非線性問題、系統(tǒng)的魯棒性問題、隨動問題、鎮(zhèn)定問題及跟蹤問題等。倒立擺在控制理論研究中是一種較為理想的實(shí)驗裝置。倒立擺系統(tǒng)與機(jī)器人的站立和行走、通信衛(wèi)星的實(shí)時穩(wěn)定等有很大的相似性，對倒立擺系統(tǒng)的研究具有重要的理論和實(shí)際意義。

1 二級倒立擺系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立

在忽略了空氣阻力和各種摩擦，并認(rèn)為擺桿為剛體。二級倒立擺[1]示意圖如圖1所示。

圖1 二級倒立擺示意圖Fig.1 Two-stage pendulum schematic diagram

系統(tǒng)的動能：

倒立擺參數(shù)定義如下：

m1擺桿1的質(zhì)量 0.05 kg

m2擺桿2的質(zhì)量 0.13 kg

m3擺桿3的質(zhì)量 0.236 kg

M小車質(zhì)量 0.584 kg

g重力加速度 9.8 m/s2

l1擺桿1中心到轉(zhuǎn)動中心的距離 0.077 5 m

l2擺桿2中心到轉(zhuǎn)動中心的距離 0.25 m

F作用在系統(tǒng)上的外力 N

θ1擺桿1與豎直方向的夾角 rad

θ2擺桿1與豎直方向的夾角 rad

其中T為系統(tǒng)的動能，V為系統(tǒng)的勢能，L為拉格朗日算子，q為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)。i=1，2，3…，fi為系統(tǒng)在第i個廣義坐標(biāo)上的外力。在二級倒立擺系統(tǒng)中，系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)有3個，分別為 x，θ1，θ2。

其中 TM，Tm1，Tm2，Tm3分別為小車的動能， 擺桿 1的動能，擺桿2的動能和質(zhì)量塊的動能。

擺桿1的動能：Tm1=T′m1+T′m2

其中T′m1，T′m2分別為擺桿1的平動動能和轉(zhuǎn)動動能。

擺桿2的動能：Tm2=T′m1+T″m2

其中T′m2，T′m2分別為擺桿2的平動動能和轉(zhuǎn)動動能。

系統(tǒng)的動能為：

系統(tǒng)的勢能為：

由于系統(tǒng)在θ1，θ2廣義坐標(biāo)下沒有外力作用，所以由拉格朗日方程得：

將其在平衡位置附近進(jìn)行泰勒級數(shù)展開，并線性化，代入?yún)?shù)值：

則系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：

2 倒立擺系統(tǒng)模糊控制器的設(shè)計

采用的控制思想是將一個復(fù)雜的多輸入/單輸出的模糊控制器，分解成簡單的多輸入/單輸出的模糊控制器[2]。控制器的輸入為控制變量與給定值的偏差和偏差的變化，該方法能夠較嚴(yán)格的反映控制系統(tǒng)中輸出變量的動態(tài)特性，且控制方法簡單，控制時能及時發(fā)現(xiàn)問題，對分別控制小車和擺桿有很大作用。

2.1 模糊控制器的降維

若輸入變量采用常規(guī)的控制變量與給定值的偏差和偏差的變化，模糊控制器輸入就有6個，每個變量定義6個模糊子集，模糊控制規(guī)則最多有66個，不利于規(guī)則的完整制定，將引起“規(guī)則爆炸”問題，所以需要對輸入變量進(jìn)行降維。

本章是用模糊控制和最優(yōu)控制相結(jié)合的方法來實(shí)現(xiàn)模糊控制器的降維，使其變成二維模糊控制器[5]。把小車的位移、上擺的擺角、下擺的擺角綜合成一個變量E，將小車的速度、上擺的角速度、下擺的角速度綜合成另一個變量EC，E和EC作為模糊控制器的輸入，電機(jī)輸出的控制力u作為輸出，由此可以設(shè)計一個二維模糊控制器。

首先利用最優(yōu)控制中的線性二次型最優(yōu)調(diào)節(jié)器控制原理求得最佳狀態(tài)反饋控制向量的矩陣，即反饋矩陣K：

系統(tǒng)的狀態(tài)向量為：

對于二級倒立擺系統(tǒng)，上擺桿即擺桿2的控制難度最大，分別選擇 θ2、θ˙2為控制主元，對應(yīng)的系數(shù)記為：kθ=kθ2，kθ˙=kθ˙2

融合函數(shù)的輸出向量記為：

融合函數(shù)的輸出方程為：

通過把多個輸入變量降維，得到了綜合誤差E和綜合誤差率EC：

通過信息融合的方法，將二級倒立擺系統(tǒng)的6個輸入變量化為2個輸入變量，減少了模糊控制器的輸入，實(shí)現(xiàn)了控制器的降維。

根據(jù)二級倒立擺模型的參數(shù)，基于MATLAB強(qiáng)大的矩陣運(yùn)算功能[3]，可以利用命令 K=lqr（A，B，Q，R），得到反饋矩陣K：

由此得到綜合誤差E和綜合誤差變化率EC。

2.2 模糊控制器的設(shè)計

1）確定輸入變量和輸出變量

E和EC作為輸入變量，u作為輸出變量

2）E、EC、u 隸屬度函數(shù)的設(shè)計

圖2 E和EC隸屬度函數(shù)曲線Fig.2 Membership function curves of E and EC

圖3 u的隸屬度函數(shù)曲線Fig.3 Membership function curves of u

3）模糊推理

采用Mamdani最小運(yùn)算規(guī)則。

4）模糊控制規(guī)則

根據(jù)輸入/輸出論域上的模糊語言變量劃分NB（負(fù)大），NM（負(fù)中），NS（負(fù)?。?，ZO（零），PS（正?。琍M（正中），PB（正大），設(shè)計模糊推理規(guī)則如表1所示。

表1 模糊控制規(guī)則Tab.1 Rules of fuzzy control

5）解模糊

重心法。

3 仿 真

二級倒立擺系統(tǒng)Simulink仿真模型如圖4所示。

圖4 二級倒立擺系統(tǒng)simulink仿真模型Fig.4 Simulation model of two-stage pendulum

二級倒立擺系統(tǒng)仿真曲線如圖5所示。

圖5 二級倒立擺系統(tǒng)仿真曲線Fig.5 Simulation curve of two-stage pendulum

4 結(jié) 論

通過設(shè)計融合函數(shù)實(shí)現(xiàn)了二級倒立擺模糊控制器的降維，成功解決了模糊“規(guī)則爆炸”問題。同時建立了二級倒立擺系統(tǒng)仿真模型，仿真效果較好。

最優(yōu)控制與模糊控制相結(jié)合的方法可以實(shí)現(xiàn)二級倒立擺的模糊控制，控制效果良好，結(jié)果表明模糊控制能夠使倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定且具有一定的抗干擾性能。

[1]李洪興，王加銀，苗志宏.模糊控制系統(tǒng)的建模[J].中國科學(xué)（A輯）2002，32（9）：772-781.LI Hong-xing，WANG Jia-yin，MIAO Zhi-hong.Modeling of fuzzy control system[J].Science in China （Series A） 2002，32（9）:772-781.

[2]阮治明.二級倒立擺系統(tǒng)的最佳控制[J].兵工自動化，2006，25（1）:60-63.RUAN Zhi-ming.Optimalcontrolofdouble inverted pendulum system[J].Ordnance Industry Automation，2006，25（1）:60-63.

[3]瞿亮.基于MATLAB的控制系統(tǒng)計算機(jī)仿真[M].北京:北方交通大學(xué)出版社，1998.

[4]席愛民.模糊控制技術(shù)[M].西安:西安電子科技大學(xué)出版社，2008.

[5]王仲民，孫建軍，岳宏.基于LQR的倒立擺最優(yōu)控制系統(tǒng)研究[J].工業(yè)儀表與自動化裝置，2005（3）:6-9.WANG Zhong-min，SUN Jian-jun，YUE Hong.Based on the LQR optimalcontrolofinverted pendulum system[J].Industrial Instrumentation&Automation，2005（3）:6-9.

[6]唐新宇.倒擺問題的研究及控制器設(shè)計[J].天津工業(yè)大學(xué)，2003，19（4）:65-67.TANG Xin-yu.Stady of the inverted pendulum problem and designing of the controller[J].Tianjin Industrial University，2003，19（4）:65-67.