李 艷，劉肖凡，黃永超

(武漢工業(yè)學(xué)院土木工程與建筑學(xué)院，湖北武漢430023)

在結(jié)構(gòu)可靠度計算過程中，需要建立大量的概率統(tǒng)計模型以及優(yōu)化相關(guān)的算法。這一系列算法的實(shí)現(xiàn)可以通過一些基礎(chǔ)的計算編程語言如Fortran和C語言來完成。然而要想通過這一方法來得到較為準(zhǔn)確的計算結(jié)果，則必需要熟練掌握這兩門編程語言，這一點(diǎn)對廣大的非計算機(jī)專業(yè)人員來說具有較大的難度。除此之外，目前市面上無可靠度計算的專用軟件，因此要解決這一計算難題必需求助于功能強(qiáng)、效率高、綜合性較強(qiáng)的計算軟件。美國Math Works公司推出的Matlab軟件語法簡單、用戶界面友善、矩陣運(yùn)算功能強(qiáng)大，其已經(jīng)成為數(shù)值分析計算、數(shù)值仿真、信號處理等高級課程的基本運(yùn)算工具［1］。在可靠度指標(biāo)優(yōu)化計算過程中需要建立大量與概率、統(tǒng)計和最優(yōu)化方法相關(guān)的數(shù)值計算方法在Matlab環(huán)境中均可很容易實(shí)現(xiàn)。

1 從一次二階矩到最優(yōu)化方法

可靠度指標(biāo)的常用計算方法有一次二階矩法、蒙特卡羅法和響應(yīng)面法［2］。本文從獨(dú)立正態(tài)分布變量在極限狀態(tài)方程為線性時可靠度指標(biāo)β的幾何涵義出發(fā)，運(yùn)用最優(yōu)化原理，提出了不求導(dǎo)數(shù)的最優(yōu)化分析方法。在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)坐標(biāo)系中可靠度指標(biāo)的幾何圖解如圖1所示。

圖1(a)為二維坐標(biāo)系中標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)坐標(biāo)系中可靠度指標(biāo)β的幾何圖解。假設(shè)R和S是相互獨(dú)立并且服從正態(tài)分布的變量，其極限狀態(tài)方程如下：

Z=R-S=0.

圖1 在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)坐標(biāo)系中可靠度指標(biāo)的幾何圖解

其中，μR、σR、μS、σS分別為R和S的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。由式(1)對這一簡單的原坐標(biāo)系進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，可知(直線距離)，其中點(diǎn)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)坐標(biāo)系的原點(diǎn)，(μR、μS)是在原坐標(biāo)系中的變量均值點(diǎn)，設(shè)計驗(yàn)算點(diǎn)為P*并滿足極限狀態(tài)方程［3］：

在極限狀態(tài)方程具有多個正態(tài)變量的條件下，變量如下：

同理對其進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化的處理如下：

標(biāo)準(zhǔn)化處理結(jié)果為：

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)坐標(biāo)系下，可靠度指標(biāo)等于原點(diǎn)到極限狀態(tài)面的最小距離：

圖1(b)所示為三個變量的情況。

可靠度指標(biāo)的最優(yōu)化問題無論在什么樣的前提下均可轉(zhuǎn)換成原點(diǎn)到極限狀態(tài)曲面最短距離的問題。且這一過程可以方便又快捷的在Matlab中實(shí)現(xiàn)。

2 優(yōu)化方法求可靠度指標(biāo)數(shù)學(xué)模型的建立

首先，設(shè)n個影響結(jié)構(gòu)的可靠度服從任意分布的獨(dú)立隨機(jī)變量，并假設(shè)該極限狀態(tài)函數(shù)為：

利用笛卡爾隨機(jī)空間內(nèi)一次二階矩理論常用處理辦法，先通過拉克維茨—菲斯萊法(簡稱R—F法)或根據(jù)變量特性確定的其他方法將非正態(tài)變量正態(tài)化。前者的基本假設(shè)是正態(tài)化處理后的當(dāng)量正態(tài)分布滿足如下條件：在設(shè)計驗(yàn)算點(diǎn)的概率分布函數(shù)值以及概率密度函數(shù)值分別等于原隨機(jī)變量在處所對應(yīng)的概率分布函數(shù)值和概率密度函數(shù)值［4］。如圖2所示。

圖2

通過上述對當(dāng)量的正態(tài)化處理即可得到相應(yīng)的等效分布的均值和標(biāo)準(zhǔn)差：

由于驗(yàn)算點(diǎn)的未知性，只能通過對可靠度指標(biāo)的優(yōu)化處理才能確定。先設(shè)β為極限狀態(tài)曲面上點(diǎn)P(X1…Xn)的函數(shù)，再求得β在該區(qū)域的最小值，從而驗(yàn)算點(diǎn)和可靠度指標(biāo)的值均可得出［5］。于是，求式(6)的最小值可轉(zhuǎn)化為求下式的最小值：

因此可以得出如下優(yōu)化數(shù)學(xué)模型：

從式(5)中可得出通過拉克維茨—菲斯萊法正態(tài)化后的均值和標(biāo)準(zhǔn)差對于不同的分布有不同的簡化方式，具體如下。

(1)正態(tài)分布

(2)對數(shù)正態(tài)分布

由于極限狀態(tài)函數(shù)中的一個變量可以由其他變量來表示：

于是約束優(yōu)化問題式(7)可轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題：

程序框圖如圖(3)所示。

圖3 程序框圖

3 優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的Matlab實(shí)現(xiàn)

3.1 約束優(yōu)化法

該問題可靠度指標(biāo)的求解可歸結(jié)為如下約束優(yōu)化數(shù)學(xué)模型［6］：

MATLAB程序如下。

global Mu Sigma

Mu=［102.520000000.008］，Sigma=［0.405000000.0015］

X0=［4.5］

A=［］，b=［］，Aeq=［］，beq=［］，lb=［］，ub=［］

［X，fval，exitflag ，output］=fmincon(@bata2，A，b，X0，Aeq，beq，lb，ub，@st)

bata=sqrt(fval

Pf=cdf(‘norm’，-bata，0，1)

Function CC=bata2(X)

global Mu Sigma

CC=((X(1)-Mu(1))/Sigma(1))^2+((X(2)-Mu(2))/Sigma(2))^2+((X(3)-Mu(3))/Sigma(3))^2+((X(4)-Mu(4))/Sigma(4)^2 function［c，ceq］=st(X)

c=［］

ceq=X(2)/360-0.0069*X(1)*X(2)^4/X(3)*X(4

程序中要說明的是：(1)將global函數(shù)中的變量Mu，Sigma設(shè)為全局變量;(2)初始迭代點(diǎn)為均值;(3)必須將目標(biāo)函數(shù)(β2)寫入bata2.m子函數(shù)［7］。計算結(jié)果見表1。

3.2 無約束優(yōu)化法

無約束優(yōu)化法求解可靠度指標(biāo)需建立如下約束優(yōu)化數(shù)學(xué)模型：

取消約束條件子函數(shù)如下：

global Mu Sigma

Mu=［102.520000000.008］，Sigma=［0.405000000.0015］

X0=［4.5］

［X，fval，exitflag，output］ =fminsearch(@bata2w，X0)

bata=sqrt(fval);

Pf=cdf('norm'，-bata，0，1);

X1=X3*X4/(2.484X2.^3);

Function CC=bata2w(X);

global Mu Sigma

X1=X3*X4/(2.484X2.^3)

CC=((X(1)-Mu(1))/Sigma(1))^2+((X(2)-Mu(2))/Sigma(2))^2+((X(3)-Mu(3))/Sigma(3))^2+((X(4)-Mu(4))/Sigma(4)^2;

計算結(jié)果如表1。

表1 計算結(jié)果

由表1可知，約束優(yōu)化法和無約束優(yōu)化法計算結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)，兩者計算結(jié)果精度接近。

4 結(jié)論

最優(yōu)化計算方法不用求任何函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即可直接求得結(jié)構(gòu)可靠度指標(biāo)，該方法易于編制計算程序，計算結(jié)果精度高，通用性好，比較適用于巖土工程可靠度問題的分析［8］。而采用Matlab語言進(jìn)行結(jié)構(gòu)可靠度的數(shù)值計算，可充分發(fā)揮利用矩陣運(yùn)算功能及各種工具箱的快速和便捷，大大提高編程和計算的效率。這將對結(jié)構(gòu)可靠度理論的研究起到積極推進(jìn)作用。

［1］ 張亮，趙娜.用MATLAB實(shí)現(xiàn)JC法計算結(jié)構(gòu)可靠度程序［J］.電腦知識與科技，2009(10).

［2］ 貢金鑫.工程結(jié)構(gòu)可靠度計算方法［M］.大連：大連理工大學(xué)出版社，2003(9).

［3］ 冷伍明.基礎(chǔ)工程可靠度分析與設(shè)計理論［M］.長沙：中南大學(xué)出版社，2000(4).

［4］ 趙國藩，金偉良，貢金鑫.結(jié)構(gòu)可靠度理論［M］.北京：中國建筑工業(yè)出版社，2000.

［5］ 李志華，張光海，康海貴.基于Matlab優(yōu)化工具箱的工程結(jié)構(gòu)可靠度計算［J］.四川建筑科學(xué)研究，2005(6).

［6］ 石博強(qiáng)，趙金.MATLAB數(shù)學(xué)計算與工程分析范例教程［M］.北京：中國鐵道出版社，2005(5).

［7］ 徐華，朝澤剛，劉勇.用MATLAB實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)可靠度計算［J］.科協(xié)論壇，2009.

［8］ 陸舟.可靠度指標(biāo)優(yōu)化計算法在巖土工程可靠度研究中的應(yīng)用［J］.巖土工程界，2004(1).