秦偉， 范瑜， 馬育華， 呂剛， 李碩， 朱熙， 劉國瑞

(1．北京交通大學電氣工程學院，北京100044;2．中國煤炭科工集團太原研究院，山西 太原030006;3．山西運城供電分公司，山西運城044000)

0 引言

美國勞倫斯伯克利國家實驗室的Halbach教授提出了Halbach永磁陣列的概念，并在20世紀90年代被國內(nèi)外研究機構相繼成功應用于新一代的粒子加速器、自由電子激光裝置、同步輻射裝置等高能物理領域中［1］。

國內(nèi)外的專家學者提出將Halbach永磁陣列應用在磁懸浮電機中［1-3］，由于磁懸浮電機無機械接觸，具有無污染，噪聲小，容易維護，可靠性高的優(yōu)點，在交通運輸，特種電機，機器人，金屬加工等很多場合得到了應用。

盤式永磁Halbach懸浮裝置通過軸向運動的永磁體與導體板產(chǎn)生相對運動，在導體板中感應出渦流，渦流磁場與永磁體相互作用實現(xiàn)懸浮和導向。相對于電磁式的磁懸浮更有獨到之處，即結構簡單，懸浮氣隙大，造價低，同時并不需要復雜的閉環(huán)控制，因此將是磁懸浮發(fā)展的重要方向［4-5］。

從導體板渦流分布的研究出發(fā)，在總結前人相關研究成果的基礎上，完全使用解析方法，通過數(shù)學推導和分析，建立懸浮裝置的分環(huán)電磁模型。采用行波磁場理論方法進行磁場分布求解，得出懸浮裝置電磁部分的磁場表達式。對于橫向邊緣效應，將次級導體板的電導率進行修正;進而得出考量懸浮質量的懸浮力的表達式和水平轉矩的表達式;通過有限元計算和樣機實驗來驗證解析方法的正確性。

1 DHPMD的電磁模型

1.1 模型電機的分環(huán)電磁模型

圖1為盤式永磁Halbch懸浮裝置示意圖。

圖1 盤式永磁Halbach懸浮裝置Fig．1 DHPMD machines

由于盤式Halbach陣列主要參數(shù)隨半徑變化，采用平均直徑法計算會造成較大誤差［6］。因此本文建立基于分環(huán)計算方法的電磁模型，將盤式Halbach陣列沿徑向等分為如圖2(a)所示的n個環(huán)，將每個環(huán)沿徑向剖開拉直，如圖2(b)所示。將氣隙磁場的徑向分布轉化為橫向分布，各條狀結構的主要參數(shù)分別與極距相關聯(lián)，采用各環(huán)的平均極距計算;假設Halbach陣列縱向長度無窮大，以避免模型縱向開斷對計算結果造成影響。這樣就得到一組長度、寬度、高度一致的窄長直線電機結構。

圖2 盤式Halbach陣列分環(huán)示意圖Fig．2 Sub-loop model of ring arranged Halbach PMs

1.2 電機電磁場分析

為了計算電機的磁場和力特性，首先對模型作一下假設［6-7］:

1)氣隙磁場強度沿z軸是恒定的值;

2)永磁體沿x軸運動，導體板中的感應電流只有z軸分量;

3)各層的物理參數(shù)是均勻的，各向同性的。

基于以上假設建立如圖3所示的坐標系。圖3為任意一環(huán)沿徑向切開拉直后的展開圖，區(qū)域1為Halbach永磁體區(qū)域，區(qū)域4為次級導體，采用鋁材料，區(qū)域2，區(qū)域3和區(qū)域5均為氣隙。假設懸浮裝置結構對稱，在運動方向上閉合，故不存在類似直線電機的縱向邊端效應問題，但由于受極距影響的各電磁場量隨半徑增大變化明顯，橫向邊端效應的影響較為突出，在氣隙較大時會造成10%以上的誤差，橫向邊緣效應導致的結果是損耗的增加，較好的方法是修正次級導電率和阻抗［7］。經(jīng)過修正的次級電導率σ'=kALσ，其中，σ為導體板實際電導率，kAL為修正系數(shù)，kAL=1-tanh(ka)/{ka［1+tanh(ka)tanh(kl-ka)］}，k=π/τ，τ為極距，a 為初級永磁體寬度的1/2，l為次級導體板寬度的1/2。

圖3 側面展開圖與求解坐標系Fig．3 Side elevation and coordinate system

a)Halbach陣列磁場分析

永磁體和導體板之間的相對速度v=0時，在導體板中不能感應出渦流，可以認為導體板的相對磁導率與空氣近似相等，則圖3中區(qū)域3，區(qū)域4，區(qū)域5可認為是一個氣隙區(qū)域，此時圖3中求解區(qū)域可等效為如圖4所示的求解坐標系。

圖4 v=0時的求解坐標系Fig．4 Coordinate system at v=0

將間斷的永磁體等效成一個連續(xù)的永磁體面，對于每一塊永磁體［6，8］有

B= μ0(H+M)=μ0(μ'rH+M0)。

式中:B為磁感應強度;H為磁場強度;μ0為真空中的磁導率;μ'r為永磁體的相對磁導率;M0為剩余磁化強度，為常數(shù)，其表達式為

式中Brem為剩余磁感應強度。

根據(jù)拉普拉斯變化，可得到等效之后的連續(xù)永磁體沿y軸方向的剩余磁化強度My，沿x軸方向的剩余磁化強度Mx，即

My=-4M0/(qπ)sin(qπ/τ)，

Mx=i8M0/(qπ)sin［qπa/(2τ)］sin［qπ(a+2b)/(2τ })］。

式中:a為沿x軸方向充磁永磁體寬度的1/2;b為沿y軸方向充磁永磁體寬度的1/2;q為奇數(shù)。

圖4中各區(qū)域的磁矢量函數(shù)Az如式(3)～式(5)所示。

區(qū)域1 (永磁體)的磁矢量函數(shù)為

由式(13)，式(14)和有限元計算可以得到不同氣隙下的磁場分布，如圖5和圖6所示。

圖5 氣隙為0，3，10 mm時Halbach陣列磁力線分布圖Fig．5 2－d flux distribution of Halbach array when air-gap are 0，5，10 mm

圖6 永磁體厚度為5，10，20 mm時Halbach陣列磁力線分布圖Fig．6 2-d flux distribution of Halbach array when thickness are 5，10，20 mm

整理和對比解析計算和有限元計算的結果可以得到如下結論:1)從圖5中可以看出，解析法和有限元法兩種方法擬合得較好，證明本文的解析方法是有效的，正確的;2)從圖6中可以看出，隨著永磁體厚度的增加氣隙磁場逐漸增大，并且隨著厚度的增加磁場的增加量逐漸減少，因此要選擇合適的永磁體厚度。

b)電機的磁場和動態(tài)特性分析

當永磁體和導體板的相對速度v≠0時，在導體板中將感應出渦流，永磁體與渦流磁場相互作用產(chǎn)生懸浮力和轉矩。圖3中各區(qū)域的磁矢量函數(shù)Az［9-15］如式(15) ～ 式(19)所示。

2 實驗驗證與理論計算

2.1 懸浮力特性

樣機次級導體板固定，其懸浮力Flift可采用麥克斯韋張量定理計算［16］，即

根據(jù)磁場分布的解析表達式和式(29)可以求得懸浮力Flift與永磁體轉速、厚度，以及氣隙長度等參數(shù)之間的關系。

圖7為永磁體厚度為10 mm，不同氣隙條件下，懸浮力隨永磁體速度變化的情況，從圖7中可以看出，隨著轉速的增加懸浮力逐漸增加，但隨著轉速上升至15 r/s左右之后，懸浮力隨永磁體轉速的增加變化并不明顯，故該裝置在應用中應綜合考慮，選擇合適的速度范圍。

圖8為在轉速為50 r/s，氣隙長度為10 mm條件下，懸浮力和永磁體厚度的關系。由圖8可知，懸浮力隨永磁體厚度的增長逐漸上升，但當永磁體厚度增加到0．02 m后懸浮力將趨于飽和，這是由于隨著永磁體厚度增加到一定程度，導體板的損耗增加，因此要選擇合適的永磁體厚度。

圖7 懸浮力與速度關系曲線Fig．7 Curve between lift force and velocity

圖8 懸浮力與永磁體厚度關系曲線Fig．8 Curve between lift force and thickness of PMs

圖9為在其他參數(shù)不變的情況下，懸浮力和重力之比與永磁體厚度的關系，隨著永磁體厚度的增加懸浮增加，但是永磁體的重量也在增加。由圖9可知，在其他參數(shù)不變的情況下，懸浮力和永磁體重力之比在永磁體厚度為0．008～0．01 m時達到最大，因此永磁體最佳厚度為0．008～0．01 m。

圖9 懸浮力和永磁體重力之比與永磁體厚度的關系Fig．9 Curve between lift force divided by permanent weight force and thickness of PMs

圖10為在轉速為50 r/s，永磁體厚度為10 mm條件下，懸浮力隨氣隙長度變化的情況(圖中點劃曲線為理論計算結果，▽表示有限元計算結果，o表示實驗測得的結果經(jīng)過數(shù)據(jù)處理后得到的平均值)。由于拉/壓力傳感器在低量程范圍內(nèi)及被檢測力在拉力、壓力間轉換時存在一定的誤差，會使測量值偏小;計算過程中忽略了高次諧波等次要因素的影響，會使計算值小于實際值，實驗測量結果和計算結果存在一定的差距，但三者變化趨勢相同。

圖10 懸浮力與氣隙長度關系曲線Fig．10 Curve between lift force and air-gap length

2.2 轉矩特性

本文提出的懸浮裝置在產(chǎn)生豎直方向上的懸浮力的同時也存在水平轉矩，水平轉矩會造成懸浮裝置和搭載車輛的連接部位產(chǎn)生機械扭力，危害連接處的可靠性。所以水平轉矩在懸浮裝置中是危害裝置結構和運行穩(wěn)定的無用力，應采取措施予以限制。在實際應用中，可以成對使用氣隙磁場互為反向轉動的裝置，產(chǎn)生大小相等，方向相反的轉矩來抵消初級水平轉矩對搭載車輛的影響，但這也需要對裝置的水平轉矩準確估算和控制。圖11為在永磁體厚度為10 mm，不同氣隙長度條件下，懸浮力隨永磁體速度變化的情況。由圖11可知，裝置的水平轉矩特性曲線形式與柱狀感應電機類似，可通過對次級優(yōu)化設計來改變次級電阻，選擇合適的工作點，使相同懸浮力條件下的水平轉矩最小。

圖11 不同氣隙長度下水平轉矩與轉速關系曲線Fig．11 Curve between torque and velocity of the different air-gap length

圖12為在氣隙長度為10 mm，轉速為50 r/s條件下，水平轉矩與永磁體厚度的關系。由圖12可知，水平轉矩也隨永磁體厚度增大而逐漸增加，說明永磁體厚度對懸浮力和水平轉矩的貢獻方式是相同的［16］。

圖12 水平轉矩與永磁體厚度關系曲線Fig．12 Curve between torque and and thickness of PMs

3 結論

本文采用完全解析法建立數(shù)學模型，通過Ansoft有限元軟件建立有限元模型，計算盤式永磁Halbach懸浮裝置的磁場和力特性結果，并通過樣機實驗對計算結果進行了驗證，主要結論為:

1)本文采用完全解析法構造的分環(huán)電磁模型考慮了懸浮裝置各參數(shù)隨半徑變化的因素，對懸浮裝置的力特性和轉矩進行了分析計算，解析計算結果與有限元計算、實驗結果基本吻合。

2)隨著永磁體厚度和Halbach永磁體結構電動機的氣隙磁場的逐漸增加，懸浮力、轉矩增加較快，水平轉矩的增加會造成懸浮裝置的不可靠，因此需要選擇合適的參數(shù)使懸浮裝置在穩(wěn)定懸浮的情況下盡量減少水平轉矩，其中最有效的方法是旋轉的永磁體成對使用，但運動方向相反。

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