葉球?qū)O 劉用麟

(武夷學院 數(shù)學與計算機系，福建 武夷山354300)

1 引言

文獻[1][2]提出創(chuàng)新廣義數(shù)——變進數(shù)(VCN,Variable Carrying Numbers)基本概念，標志著傳統(tǒng)數(shù)論中曾經(jīng)一直習慣而常穩(wěn)態(tài)研究的恒進數(shù) (FCN,Fixed Carrying Numbers)，可以逐步走出世人對數(shù)的研究、發(fā)展及使用已深陷停滯不前多年的困惑境界。然而，十多年來，一直少有專家學者能對VCN饒有興趣而更加深入地做繼續(xù)的研究與探索。

深感無憾的是，對VCN研究一直保持情有獨鐘的原創(chuàng)作者，仍在進行堅持不懈的努力和忠貞不渝的探究；更覺欣慰的是，2003年第10屆中國人工智能學術大會即CAAI-10后，創(chuàng)新廣義數(shù)VCN，先后分別得到學術界泰斗而世界著名數(shù)學家、CAAI指導委員會名譽主席吳文俊資深院士和人工智能 (AI,Artificial Intelligence)學專家、CAAI榮譽理事長 (原理事長)、CAAI指導委員會主席涂序彥教授等權威專家們充分肯定與熱情支持的手跡書面意見。這對VCN理論技術提出和倡導者[1]，以及此后對VCN理論技術有興趣的研究和應用者，無疑都將是一個巨大精神鼓勵。

吳文俊院士認為，葉球?qū)O所提出VCN，是創(chuàng)新而更為廣義概念上的數(shù)，有獨到觀點，這些觀點確有許多潛在科學研究及應用價值。涂序彥榮譽理事長則認為，葉所提及VCN，不僅可用于密碼通信與信息安全方面，而且可用于各種變結(jié)構、變參數(shù)、復雜系統(tǒng)建模、分析與綜合，研究開發(fā)AI新理論、新方法和新技術。

目前，在理論上，VCN定性為廣義概念上的數(shù)，其研究、發(fā)展及應用前景行將特別看好；在實用上，已形成了一些獨特問題求解新方法、新技術，并極有潛力拓展成為今后AI技術新理論及其應用研究重要技術支柱之一。本文旨在介紹VCN基本概念、理論數(shù)值計算技術及其潛在研究、發(fā)展與應用前景。

2 基本概念

2.1 數(shù)/數(shù)制

數(shù)(N,Numbers)，其研究對象基本上是用來描述客觀物質(zhì)或抽象概念量值的多與少,或物質(zhì)現(xiàn)象發(fā)生頻率的高與低[2]。如魚、水、火和聲響、城市、水災 、火燙傷等。用數(shù)來描述這些物質(zhì)、概念或物質(zhì)現(xiàn)象多少量值時，就可以這樣說：1尾魚、2噸水、3場大火、4回聲響、5個城市、6次水災、7處火燙傷，如此等等。

計數(shù)制或簡稱數(shù)制 (NDR,Numbers’Describing Rules)，就是描述物質(zhì)、概念或現(xiàn)象量值多少過程中，必須遵循某一特定換算關系的一種規(guī)則，主要有兩大類別：離散換算制(DCR,Dispersed Computation Rules)和進位換算制(CCR,Carrying Computation Rules)。人類社會發(fā)展早期，DCR中大多數(shù)采用保持標致物/標志符方法來描述物質(zhì)或現(xiàn)象量值大小的離散計數(shù)制，如用1顆小黃豆表示5只羊，1顆鷹嘴豆 (綠豆)表示10顆小黃豆(50只羊),等等；用DCR表示數(shù)稱離散數(shù)(DCN,Dispersed Computation Numbers)。但所有DCR均有著難以普及和推廣應用重大缺陷：保持標致物有困難或標志符共識有障礙，DCR因此逐漸被淘汰。于是，后來就只能在這些DCR中，不得不完全摒棄了標致物保持法而優(yōu)選了共識標志符來做不同排列組合的進位計數(shù)制CCR新方法來描述客觀物質(zhì)或現(xiàn)象量值多少,用CCR表示數(shù)稱進制數(shù)(CCN,Carrying Computation Numbers),簡稱CN或N。

2.2 數(shù)字/即位數(shù)字

數(shù)字/即位數(shù)字(Figures/Numerals)，它是構成任意進制數(shù)最基本單元代碼(共識標志符)，或說它是數(shù)制為實現(xiàn)數(shù)描述中不可或缺的砝碼,但這些最基本單元代碼或砝碼本身也有一定量值，可以描述一定量物質(zhì)。如：阿拉伯字符1,2,3…,英字母A,B,C,…等半角字符。

2.3 權值/位權值/模值

進制數(shù)中某即位數(shù)字取亞小值“1”時，其所表示量值大小數(shù)值就稱為權值(P,Power value)，簡稱為權(P,Power)；即位數(shù)字與其權值乘積稱位權值(FW,Figures’WeightValue)，簡稱位權FW；允許表示數(shù)范圍大小的值稱為模值(M,Module)，即位數(shù)字模值(FM，F(xiàn)igures’Module)是指該位所允許使用即位數(shù)字基代碼個數(shù)，或為該即位數(shù)字最大值加1；而進制數(shù)模值(NM,Numbers’Module)是指所允許使用n位進制數(shù)的數(shù)值個數(shù)或n個FM值的卷積(連乘)值，或為該進制數(shù)最大值加1。因此，一個任意位數(shù)進制數(shù)大小值可表示為其所有位權值之和(即權值展開式∑FWs)。

2.4 恒進數(shù)FCN/變進數(shù)VCN

根據(jù)數(shù)制概念，描述物質(zhì)量值大小規(guī)則應當可以是多種多樣的，即所謂特定換算關系機制可以是無窮無盡的。NDR主流是CCR，它又可分為恒進制(FCR,Fixed Carrying Rules)和變進制(VCR,Variable Carrying Rules)兩大類。在某一進制數(shù)中，相鄰位與位之間即位數(shù)字的進退變換關系總是恒守“同一”規(guī)則的，稱為FCR，采用FCR描述數(shù)稱為恒進制數(shù)，簡稱恒進數(shù)FCN。常用FCN有十進制數(shù)(D,Decimal numbers)、十六進制數(shù) (H,Hexadecimal numbers)、八進數(shù)(Q,Octonal numbers)、二進數(shù)(B,Binary numbers)等。事實上，“不變”只是相對的、短暫的，“變化”才是絕對的、永恒的。CCN規(guī)則CCR也不例外。在某CCN中，相鄰位與位之間即位數(shù)字的進退變換關系并不總是恒守 “同一”規(guī)則的，其規(guī)則有時是可以任意設定和不斷變化的，可稱其為VCR，采用VCR描述數(shù)稱為變進制數(shù)，簡稱變進數(shù)VCN。如，年份變換，并非每年(陰歷年)都是12個月，遇到閏年時便有13個月，多出1個月稱為閏月；月份變換，也并非每月都是30天，月大時有31天，月小時卻只有30天或29天(甚至每逢平年時二月只有28天)；再如表示時間的秒、分、時和天，由秒到分、以及由分到時都是60進制的，由小時到天則又是24進制的。所以，表示年份數(shù)、月份數(shù)和天數(shù)等時間長短數(shù)，其實質(zhì)上就是一些地道的VCN。

須特別指出，目前國際上數(shù)學、計算機科學及其它實際應用諸多領域里，許多對數(shù)的研究、發(fā)展及使用均已深陷停滯不前多年的困惑境界里，如，某計算機器允許使用有效數(shù)字位數(shù)(稱為數(shù)值分辨率或精度，取決于微處理器CPU字長)不夠(有限)而帶來數(shù)值計算的擾動，從而必然導致了兩個難以克服重大缺陷：1)有著嚴密定義的高頻率的正向數(shù)學運算的計算結(jié)果的誤差得到了延續(xù)不斷的放大；2)利用有著嚴密定義的高頻率的正向數(shù)學運算的結(jié)果做反向的數(shù)學逆運算時，輸出將無以復現(xiàn)輸入。其根本原因，就在于對數(shù)的應用研究，只局限于習慣勢力已久的FCN恒進計數(shù)規(guī)則FCR里，而無人問津于VCR研究與應用！他們大多數(shù)只感興趣于FCR計數(shù)制規(guī)則的FCN，或者只是選用不同F(xiàn)CR的FCN，僅此而已！如十進數(shù)D恒守“逢十進一，借一當十”同一規(guī)則；二進數(shù)B恒守“逢二進一，借一當二”同一規(guī)則；八進數(shù)Q恒守“逢八進一，借一當八”同一規(guī)則；十六進數(shù)H恒守“逢十六進一，借一當十六”同一規(guī)則；…任意(r+1)進制數(shù)N(r+1)恒守“逢(r+1)進一，借一當(r+1)”同一規(guī)則，r∈ N，N={1,2,3,… }，且 r=Max(Figures)，F(xiàn)igures 稱即位數(shù)字。

FCN中，最常用十進數(shù)D，始于中國商代(公元前17世紀～公元前11世紀)，但卻直到公元后第6世紀才推廣普及使用到世界各地[3]，至今已然長期主導并且占據(jù)著全球的數(shù)的統(tǒng)治使用地位又達1500年！這與正常人的雙手或雙腳擁有10個手指頭或腳趾頭的自然天成，有著極為密切關系。二進數(shù)B則是公元20世紀上半葉末所發(fā)明現(xiàn)代電子計算機(電腦)內(nèi)部占據(jù)統(tǒng)治使用地位的FCR中最低FM值的FCN，可謂電腦系統(tǒng)內(nèi)部世界就是二進制世界(FM=2)。

2.5 人工智能AI與智模數(shù)IFN

AI是一門新興邊緣學科[4],它已引起眾多學科日益重視,并且有越來越重要實用意義。許多具有不同專業(yè)背景科學家和工程師正在從AI這門年輕學科中發(fā)現(xiàn)諸多新思想和新方法。另外,AI也是計算機科學中智能計算機系統(tǒng)設計研究一個重要分支,它將研究：如何設計智能計算機系統(tǒng),并讓這些系統(tǒng)投入實際運行或應用中,呈現(xiàn)出與人類智能行為，如理解語言、自我學習、邏輯推理、自動定理證明和問題求解等有關特性。在過去三、四十年里,就已建立了一些AI計算機系統(tǒng)。這些系統(tǒng)運用，其實就是在計算機上通過一特定計算機程序運行，亦即吳文俊院士所稱謂腦力勞動機械化[5]辦法來實現(xiàn)。如,能求解微分方程,能與人下棋,能設計分析集成電路,會合成人類自然語言,會檢索情報,會做疾病診斷,可控制太空飛行器和水下機器人運動,可模仿人獨立行走,并機智地避開障礙物,足球機器人比賽,如此等等。

數(shù)是認識世界和描述世界量化符號，數(shù)學是研究精密計算與深入分析的工具性科學。模糊數(shù)學是研究模糊性與精密性之間如何準確定位的技術性科學，它與精密數(shù)學存在并不矛盾，均系數(shù)學研究的一個重要分支，其學術中心任務應當是：如何在模糊中求取精確(而并非在精確中求取模糊!)。在模糊數(shù)學研究過程中,大量運用了集合論、不等式、函數(shù)和域等不少理論概念及其相關處理技術，并且已有了不少模糊控制類產(chǎn)品的出現(xiàn)，如模糊空調(diào)等。VCN中數(shù)制變化是無窮無盡的，也是可以人工智能地設置的，因此VCN模糊性極強，利用VCN可以很好地架起精密數(shù)學與模糊數(shù)學相互轉(zhuǎn)換的橋梁。智能模糊變進數(shù) (AI-Fuzzy VCN)就是一種其數(shù)制變進關系規(guī)則可以人工智能地任意設置的變進數(shù)[6，12],簡稱智模數(shù)IFN。

3 進制數(shù)CCN處理技術

3.1 整型FCN特性及其計算

3.1.1 任意n位整型數(shù)FCN特性

1)等模性(SFM,Same Figures’Module):任意 i位上即位數(shù)字模FM均等,FM=FMi≡r+1;r∈N,N={1,2,3,…}

2)有界性(LFM,Limited Figures’Module):任意恒進數(shù)的即位數(shù)字模FM=FMi≡ r+1≧2;r∈N,N={1,2,3,… }

3)冪權性(DPN，Different Powers on Numbers’module):n位恒進數(shù)模 NM=(FM)n=(r+1)n;r∈N,N={1,2,3,…}

3.1.2 任意n位整型數(shù)FCN計算

設Fn-1Fn-2...F1F0為一任意n位r+1恒進數(shù)FCN。其中，r∈ N,Fn-1∈ Fn,Fn-2∈ Fn… ,F0∈ Fn，N={1,2,3,… },Fn={0,1,2,…,r}。則一個n位r+1整型FCN數(shù)值計算公式(按權值展開式)為

上式中r=Max(Figures)。顯然，n位r+1恒進整型最大數(shù)的數(shù)值計算公式為

3.2 整型VCN特性及其計算

3.2.1 任意n位整型數(shù)VCN特性

1)可 拓 性/壓 縮 性(Extensibility/Compressibility):相同數(shù)值大小的數(shù)由低進制向高進制轉(zhuǎn)換時，其數(shù)據(jù)外在表示形式可以得到壓縮，從而節(jié)約不少計算機內(nèi)使用存儲空間，因而其數(shù)據(jù)表示[7]及存儲既可拓(Extensive)[8]，也可壓(Compressible)，故其容量溢出特性也是可變的，亦可稱其為容量的變溢性(VCO,Variable Capacities of Overflowing)。如覺得 θ、1、2、3、4、5、6、7、8、9十個阿拉伯數(shù)字字符還不夠用，還可建議拓展用A、B、C、… … ，X、Y、Z 等 26 個英文字母分別表示 10、11、12、… … 、33、34、35 數(shù)值。這樣就可以得到 2～36 間任意VCN(含F(xiàn)CN：最小2進數(shù)到最大36進數(shù))。其中，用θ表示0,以示區(qū)別于O半角字母符。

2)模糊性/保密性(Fuzziness/Properties of keeping a secret):任意位上權值(或簡稱為權)為其系列相鄰低位即位數(shù)字模值FM的卷積,其外表組合排列數(shù)字的數(shù)值大小也是難以精確估算而模糊的，頗具模糊性。外在數(shù)據(jù)表示數(shù)值大小模糊性越強，其對外保密性就越好，可用于純數(shù)值加密計算技術。

3)智能性/設密性(Intellectuality/Properties of making a secret):n位VCN中相鄰位即位數(shù)字間VCR規(guī)則又是可以事先以AI技術設定的，所以VCN精確換算又是可以靈活實現(xiàn)而智能的，頗具智能性[4]。

3.2.2 任意n位整型數(shù)VCN計算

設FnFn-1…F1為一任意n位變進整型數(shù)VCN。其中，F(xiàn)n∈ Rn,Fn-1∈ Rn-1,… ,F1∈ R1;rn∈ N,rn-1∈ N,… ,r1∈ N;N={1,2,3,… },Rn={0,1,2,3,…,rn},Rn-1={0,1,2,3,… ,rn-1},R1={0,1,2,3,…,r1},則一個n位整型VCN數(shù)值計算公式(按卷積展開式)為

上式中 r=Max(Fi)，i∈ N 。

顯然,n位整型VCN最大數(shù)值計算公式為

3.3 實型VCN與FCN計算

3.3.1 實型FCN表示及計算

設RF=Fn-1Fn-2...F1F0· F-1F-2...F-m+1F-m為一任意 n位r+1恒進整型、m位r+1恒進分型的實數(shù)FCN。其中，r∈ N,Fn-1∈ Fn,Fn-2∈ Fn,… ,F-m∈ Fn,N={1,2,3,… },Fn={0,1,2,… ,r},r=Max(Fi),i∈ {-m,-m+1,-m+2,… ,n-1}。則一個n位r+1恒進整數(shù)、m位r+1恒進小數(shù)的實型FCN數(shù)值計算公式(按權值展開式)為

3.3.2 實型VCN表示及計算

設RV=FnFn-1...F1· F-1F-2...F-m為一任意n位ri+1變進整型、m位ri+1變進分型的實數(shù)VCN。其中，ri∈N,Fn∈ Rn,Fn-1∈ Rn-1,… ,F-m∈ R-m,N={1,2,3,… },Ri={0,1,2,… ,ri},ri=Max(Fi),i∈ {-m,-m+1,… ,n-1,n}。則一個 n 位 ri+1變進整數(shù)、m位ri+1變進小數(shù)的實型VCN數(shù)值計算公式(按權值展開式)為

3.4 變進數(shù)VCN與恒進數(shù)FCN相互轉(zhuǎn)換

從FCN與VCN數(shù)值計算公式可以看出，當取VCN中相鄰位允許最大FM恒相等時，即FMn-1=FMn-2=...=FM1=FM0≡ r+1，r∈ {1，2，3，… }=N，且 r=Max(Figures)時，該VCN就變成了FCN。所以，F(xiàn)CN只是VCN中一些特例而已，F(xiàn)CN具有VCN全部共性，但已喪失了許多VCN應有個性。

FCN中，常用十進數(shù)D轉(zhuǎn)換成其它非D的FCN主要方法有兩種：1)整數(shù)用“除模(基)取余”法，小數(shù)用“乘模(基)取整”法；2)利用按權值展開式逆運算求解法。而其它非D的FCN轉(zhuǎn)換成常用十進數(shù)D時只有唯一方法，即按權值大小展開式的求解法。

根據(jù)VCN智能特性，它既可以將FCN中常用十進數(shù)D轉(zhuǎn)換為2≦FM＜10的任意低模(基)值FCN，又可以轉(zhuǎn)換為FM＞10任意高模(基)值FCN。數(shù)學家可以保證：任何一種FCN或VCN均可以用來準確描述任意物質(zhì)量值大小或多少；任意循環(huán)或非循環(huán)數(shù)也均可用某種逼近的分式，或開奇偶次方根函數(shù)，或其它數(shù)學函數(shù)諸如各種插值/分段函數(shù)法來精確描述。

4 發(fā)展VCN研究前景

一個學科產(chǎn)生分支起源，總是從世人所關切而感興趣的重要問題研究；一旦形成了一些特有研究對象、特有研究方法、以及較系統(tǒng)理論和成果時，一門新學科就宣告誕生了。只不過有的學科是側(cè)重于以研究對象來劃分，有的則是側(cè)重于研究方法來劃分而已。

數(shù)論(或稱高等算術)是研究整數(shù)性質(zhì)的一個數(shù)學分支。屬于數(shù)論范圍許多著名問題在很早就已開始研究，也得到了相當豐富成果；但很奇怪，數(shù)論作為一門獨立數(shù)學分支出現(xiàn)[9]，卻是遲至十九世紀初的事。直至高斯(C.F.Gauss)在1801年發(fā)表了天才著作《算術研究(Disquisitions Arithmeticae)》才成為世人公認的作為一門獨立學科－－數(shù)論誕生標志。數(shù)論最基本特有研究方法就是Gauss在這一天才著作中所創(chuàng)立的同余理論。

解析數(shù)論又是數(shù)論中以解析方法作為研究工具的一個分支。G.F.B.Rieman 在 1859 年發(fā)表著名論文《論不大于一個給定值素數(shù)個數(shù) (ber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grǒsse)》是開始形成數(shù)論中一個重要分支－－解析數(shù)論主要標志。他利用解析方法來研究整數(shù)性質(zhì)的研究出發(fā)點是以下著名歐拉(Euler)恒等式，即對任意實數(shù)s＞1，均有

這一恒等式也是數(shù)論中最重要定理－－算術基本定理的解析等價式，通過它可以把世人很少了解素數(shù)p和非常熟悉自然數(shù)n以十分明確形式聯(lián)系起來，即素數(shù)性質(zhì)可以通過函數(shù)

在數(shù)論、解析數(shù)論、以及其它諸多有關數(shù)實際研究與應用(含整型數(shù)與分型數(shù))中，有一個無可否認事實是：全世界都在按照一定習慣勢力地使用著普遍遵守FCR的FCN，如占據(jù)統(tǒng)治使用地位的十進數(shù)D和計算機內(nèi)占統(tǒng)治使用地位的二進數(shù)B。由于FCR刻板性和計算機器CPU字長有限性，給傳統(tǒng)數(shù)值計算技術帶來無以克服的溢出和擾動現(xiàn)象。這恐怕與獨立數(shù)學分支即數(shù)論出現(xiàn)姍姍來遲奇怪現(xiàn)象，不無內(nèi)在必然聯(lián)系；而VCR靈活性可以克服CPU字長有限性，能實現(xiàn)無溢出和無擾動的數(shù)值計算。因此，基于VCR特性的VCN數(shù)值計算技術，確有許多潛在科學研究及應用價值，VCN發(fā)展前景無限。如果一味只習慣FCN研究，那么只能得到“只見樹木，不見森林”的結(jié)果；發(fā)展VCN研究，可以更好地促進FCN應用，它可以不用改變傳統(tǒng)習慣勢力對世人已產(chǎn)生先入為主的固疾影響，比如世人已習慣了FCN中十進數(shù)D的正確使用－－這沒關系，現(xiàn)代超強巨型計算機科學技術，可以輕而易舉地將VCN數(shù)據(jù)處理結(jié)果輸出轉(zhuǎn)換為FCN中世人所熟悉的十進數(shù)D。

5 變進數(shù)VCN應用

VCR特性VCN可用于如下領域：1)AI智能搜索技術中，傳統(tǒng)經(jīng)典無信息搜索中訪問數(shù)據(jù)結(jié)點數(shù)如寬度優(yōu)先搜索寬度值和深度優(yōu)先搜索深度值的表示等[10,11]。2)密碼科學技術中，更新傳統(tǒng)FCN加密和解密的智能數(shù)值計算等[12]。3)精密數(shù)值計算技術中，更新傳統(tǒng)FCN數(shù)值計算技術，可實現(xiàn)智能無溢出、無擾動(即運算結(jié)果正負誤差可逼近為零)精確數(shù)值計算等[13-15]。4)數(shù)值分析中，信度計算、誤差判定、數(shù)值表示、極值條件優(yōu)化、多值模糊邏輯等[16-18]。5)圖文聲技術中，簡單拓撲特征圖形、字符和聲音信息的精確表示、3D實體圖形表面可視性的視覺計算等[19,20]。6)數(shù)論和計算技術中，給定N值內(nèi)素數(shù)個數(shù)函數(shù)π(N)求解[21]、不同F(xiàn)CR/FCN精確數(shù)值轉(zhuǎn)換和衡量超強計算功能指標的技術標桿，數(shù)值壓縮和語言拓展技術等。

6 結(jié)束語

VCN是FCN延伸，也是全新而廣義的概念數(shù)。FCN只是VCN中一些特殊情形，它雖具VCN一切共性，但已喪失VCN不少個性。VCN研究就是對廣義數(shù)的共性及其更為豐富個性的深入挖掘性研究，也是對傳統(tǒng)數(shù)值計算技術革新性研究；而且，VCN比FCN應用更加廣泛，也更具現(xiàn)實意義。

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