趙鐵彪，徐毅，樊培利，薛美盛

（1.中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)自動化系，合肥230026；2.山東石橫發(fā)電廠，山東泰安271261）

動態(tài)矩陣控制（DMC）是一種重要的預(yù)測控制算法，由Cutlergf在1980年提出［1］。它采用在工程上易于測取的對象階躍響應(yīng)做模型，算法比較簡單，計(jì)算量較少，魯棒性較強(qiáng)，適用于有純時延、開環(huán)漸進(jìn)穩(wěn)定的非最小相位系統(tǒng)，近年來已在冶金、石油、化工等部門的過程控制中取得成功的應(yīng)用［2］。研究發(fā)現(xiàn)，DMC對模型失配的魯棒性有一定的局限性，需要改善預(yù)測模型，從而使得預(yù)測輸出值更準(zhǔn)確。

文獻(xiàn)［3－4］中提到，由于先驗(yàn)知識的局限性和過程的時變性，因而模型誤差勢必降低系統(tǒng)的控制精度和魯棒性，必須采取附加的預(yù)測手段彌補(bǔ)模型預(yù)測的不足。針對這個問題，席裕庚提出了引入誤差預(yù)測，采用誤差預(yù)測和模型預(yù)測相結(jié)合的思路。文獻(xiàn)［5］中，基于BP結(jié)構(gòu)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，對系統(tǒng)的建模誤差進(jìn)行預(yù)測，取得了一定的效果。文獻(xiàn)［6］中，提出用小波網(wǎng)絡(luò)建立誤差的預(yù)測模型，并對模型預(yù)測進(jìn)行動態(tài)補(bǔ)償，增強(qiáng)了系統(tǒng)魯棒性。文獻(xiàn)［7］中將LS－SVM支持向量機(jī)用于廣義預(yù)測控制的誤差補(bǔ)償，取得了一定的效果。然而，支持向量機(jī)建模也存在一定不足，如基函數(shù)必須滿足mercer定理等。文獻(xiàn)［8］提出一種新的機(jī)器學(xué)習(xí)方法最小二乘相關(guān)向量回歸（LS－RVR），并將其與支持向量機(jī)（SVM）模型、相關(guān)向量回歸（RVR）模型分別就計(jì)算復(fù)雜度和模型精度做了比較，獲得了更良好的建模效果。

筆者針對動態(tài)矩陣控制中遇到的模型失配問題，結(jié)合相關(guān)向量回歸的特點(diǎn)，提出了基于LS－

RVR的誤差補(bǔ)償動態(tài)矩陣控制算法，并進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明了該算法的有效性。

1 動態(tài)矩陣控制

1.1 預(yù)測模型

假設(shè)未來M個時刻的控制增量分別為Δu（k），Δu（k＋1），…，Δu（k＋M－1），則未來P個時刻系統(tǒng)的預(yù)測模型輸出值為

式中：Ym（k＋1）——k時刻施加Δu（k）時未來N個時刻的模型預(yù)測值，Ym（k＋1）＝［ym（k＋1／k），ym（k＋2／k），…，ym（k＋N／k）］T；Y0（k＋1）——k時刻未施加Δu（k）時未來N個時刻的模型輸出初值，Y0（k＋1）＝［y0（k＋1／k），y0（k＋2／k），…，y0（k＋N／k）］T；ΔU（k）＝［Δu（k），Δu（k＋1），…，Δu（k＋M－1）］T；A——動態(tài)矩陣，

模型輸出初值：

式中：U（k－1）＝［u（k－N＋1），u（k－N＋2），…，u（k－1）］T。將式（2）代入式（1）中，即可求出未來N個時刻預(yù)測模型輸出值為

1.2 反饋校正

為了克服模型誤差和干擾等的影響，需要用實(shí)際輸出誤差對系統(tǒng)預(yù)測模型輸出進(jìn)行修正，得到預(yù)測輸出值，即：

式中：Yp（k＋1）＝［yp（k＋1），yp（k＋2），…，yp（k＋P）］T；H＝［h1，h2，…，hP］T。

1.3 滾動優(yōu)化

最優(yōu)控制律由二次型性能指標(biāo)確定：

由?JP／?ΔU（k）＝0，求得：

式中：e（k）＝y(tǒng)（k）－ym（k）。將上式展開，可求得從k到k＋M－1時刻的控制增量，即：

2 最小二乘相關(guān)向量回歸

2.1 RVR

RVR是文獻(xiàn)［10］提出的一種貝葉斯框架，可以用來獲得回歸建模的稀疏解。與SVM相比，RVR使用更少的基函數(shù)；不僅可以得到預(yù)測輸出的點(diǎn)估計(jì)，還可以得到預(yù)測輸出的概率分布。另外，基函數(shù)無須滿足mercer定理［10－11］。

設(shè)廣義線性模型：

式中：K（x，xi）——基函數(shù)；wi——模型的權(quán)值向量的第i個元素。假設(shè)輸入輸出樣本集

輸出值是來自有附加噪聲模型的采樣值：

εn服從方差為σ2的零均值高斯分布，則樣本集的似然函數(shù)為［10］

式中：t＝（t1，t2，…，tN）；w＝（w1，w2，…，wN）；Φ——設(shè)計(jì)矩陣，Φ∈N×（N＋1），Φ＝［φ（x1），φ（x2），…，φ（xN）］T。其中，φ（xn）＝［1，K（xn，x1），K（xn，x2），…，K（xn，xN）］T。對權(quán)值向量定義先驗(yàn)的概率密度分布，即：

式中：α——N＋1維向量，被稱為超參數(shù)，它使得回歸模型的復(fù)雜程度降低并更為光滑。由貝葉斯準(zhǔn)則，可以得到權(quán)值向量的后驗(yàn)似然分布為

對式（10）兩端取對數(shù)，得：

分別對α和σ2求導(dǎo)，并令導(dǎo)數(shù)等于0，可以得到公式［10］：

2.2 LS－RVR

對于采樣獲得的輸入輸出數(shù)據(jù)，先進(jìn)行最小二乘線性建模，然后把該線性模型的擬合誤差和輸入輸出數(shù)據(jù)用RVR進(jìn)行建模，從而構(gòu)成整個LSRVR模型［8］。

對于n階系統(tǒng)，假設(shè)輸入輸出序列為｛u（k），y（k）｝k＝1，2，…，n＋N，則有：

式中：Y＝［y（n＋1），y（n＋2），…，y（n＋N）］T；

運(yùn)用LS－RVR建模步驟如下：

a）運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)遞推最小二乘方法建模，根據(jù)建立的模型可以得出對于輸入X，模型輸出為

b）最小二乘方法建模誤差為

c）運(yùn)用RVR方法對E進(jìn)行建模，求得模型權(quán)值向量序列和相關(guān)向量序列｛wk｝，｛xk｝，k＝1，2，…，m，其中m為相關(guān)向量的個數(shù)。有：

d）對于一個未知點(diǎn)x＊，建立模型的輸出結(jié)果為

3 誤差補(bǔ)償動態(tài)矩陣控制

為了克服模型誤差和干擾的影響，DMC算法采用該步系統(tǒng)實(shí)際輸出與模型預(yù)測輸出的誤差來代替下一步模型預(yù)測輸出的誤差，增加了模型預(yù)測輸出精度，但它對建模誤差的修正仍有一定的局限性。為了提高模型預(yù)測精度，筆者提出了基于LSRVR誤差補(bǔ)償算法，對歷史輸入輸出和誤差進(jìn)行訓(xùn)練，建立誤差模型并對誤差進(jìn)行一步預(yù)測得到下一步的模型預(yù)測誤差，從而提高了模型預(yù)測的精度。

利用LS－RVR建模方法，建立誤差模型。該誤差模型可以表示為［7］

根據(jù)得到的誤差模型，預(yù)測下步的誤差：

從而可得控制增量輸出為

計(jì)算步驟：

a）對預(yù)測控制參數(shù)進(jìn)行初始化。

b）進(jìn)行傳統(tǒng)動態(tài)矩陣控制，得到輸入、輸出、誤差數(shù)據(jù)，作為訓(xùn)練樣本。

c）對誤差數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，得到誤差模型。

d）根據(jù)誤差模型，采用式（22）描述的控制律進(jìn)行動態(tài)矩陣控制。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

例1 選取具有大慣性的火電廠熱工系統(tǒng)主蒸汽壓力對象［12］，其傳遞函數(shù)為

采樣周期為5s，預(yù)測前景為90，控制前景為15，誤差矩陣hi＝1，控制加權(quán)矩陣λi＝1。

離散化后，由于實(shí)際系統(tǒng)中存在一定的擾動，假設(shè)實(shí)際模型為

預(yù)測模型為

仿真結(jié)果如圖1～3所示，縱坐標(biāo)變量為無量綱。

圖1 傳統(tǒng)DMC方法

圖2 LS－RVR誤差補(bǔ)償DMC方法

圖3 兩種方法輸出比較

例2 選取仿真對象為文獻(xiàn)［13］給出的山東石橫電廠2號爐主汽溫過程，在高負(fù)荷（270～315MW）時模型對象：

采樣時間選4s，預(yù)測前景為130，控制前景為15，誤差矩陣hi＝1，控制加權(quán)矩陣λi＝1。

由于實(shí)際系統(tǒng)中存在一定的擾動，假設(shè)實(shí)際模型為

預(yù)測模型為

仿真結(jié)果如圖4～6所示，縱坐標(biāo)變量為無量綱。

圖4 傳統(tǒng)DMC方法

由仿真結(jié)果可以看出，誤差補(bǔ)償型預(yù)測控制算法與傳統(tǒng)動態(tài)矩陣控制算法相比，控制效果得到進(jìn)一步提高。

圖5 LS－RVR誤差補(bǔ)償DMC方法

圖6 兩種方法輸出比較

5 結(jié)束語

筆者針對傳統(tǒng)DMC控制對于模型失配的魯棒性有一定的局限性，提出新的LS－RVR誤差補(bǔ)償動態(tài)矩陣控制算法。通過LS－RVR良好的建模能力，對誤差與歷史輸入輸出進(jìn)行模型建模，從而提高預(yù)測輸出的精度，提高控制性能。仿真結(jié)果表明，該算法改善了系統(tǒng)在模型失配情況下的控制效果。

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