張濤，王娟，孫進(jìn)生

（大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院，遼寧大連 116605）

區(qū)間時(shí)變時(shí)滯線性系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性的新判據(jù)

張濤，王娟，孫進(jìn)生

（大連民族學(xué)院機(jī)電信息工程學(xué)院，遼寧大連 116605）

研究了一類具有區(qū)間時(shí)變時(shí)滯線性不確定系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性問(wèn)題。通過(guò)構(gòu)造合理的李雅普諾夫函數(shù)，并且使用輔助變量以及廣義狀態(tài)法，得出了區(qū)間時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)的時(shí)滯相關(guān)魯棒穩(wěn)定性新判據(jù)。同現(xiàn)有方法不同，該方法由于沒(méi)有對(duì)時(shí)滯參數(shù)導(dǎo)數(shù)的限制，可以用于快時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)。數(shù)值算例表明了方法的有效性。

區(qū)間時(shí)變時(shí)滯;魯棒穩(wěn)定;輔助變量;廣義狀態(tài)

時(shí)滯特性是工業(yè)生產(chǎn)過(guò)程中十分普遍的現(xiàn)象。由于時(shí)滯的存在，嚴(yán)重地影響了控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及系統(tǒng)的性能指標(biāo)。近些年來(lái)，對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定問(wèn)題的研究已經(jīng)取得了很大的進(jìn)展。最近，隨著遙操作和網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的快速發(fā)展，一類特殊的時(shí)滯系統(tǒng)，即區(qū)間時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)引起了學(xué)者們的重視，并得到了深入研究［1-3］。現(xiàn)有的大多數(shù)的研究成果中都要求時(shí)變時(shí)滯的導(dǎo)數(shù)必須小于1，這在工程實(shí)踐中并不一定能滿足，尤其是在網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中。本文針對(duì)一類具有區(qū)間時(shí)變時(shí)滯線性系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性問(wèn)題進(jìn)行研究，基于輔助變量以及廣義狀態(tài)法，利用線性矩陣不等式（LMI）推導(dǎo)該系統(tǒng)時(shí)滯依賴的魯棒穩(wěn)定的充分條件。在結(jié)果中去掉了對(duì)時(shí)滯參數(shù)導(dǎo)數(shù)的要求，得到的方法可用于具有快時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)。

1 問(wèn)題描述

考慮由以下?tīng)顟B(tài)方程描述的具有時(shí)變輸入時(shí)滯的線性不確定系統(tǒng):

這里x（t）?Rn為狀態(tài)變量，x（t）=φ（t），t?［-τmax，0］為初始值，A0和A1為適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣，△A0（t）和△A1（t）為時(shí)變不確定矩陣且滿足

注1:（3）式中表達(dá)的時(shí)滯，既可以表示區(qū)間時(shí)變狀態(tài)時(shí)滯，也可以代表系統(tǒng)建模時(shí)時(shí)滯參數(shù)的不準(zhǔn)確性。當(dāng)δ=τmed時(shí)，τ（t）?［0，］，= 2τmed，就和傳統(tǒng)的時(shí)變時(shí)滯參數(shù)的表達(dá)方式一樣了。但是本文中對(duì)時(shí)變時(shí)滯參數(shù)的導(dǎo)數(shù)沒(méi)有任何要求，而傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法為了保證LMI中某些對(duì)角項(xiàng)為負(fù)定，要求時(shí)滯參數(shù)的導(dǎo)數(shù)必須小于1。

下面介紹一下本文用到的引理:

引理1［4］（a）對(duì)具有適當(dāng)維數(shù)的任意向量x，y及對(duì)稱正定矩陣X，有

（b）給定適當(dāng)維數(shù)的矩陣Y，D，E，其中Y是對(duì)稱的，則

對(duì)所有的滿足FTF≤I的矩陣F成立，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)常數(shù)ε＞0，使得

2 主要結(jié)果

考慮具有區(qū)間時(shí)變狀態(tài)時(shí)滯的不確定系統(tǒng)（1），假設(shè)τmed，δ是已知正數(shù)，且τmed＞δ，如果存在適當(dāng)維數(shù)的矩陣P＞0，Q＞0，R＞0，S＞0，Nj，Mj（j=1，2，3）和正常數(shù)ε，使得下面LMI成立

那么對(duì)于任意時(shí)滯參數(shù)滿足式（3）且不確定性矩陣滿足（2）的系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定。

由于定理1中的結(jié)果不是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的LMI，不能直接用Matlab中的LMI工具箱求解，所以下面給出可以直接通過(guò)LMI工具箱求解的定理。

3 數(shù)值算例

4 結(jié)語(yǔ)

本文研究了一類具有區(qū)間時(shí)變時(shí)滯線性系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性問(wèn)題，通過(guò)構(gòu)造Lyapunov泛函，并結(jié)合積分不等式技巧，得到了系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性新判據(jù)。所得結(jié)論可利用線性矩陣不等式求解，且僅依賴于時(shí)變時(shí)滯參數(shù)的中值及其變化范圍，而與時(shí)滯參數(shù)的導(dǎo)數(shù)無(wú)關(guān)，可以用于快時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)。數(shù)值算例驗(yàn)證了方法的有效性。

［1］李濤，張合新，孫鵬.含區(qū)間時(shí)變時(shí)滯的線性不確定系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性新判據(jù)［J］.控制與決策，2010，25 （6）:953-957.

［2］王新梅，魏武，賀良華，等.一類有界區(qū)間時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析與研究［J］.信息與控制，2009，38（5）:526-531.

［3］張忻欣.具有區(qū)間時(shí)變時(shí)滯線性系統(tǒng)新的穩(wěn)定性準(zhǔn)則［J］.杭州電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，30（2）:69-72.

［4］CAO Y Y，SUN Y X，LAM J.Delay-dependent robust H∞control for uncertain systems with time varying delays［J］.IEE Proceedings:Control Theory and Applications，1998，143:338-344.

New Robust Stability Criteria for a Class of Linear Systems with Interval Time-varying Delay Systems

ZHANG Tao，WANG Juan，SUN Jin-sheng
（College of Electromechanical＆Information Engineering，Dalian Nationalities University，Dalian Liaoning 116605，China）

The robust stability of a class of linear systems with interval time-varying delay systems is investigated.By constructing an appropriate type of Lyapunov fanction and using the auxiliary variables and generalized states methods，the new delay-dependent robust stability criteria is derived.Unlike existing methodologies，because there are no restrictions on the derivative of the time delay，the proposed method can allow fast time-varying delay.A numerical example shows the effectiveness of the proposed criteria.

interval time-varying delay;robust stability;auxiliary variables;generalized states

TP13

A

1009-315X（2012）03-0221-04

2011-11-08;最后

2011-12-31

遼寧省教育廳資助項(xiàng)目（L2010093）;中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目（DC10040102）。

張濤（1977-），男，山東昌邑人，副教授，博士，主要從事時(shí)滯系統(tǒng)、魯棒控制、模糊控制等研究。

（責(zé)任編輯 劉敏）