袁學(xué)剛，杜雁芳，溫瑤

（1.大連民族學(xué)院理學(xué)院，遼寧大連116605; 2.遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧大連 116029）

不可壓縮超彈性球形結(jié)構(gòu)的徑向有限變形

袁學(xué)剛1，杜雁芳2，溫瑤1

（1.大連民族學(xué)院理學(xué)院，遼寧大連116605; 2.遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧大連 116029）

早在1958年，Gent和Lindley［1］就通過實(shí)驗(yàn)觀察到硫化橡膠中空穴突然形成的現(xiàn)象（也可見Williams和Schapery［2］）。橡膠和類橡膠材料是超彈性材料的典型代表，這類材料廣泛應(yīng)用于生物醫(yī)學(xué)、航空航天和建筑工程等領(lǐng)域，所以由超彈性材料組成的各種結(jié)構(gòu)的不穩(wěn)定性問題引起了人們的普遍關(guān)注。1982年，Ball［3］應(yīng)用非線性理論解決了空穴分岔問題，通過求解非線性微分方程模擬了均勻的各向同性彈性球體或柱體的內(nèi)部有空穴生成的現(xiàn)象，并對(duì)某些特殊的超彈性材料中空穴的生成問題作了定性分析，從而奠定了分岔問題的理論基礎(chǔ)。此后，Horgan和Abeyaratne［4］研究了預(yù)存微孔的快速增長(zhǎng)，并將其解釋為另一類分岔問題（也可見Sivaloganthan［5］），指出空穴是

研究了在表面拉伸載荷的作用下，各向同性不可壓縮超彈性材料組成的球形結(jié)構(gòu)的有限變形問題。首先利用不可壓縮性條件及邊界條件求得了拉伸載荷和球形結(jié)構(gòu)內(nèi)半徑之間的關(guān)系，進(jìn)而分別給出了4種球形結(jié)構(gòu)（實(shí)心球體、預(yù)存微孔、球殼和球形薄膜）有限變形解的定性分析，最后結(jié)合數(shù)值算例詳細(xì)討論了材料參數(shù)和結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)球形結(jié)構(gòu)徑向變形的影響。

不可壓縮超彈性材料;球形結(jié)構(gòu);有限變形;定性分析

本文研究了各向同性不可壓縮超彈性材料組成的球形結(jié)構(gòu)的徑向有限變形問題。首先建立了不可壓縮超彈性球形結(jié)構(gòu)在給定的徑向拉伸作用下球?qū)ΨQ變形問題的數(shù)學(xué)模型，利用逆解法求得了拉伸載荷和球形結(jié)構(gòu)內(nèi)半徑之間的關(guān)系。進(jìn)而，分別對(duì)4種球形結(jié)構(gòu)有限變形的解作了定性分析。對(duì)于由各向同性不可壓縮Ogden材料組成的實(shí)心球體和含有預(yù)存微孔的球體，分別研究了當(dāng)拉伸載荷達(dá)到臨界載荷時(shí)，實(shí)心球體內(nèi)部有空穴生成，預(yù)存微孔突然快速增長(zhǎng)等問題;對(duì)于由各向同性不可壓縮Mooney－Rivlin材料的組成的球殼和球形薄膜，驗(yàn)證了在表面拉伸載荷作用下，內(nèi)半徑隨著拉伸載荷的增加而增加，且隨著材料參數(shù)的增加，內(nèi)半徑快速增加等結(jié)論。

1 問題的數(shù)學(xué)描述

考慮由均勻的各向同性不可壓縮超彈性材料組成的球形結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)的外表面受到給定均布的徑向拉伸死載荷p0的作用。結(jié)構(gòu)變形前、后的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（R，Θ，Φ）和（r，θ，φ）。設(shè)未變形結(jié)構(gòu)內(nèi)部占有的區(qū)域?yàn)?/p>

式中，r（R）為待定函數(shù)，R1，R2分別表示球形結(jié)構(gòu)的內(nèi)外半徑。當(dāng)R1=0時(shí)，球形結(jié)構(gòu)表示實(shí)心球體;當(dāng)R1取值充分小時(shí)，表示中心含有微孔的球體;當(dāng)R1取一定大的值時(shí)（即1＜R2/R1＜+∞），表示球殼;當(dāng)R1與R2充分接近時(shí)（即R2/R1→ 1），表示球形薄膜。

根據(jù)球?qū)ΨQ變形（2），變形張量的主伸長(zhǎng)為

式中，W=W（λ1，λ2，λ3）為超彈性材料的應(yīng)變能函數(shù);p（R）為對(duì)應(yīng)于不可壓縮條件的靜水壓力，是待定函數(shù)。

忽略體積力的作用時(shí)，球?qū)ΨQ變形假設(shè)下的結(jié)構(gòu)滿足的平衡微分方程為

假設(shè)球形結(jié)構(gòu)的外表面受到均勻分布的徑向拉伸死載荷p0＞0的作用，則邊界條件為

另外，當(dāng)球形結(jié)構(gòu)內(nèi)部含有空穴時(shí)，空穴表面無約束的條件為

式（3）、（4）、（5）及邊界條件（6）、（7）組成了不可壓縮超彈性球形結(jié)構(gòu)的外表面在拉伸載荷作用下，球形結(jié)構(gòu)徑向?qū)ΨQ變形的數(shù)學(xué)模型。

2 問題的求解

由不可壓縮條件λ1λ2λ3=1及式（3）可得

式中，c≥0為待定常數(shù)，表示球形結(jié)構(gòu)內(nèi)半徑的增長(zhǎng)量。若c=0，表示變形后球形結(jié)構(gòu)的半徑?jīng)]有增長(zhǎng);若c＞0，表示變形后球形結(jié)構(gòu)半徑的增長(zhǎng)量為c。

將式（8）代入式（3），可得

3 幾種球形結(jié)構(gòu)有限變形解的定性分析

3.1 實(shí)心球體和含有微孔的球體

假設(shè)這兩種球形結(jié)構(gòu)由各向同性不可壓縮Ogden材料組成，其應(yīng)變能函數(shù)為［10］

式中，μ＞0為材料無窮小變形時(shí)的剪切模量，α＞0為材料參數(shù)。

3.1.1 實(shí)心球體

對(duì)于實(shí)心球體，有R1=0，方程（18）可以寫為

在式（20）中，令x→0+，可得

式（21）給出了球體內(nèi)部有空穴生成時(shí)的臨界載荷的表達(dá)式。式（21）的右端是一個(gè)廣義積分，由此可知臨界載荷Pcr是否有限與材料參數(shù)α有著密切的關(guān)系。根據(jù)廣義積分收斂性的判別法則可知，Pcr收斂當(dāng)且僅當(dāng)α＜3。

對(duì)于不同的材料參數(shù)α，給出了拉伸死載荷P與空穴半徑x之間的關(guān)系，如圖1。由圖1可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)α增加時(shí)，對(duì)應(yīng)的臨界載荷的值也相應(yīng)的增加;當(dāng)拉伸載荷P未達(dá)到臨界載荷Pcr之前，無空穴生成;當(dāng)拉伸載荷P達(dá)到或者超過臨界載荷時(shí)，有空穴生成，且空穴半徑x隨著拉伸載荷的增加而增加。

圖1 當(dāng)α取不同值時(shí)，P與x的關(guān)系曲線

3.1.2 預(yù)存微孔

當(dāng)球形結(jié)構(gòu)為中心含有微孔的球體時(shí)，P與d的關(guān)系曲線如圖2和圖3（注:d=r（R1）/R2）。

圖2 α=1.5時(shí)，P與d的關(guān)系曲線

圖3 α=2時(shí)，P與d的關(guān)系曲線

由此可知，若δ（變形前的微孔半徑與球體外表面半徑之比）很小時(shí)，在拉伸載荷P達(dá)到某個(gè)臨界值之前，微孔幾乎沒有增長(zhǎng);但是當(dāng)其接近或者超過某個(gè)臨界值時(shí)，微孔突然快速增長(zhǎng);通過對(duì)比圖2和圖3還可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)材料參數(shù)α增加時(shí)，球體內(nèi)部微孔發(fā)生顯著變化的臨界值也隨著增加。因此，在表面拉伸載荷作用下，球體中微孔的增長(zhǎng)受材料參數(shù)α和球體內(nèi)外半徑比值的影響較大。

3.2 球殼和球形薄膜

當(dāng)球形結(jié)構(gòu)分別為球殼和球形薄膜時(shí)，假設(shè)球形結(jié)構(gòu)由各向同性不可壓縮的Mooney－Rivlin材料組成，對(duì)應(yīng)的應(yīng)變能函數(shù)為［10］

式中，μ＞0為材料無窮小變形時(shí)的剪切模量，β＞0為材料參數(shù)。

描述球殼、球形薄膜P與d的關(guān)系曲線如圖4和圖5。由此可以看出，對(duì)于給定材料參數(shù)β，球體的內(nèi)半徑隨著拉伸載荷P的增加而逐漸增加;δ（球體內(nèi)半徑與外半徑的比值）越大，內(nèi)半徑的增長(zhǎng)越快。

圖4 表示球殼P與d的關(guān)系曲線

圖5 表示球形薄膜P與d的關(guān)系曲線

4 結(jié)論

本文考慮了各向同性不可壓縮超彈性材料組成的球型結(jié)構(gòu)（實(shí)心球體、預(yù)存微孔、球殼和球形薄膜）的有限變形問題，利用不可壓縮條件及邊界條件求得了拉伸載荷和內(nèi)半徑之間的關(guān)系，通過對(duì)解的定性分析得到了如下結(jié)論:

（1）對(duì)于各向同性不可壓縮的Ogden材料組成的實(shí)心球體，當(dāng)拉伸載荷P超過臨界載荷Pcr時(shí)，球體內(nèi)部有空穴生成，且空穴半徑x隨著拉伸載荷的增加而逐漸增加;對(duì)于由這種材料組成的中心含有微孔的球體，在球體表面拉伸載荷作用下，拉伸載荷P達(dá)到某個(gè)臨界值之前，微孔幾乎沒有增長(zhǎng);但是當(dāng)其接近或超過某個(gè)臨界值時(shí)，微孔突然快速增長(zhǎng)，且球體內(nèi)半徑發(fā)生顯著變化，臨界值隨著α的增加而增加，因此，球體中微孔的增長(zhǎng)不但與材料參數(shù)有關(guān)，而且和變形前微孔半徑與球體外半徑的比值有關(guān)。

（2）對(duì)于各向同性不可壓縮的Mooney－Rivlin材料組成的球殼和球形薄膜，隨著拉伸載荷P的增加，內(nèi)半徑在逐漸增加;δ越大，內(nèi)半徑的增長(zhǎng)越快。

［1］GENT A N，LINDLEY P B.Internal rupture of bonded rubber cylinders in tension［J］.Proc.R.Soc.Lond.Ser A，1958，249（1257）:289－296.

［2］WILLIAMS M L，SCHAPERY R A.Spherical flaw instability in hydrostatic tension［J］.Int.J.Fractrue Mechanics，1965，1（1）:67－71.

［3］BALL J M.Discontinuous equilibrium solutions and cavitation in nonlinear elasticity［J］.Philos Trans.R.Soc.Lond.Ser.A，1982，306（1496）:557－610.

［4］HORGAN C O，ABEYARATNE R.A bifurcation problem for a compressible nonlinearly elastic medium: growth of micro－void［J］.J.Elasticity，1986，16（2）: 189－308.

［5］SIVALOGANATHAN J.Uniqueness of regular and singular equilibria for spherically symmetric problems of nonlinear elasticity［J］.Arch.Rational.Mech.Anal，1986，96（2）:97－136.

［6］YUAN Xuegang，ZHU Zhengyou，CHENG Changjun.Study on cavitated bifurcation problem for spheres composed of hyper－elastic materials［J］.Journal of Engineering Mathematics，2005，51（1）:15－34.

［7］YUAN Xuegang，ZHANG Hongwu.Effects of constitutive parameters and dynamic tensile loads on radially periodic oscillation of micro－void centered at incompressible hyperelastic spheres［J］.Computer Modeling in Engineering＆Sciences，2009，40（3）:201－224.

［8］任九生，程昌鈞.超彈性材料的不穩(wěn)定性問題［J］.力學(xué)進(jìn)展，2009，29（5）:566－575.

［9］REN Jiusheng.Dynamics and destruction of internally pressurizedincompressiblehyper－elasticspherical shells［J］.Internation Journal of Engineering Science，2009，47（7－8）:745－753.

［10］OGDEN R W.Large deformation isotropic elasticity:on the correlation of theory and experiment of compressible rubberlike solids［J］.Proc.R.Soc.London，Ser A，1972，328（1575）:567－583.

Radial Finite Deformation of Incompressible Hyperelastic Spherical Structures

YUAN Xue－gang1，DU Yan－fang2，WEN Yao1
（1.College of Science，Dalian Nationalities University，Dalian Liaoning 116605，China; 2.School of Mathematics，Liaoning Normal University，Dalian Liaoning 116029，China）

In this paper，the radial finite deformation problems are examined for spherical structures composed of isotropic incompressible hyperelastic material under tensile loads on their outer－surfaces.First of all，an exact relation between tensile load and inner radius of spherical structure is obtained by the incompressibility condition and the boundary conditions.Secondly，qualitative analyses are performed for solutions describing the finite deformation of the four spherical structures（i.e.，solid sphere，sphere with an initial micro-void，spherical shell，spherical membrane）.Finally，the effects of material parameters and structure parameters on radial deformation of spherical structures are discussed in detail by utilizing numerical examples.

incompressible hyperelastic material;spherical structure;finite deformation;qualitative analysis

1009－315X（2012）01－0033－04

2011－05－25

國(guó)家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目（10872045）;教育部新世紀(jì)優(yōu)秀人才支持計(jì)劃（CNET－09－096）;中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目（DC10030104）。

袁學(xué)剛（1971－），男，吉林樺甸人，教授，博士，學(xué)校優(yōu)秀學(xué)術(shù)帶頭人，碩士生導(dǎo)師，主要從事非線性彈性材料和結(jié)構(gòu)的有限變形問題研究。

O343

A超彈性材料中固有的非線性現(xiàn)象。近幾年來，對(duì)于超彈性材料組成的球形結(jié)構(gòu)的研究已經(jīng)相當(dāng)深入，如實(shí)心球體的空穴現(xiàn)象、球殼的膨脹、柱體的翻轉(zhuǎn)和彎曲等等。其中，文獻(xiàn)［6－7］研究了橫觀各向同性不可壓縮的非線性彈性材料中空穴的靜、動(dòng)態(tài)生成以及預(yù)存微孔的增長(zhǎng)及振動(dòng)問題;文獻(xiàn)［8］綜合近年來的研究成果，對(duì)超彈性材料中的材料不穩(wěn)定性問題的研究成果和最新進(jìn)展進(jìn)行了系統(tǒng)的評(píng)述，并且闡述了由Rivlin材料組成的各種球形結(jié)構(gòu)的不穩(wěn)定性問題的特點(diǎn)、問題的求解以及主要的結(jié)果;文獻(xiàn)［9］研究了周期或者恒定內(nèi)壓作用下不可壓縮neo－h(huán)ookean材料組成的球殼的動(dòng)力響應(yīng)和破壞機(jī)理的問題。

（責(zé)任編輯 鄒永紅）