蘭麗英

(江西理工大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，江西贛州341000)

半平面上有限級(jí)Laplace-Stieltjes變換的正規(guī)增長(zhǎng)

蘭麗英

(江西理工大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，江西贛州341000)

研究了在一般的指數(shù)條件下，右半平面上有限級(jí)Laplace-Stieltjes變換的正規(guī)增長(zhǎng)性與它的系數(shù)的關(guān)系，得到了一個(gè)充要條件．

Laplace-Stieltjes變換；型函數(shù)；增長(zhǎng)級(jí)；精確級(jí)

0 引言

考慮由Laplace-Stieltjes變換所定義的函數(shù)

式（1）中：a（x）是對(duì)于x≥0有定義的實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)值函數(shù)，而且它在任何閉區(qū)間[0,X]（0＜X＜+∞）上是囿變的.記

作序列

由文獻(xiàn)[1]知當(dāng)序列（2）滿(mǎn)足

時(shí)，式（1）定義了一個(gè)右半平面的解析函數(shù).

定義1F（s）在右半平面Re s＞0的增長(zhǎng)級(jí)ρ定義為

定義2設(shè)式（1）的級(jí)ρ為有限正數(shù)，仿照文獻(xiàn)[2]，引進(jìn)U（r）=rρ（r）.其中ρ（r）在r＞r0上非負(fù)，連續(xù)，單調(diào).且滿(mǎn)足

（3）對(duì)每個(gè)正數(shù)k有U（kr）=[kρ+o（1）]U（r）（r→+∞），并且當(dāng)r＞r0′＞r0時(shí)，U（r）為r的增函數(shù).若稱(chēng)F（s）在Re s＞0上具有F（s）在Re s＞0上的精確級(jí)，稱(chēng)F（s）的型函數(shù).

當(dāng)ρ=0，0＜ρ＜+∞或ρ=+∞時(shí)，式（1）分別稱(chēng)為零級(jí)，有限級(jí)和無(wú)限級(jí)Laplace-Stieltjes變換.關(guān)于有限級(jí)Laplace-Stieltjes變換，在文獻(xiàn)[3]中有如下結(jié)果.

定理1設(shè)有限ρ級(jí)Laplace-Stieltjes變換式（1）滿(mǎn)足式（3）和

則

并且存在一個(gè)遞增正整數(shù)列｛nv｝，使

其中0＜τ＜+∞，U（r）為定義2中的型函數(shù)，r=W（t）是t=rU（r）的反函數(shù).

文中將在更一般的指數(shù)條件下討論有限級(jí)Laplace-Stieltjes變換的精確級(jí)與系數(shù)的關(guān)系，所得結(jié)果簡(jiǎn)化并推廣了上述結(jié)果.在文中，C表示常數(shù)，但前后數(shù)值可能不同.

1 引理

引理1[4-5]設(shè)b＞0，σ＞0，則函數(shù)

引理2[4-6]設(shè)a＞0，λ＞0，則函數(shù)

其中r=W（t）與t=rU（r）互為反函數(shù)，且

引理3[4-7]設(shè)U（r）為定義2中的型函數(shù)，A＞0，{λnv}為一列嚴(yán)格遞增正數(shù)列，存在一列單調(diào)遞減收斂于零的正數(shù)列{σv}，使

引理4[8]設(shè)有限ρ級(jí)Laplace-Stieltjes變換式（1）滿(mǎn)足式（3）和

其中α=（ρ+1）ρ+1·ρ-ρ，U（r）為定義2中的型函數(shù).

2 主要結(jié)果

定理2設(shè)有限ρ級(jí)Laplace-Stieltjes變換式（1）滿(mǎn)足式（3）和

并且存在一個(gè)遞增正整數(shù)列{nv}，使

其中α=（ρ+1）ρ+1·ρ-ρ，U（r）為定義2中的型函數(shù).

由于r=W（t）與t=rU（r）互為反函數(shù)，且它們都是單調(diào)遞增，所以

則由引理3得σv↓0.于是，對(duì)任意充分小的σ＞0，v∈N+，使σv+1＜σ＜σv，所以由引理1和引理3

“必要性”若式（7）左邊成立，由引理4知，式（7）右邊也成立.下面證明式（8）成立.取單調(diào)下降正數(shù)列{εk}→0，令

由式（7）右邊知，對(duì)每個(gè)k∈N+，Ek為非空無(wú)限集且Ek+1Ek.將Ek中正整數(shù)從小到大排列，面分兩種情況討論：

（1）若對(duì)每個(gè)k∈N+，

注意到Ek+1Ek，可取Nk+1＞Nk，因此Ek的子集

故當(dāng)n≥n0時(shí)，

則對(duì)任意t∈R，有

所以當(dāng)λn＜x≤λn+1，σv＞0時(shí)

利用式（6），可得

故

這與式（7）左邊矛盾.從而定理得證.

[1]余家榮.Laplace-Stieltjes變換所定義的整函數(shù)之Borel線(xiàn)[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1963，13(3)：471-484.

[2]莊圻泰.亞純函數(shù)的奇異方向[M].北京：科學(xué)出版社,1982.

[3]Kong Y Y，Sun D C.On type-function and the growth of Laplace-Stieltjes transformations convergent in the right half-plane[J].Adnvance Mathematics，2008，37(2)：197-205.

[4]劉名生.半平面上有限級(jí)Dirichlet級(jí)數(shù)的正規(guī)增長(zhǎng)[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2002，22(2)：229-238.

[5]孫道椿.半平面上的隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，1999，19(1)：107-112.

[6]邱洋青，王建國(guó).一類(lèi)新的廣義非線(xiàn)性集值變分包含組解的存在性問(wèn)題[J].江西理工大學(xué)學(xué)報(bào),2010，31(2)：37-40.

[7]桂賢敏，吳慶初.一類(lèi)解析函數(shù)的星象性質(zhì)與從屬關(guān)系[J].江西理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，29(2)：25-28.

[8]桂有良.半平面上有限級(jí)Laplace-Stieltjes變換的增長(zhǎng)性[J].萍鄉(xiāng)高等專(zhuān)科學(xué)校學(xué)報(bào)，2010，27(3)：6-9.

The regular growth of Laplace-Stieltjes transform of finite order in the half-plane

LAN Li-ying

（Faculty of Applied Science,Jiangxi University of Science and Technology,Ganzhou 341000,China）

In this article,the relations between the order of growth and regular growth of Laplace-Stieltjes transform of finite order in the right half-plane and the coefficients are studied under the general exponential conditions.Then the necessary and sufficient condition is obtained.

Laplace-Stieltjes transform;the type function;order;the proximate order

O174.5

A

2011-10-31

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（1072607）

蘭麗英（1980-），女，講師，畬族，主要從事不確定性推理等方面的研究，E-mail：lanliying318@126.com.

2095-3046（2012）03-0094-04