蔡海兵 ，彭立敏鄭騰龍

（1.中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，長沙 410075；2.安徽理工大學(xué) 土木建筑學(xué)院，安徽 淮南 232001）

1 引 言

地鐵隧道采用人工凍結(jié)法輔助施工時，在凍結(jié)壁形成過程中，隨著地層溫度的下降，土體溫度達到冰點，伴隨土中孔隙水和遷移水的結(jié)晶體、透鏡體、冰夾層等形成的冰侵入土體，引起土體體積膨脹，進而在地表產(chǎn)生凍脹現(xiàn)象[1]。地鐵隧道凍結(jié)施工期的凍脹現(xiàn)象將對工程周圍環(huán)境產(chǎn)生不良影響。因此，在隧道凍結(jié)工程設(shè)計階段，應(yīng)根據(jù)具體工程性質(zhì)，采用合理方法對可能引起的地表凍脹變形進行預(yù)估，以便于實際施工過程中采取適宜的凍結(jié)實施方案及相應(yīng)的凍脹預(yù)防措施。

波蘭學(xué)者Litwiniszyn[2]基于砂箱模型試驗，為研究地下采礦過程中巖層與地表移動等問題而提出了隨機介質(zhì)理論。該理論經(jīng)過我國學(xué)者[3－5]多年的發(fā)展和完善，目前已成為我國城市地鐵隧道工程中地表變形預(yù)測的實用方法之一。如將地層凍結(jié)引起的地表凍脹變形看成是一隨機過程，該過程可以認為是巖土體開挖引起地表變形的逆過程，則隧道凍結(jié)施工引起的地表凍脹變形問題亦可以采用隨機介質(zhì)理論進行預(yù)測分析?，F(xiàn)有相關(guān)方面的研究主要為：陽軍生等[3]采用隨機介質(zhì)理論，推導(dǎo)了隧道地層凍結(jié)引起的地面凍脹變形的計算公式；陶德敬等[6]應(yīng)用隨機介質(zhì)理論，對北京地鐵“復(fù)—八”線“大北窯——熱電廠”區(qū)間隧道凍結(jié)時的地表凍脹變形進行了計算分析；周太全等[7]針對南京地鐵某區(qū)間隧道凍結(jié)法施工工程，采用隨機介質(zhì)理論對該工程的凍脹效應(yīng)進行預(yù)測，具體分析了水平凍脹引起的地面隆起、曲率變形規(guī)律；李方政[8]采用隨機介質(zhì)理論，以上海體育場穿越工程為研究背景，運用疊加法基本原理，推導(dǎo)出多管凍結(jié)的地層凍脹疊加法表達式。

上述研究得出了一些有意義的結(jié)論，但共同的不足之處是分析過程中均未考慮凍結(jié)過程，即凍結(jié)壁的形成過程：開始凍結(jié)時，低溫鹽水與凍結(jié)管周圍的地層產(chǎn)生劇烈的熱交換，在每個凍結(jié)管周圍很快形成近似圓柱形的凍結(jié)巖土柱，如圖1(a)；凍土柱進一步擴展，直至相鄰凍土柱相互交圈，在隧道周圍形成封閉的凍結(jié)壁，如圖1(b)；交圈后，原各凍結(jié)管的凍結(jié)鋒面連成向隧道內(nèi)擴展的內(nèi)凍結(jié)鋒面和向隧道外擴展的外凍結(jié)鋒面，且內(nèi)、外凍結(jié)鋒面很快趨于平滑，如圖1(c)。

圖1 凍結(jié)壁形成過程 Fig.1 The formation process of frozen wall

本文考慮凍結(jié)過程，基于隨機介質(zhì)理論，以圓形隧道全斷面水平凍結(jié)為例，建立隧道水平凍結(jié)施工引起地表凍脹位移的歷時預(yù)測模型。

2 單管凍結(jié)引起地表凍脹的計算模型

如圖2 所示，考慮隧道單根凍結(jié)管凍結(jié)的情況，凍結(jié)管編號記為1，該凍結(jié)管中心在εοη（x zο ）直角坐標系下的橫坐標為1x ，縱坐標為1z 。凍結(jié)巖土柱呈圓柱狀由凍結(jié)管向外擴展，經(jīng)t 時刻后，凍土柱的外半徑發(fā)展至 R （ t ）。凍土柱在形成過程中發(fā)生的體積膨脹假定為凍土柱從半徑 R （ t ）均勻膨脹至RΔ，膨脹的圓環(huán)柱截面積記為Δ。根據(jù)隨機介質(zhì)理論，對于平面問題，在εοη（xο z）直角坐標系下，隧道單管水平凍結(jié)情況下地表各點凍脹位移表達式為

因積分區(qū)域為圓環(huán)形，將直角坐標系轉(zhuǎn)換成 極坐標系會更有利于求解。坐標系分兩次轉(zhuǎn)換，如圖2(a)，首先將εοη（xο z）直角坐標系轉(zhuǎn)換成 ε1ο1η1直角坐標系，如圖2(b)，再將 ε1ο1η1直角坐標系轉(zhuǎn)換成 r1ο1θ1極坐標系。

圖2 單管凍結(jié)坐標系轉(zhuǎn)換圖 Fig.2 Coordinate system transformation of single pipe freezing

則εοη（x zο ）直角坐標系變換到111rο θ 極坐標系的轉(zhuǎn)換公式為

根據(jù)雙重積分的換元公式，在111rο θ 極坐標系下式（1）可寫為

圓環(huán)形積分區(qū)域Δ 的內(nèi)半徑為 R （ t ），外半徑為RΔ，則上式又可變?yōu)?/p>

式中：x 為在εοη （x zο ）直角坐標系下地表各點的橫坐標；1x 、1z 為在εοη（x zο ）直角坐標系下凍結(jié)管中心的橫、縱坐標；1r、1θ 為在111rο θ 極坐標系下的極徑、極角；β 為凍土柱上覆巖土層的主要影響角。

對于平面問題，在111rο θ 極坐標系下，式（5）即為隧道單管水平凍結(jié)引起地表各點凍脹位移的表達式。

3 多管凍結(jié)引起地表凍脹的歷時預(yù)測模型

3.1 凍結(jié)壁交圈前的歷時預(yù)測模型

假定隧道采用單圈多管全斷面水平凍結(jié)，以n根凍結(jié)管均勻布置在同一設(shè)計圈徑上，各凍結(jié)管所處的土層性質(zhì)相同，且不考慮凍結(jié)孔實際造孔過程中的偏斜影響，由凍結(jié)壁的形成過程（見圖1）可知，凍結(jié)壁交圈前，經(jīng)t 時刻后，在隧道周邊形成n個外半徑為 R （ t ）的凍土柱，各凍土柱形成過程中發(fā)生的體積膨脹均為從半徑 R （ t ）均勻膨脹至RΔ，膨脹的各圓環(huán)柱截面積也均為Δ。如忽略相鄰凍結(jié)管凍結(jié)引起地表凍脹位移的相互影響，則在凍結(jié)壁交圈前，地表凍脹由多個凍土柱的疊加膨脹變形引起，此時地表凍脹位移可視為單管水平凍結(jié)引起地表凍脹位移的疊加問題。

記各凍結(jié)管的編號為1、2、…、n，則第i 根凍結(jié)管中心在εοη（xο z）直角坐標系下的橫坐標為 xi，縱坐標為 zi，其計算公式分別為

式中：h 為隧道中心距地表的距離，即隧道埋深；dR為凍結(jié)管布置圈半徑。

在計算第i 根凍結(jié)管水平凍結(jié)引起地表各點凍脹位移之前，都需要將εοη（x zο ）直角坐標系變換到iiirο θ 極坐標系，其轉(zhuǎn)換公式為

由式（5）可得在平面問題條件下第i 根凍結(jié)管水平凍結(jié)引起地表各點凍脹位移表達式為

根據(jù)疊加原理，則有凍結(jié)壁交圈前多管水平凍結(jié)引起的地表凍脹位移表達式為

3.2 凍結(jié)壁交圈后的歷時預(yù)測模型

隨著凍結(jié)時間的延長，隧道周邊各凍土柱進一步擴展，相鄰凍土柱相互交圈后即在隧道周邊形成圓環(huán)柱狀凍結(jié)壁，且凍結(jié)壁的內(nèi)、外凍結(jié)鋒面很快趨于平滑。如圖3 所示，經(jīng)t 時刻后，凍結(jié)壁已交圈，以隧道中心為圓心，凍結(jié)壁外鋒面半徑為 R （ t ），凍結(jié)壁擴展過程中的體積凍脹假定為從半徑 R （ t）均勻膨脹至RΔ，凍脹區(qū)域面積為Δ。凍結(jié)壁交圈后，地表凍脹則由整個凍結(jié)壁的膨脹變形引起，此時地表凍脹位移計算類似于單管水平凍結(jié)情況的求解方法。

圖3 凍結(jié)壁交圈后多管凍結(jié)坐標系轉(zhuǎn)換圖 Fig.3 Coordinate system transformation of multiple pipes freezing after the circle-crossing period of frozen wall

將εοη（x zο ）直角坐標系轉(zhuǎn)換成rο θ′ 極坐標系，則該兩坐標系之間的轉(zhuǎn)換公式為

根據(jù)雙重積分的換元公式，在rο θ′ 極坐標系下式（1）可寫為

凍脹區(qū)域Δ 的內(nèi)半徑為 （ ）R t ，外半徑為RΔ，則上式又可變?yōu)?/p>

式中：r、θ 為在rο θ′ 極坐標系下的極徑、極角。

對于平面問題，在rο θ′ 極坐標系下，式（15）即為凍結(jié)壁交圈后多管水平凍結(jié)引起地表各點凍脹位移的表達式。

當(dāng)隧道采用全斷面水平凍結(jié)法施工時，考慮凍結(jié)壁的形成過程，交圈前采用式（11）計算地表各點凍脹位移，交圈后則采用式（15）計算地表各點凍脹位移。

上述地表凍脹預(yù)測模型在應(yīng)用過程中，當(dāng)隧道埋深h、凍結(jié)管布置圈半徑 Rd、凍結(jié)管根數(shù)n 和巖土層主要影響角β 等參數(shù)已知，對于地表凍脹位移的計算還需確定的參數(shù)為t 時刻凍結(jié)外鋒面半徑R （ t ）、和凍土柱（交圈前）或凍結(jié)壁（交圈后）的凍脹區(qū)域外半徑RΔ，下述對該2 個參數(shù)的確定方法進行討論。

3.3 凍結(jié)外鋒面半徑的確定方法

在凍結(jié)壁交圈前，凍結(jié)外鋒面半徑 R （ t ）為單個凍土柱的半徑，在凍結(jié)壁交圈后，則為凍結(jié)壁外鋒面半徑。凍結(jié)壁交圈前、后凍結(jié)外鋒面半徑的確定問題即為單管凍結(jié)和多管凍結(jié)條件下溫度場分布規(guī)律的求解問題。人工凍結(jié)溫度場是一個有相變、移動邊界、內(nèi)熱源以及邊界條件復(fù)雜的瞬態(tài)導(dǎo)熱問題，其精確求解過程較為復(fù)雜。

地鐵隧道凍結(jié)工程中，一般均需在凍結(jié)區(qū)域布設(shè)測溫孔，在凍結(jié)施工中可根據(jù)測溫孔內(nèi)的測點溫度數(shù)據(jù)實時反演凍結(jié)溫度場。某特定時刻的凍結(jié)溫度場分布規(guī)律和凍結(jié)鋒面位置可由特魯巴克或巴霍爾金提出的穩(wěn)態(tài)溫度場計算方法求得[9]。但這不便于凍結(jié)施工前的溫度場預(yù)測分析。

由現(xiàn)有考慮相變的單管凍結(jié)溫度場（二維熱傳導(dǎo)問題）和平板凍結(jié)溫度場（一維無限域熱傳導(dǎo)問題Neumann 解）的瞬態(tài)解析結(jié)果可知[10－11]，多管凍結(jié)交圈條件下凍結(jié)壁的擴展厚度（單管凍結(jié)條件下的凍土柱半徑）與凍結(jié)時間的平方根成正比，可采用下述公式表示：

式中：E （ t ）為凍結(jié)壁擴展厚度或凍土柱半徑（mm）；A 為待定常數(shù)；t 為凍結(jié)時間（d）。

凍結(jié)壁交圈后的溫度場可由平板凍結(jié)理論近似求解，該理論中常數(shù)A 由下式給出：

式中：α1、 α2為凍土、未凍土的熱擴散系數(shù)； k1、k2為凍土、未凍土的導(dǎo)熱系數(shù)；T0為土體初始溫度；Tc為凍結(jié)源溫度；Ψ 為單位容積土體的結(jié)冰潛熱；Φ（ y）為高斯誤差函數(shù)，且有：

凍結(jié)壁交圈前的溫度場可由單管凍結(jié)理論進行求解，該理論中常數(shù)A 的計算公式詳見蔣斌松等[10]的推導(dǎo)結(jié)果?？梢姰?dāng)土體熱物理參數(shù)由室內(nèi)試驗獲取后，常數(shù)A 可由解析方法求得。

常數(shù)A 也可通過凍結(jié)溫度場的現(xiàn)場實測數(shù)據(jù)進行回歸分析并按經(jīng)驗取值，李方政[8]根據(jù)工程經(jīng)驗，認為A 可取160；唐益群等[12]鑒于上海隧道一般位于第④層飽和淤泥質(zhì)黏土層中，通過室內(nèi)試驗得到該土層的常數(shù)A 可取152.5；陳湘生等[13]基于上海地區(qū)地鐵聯(lián)絡(luò)通道水平凍結(jié)溫度場實測數(shù)據(jù)，回歸分析得出常數(shù)A 取150。

在凍結(jié)壁交圈前，凍結(jié)壁擴展厚度 E （ t ）即為單管凍土柱半徑 R （ t ）；凍結(jié)壁交圈后，若已知凍結(jié)管布置圈徑 Rd，則凍結(jié)外鋒面半徑 R （ t ）、內(nèi)鋒面半徑 R1（ t ）可按下式進行計算：

根據(jù)相關(guān)研究[13]，凍結(jié)壁軸面上凍土柱擴展速度一般比主面上要快10%～20%，則凍結(jié)壁交圈時間可用下述公式計算：

式中：jt 為凍結(jié)壁交圈時間（d）；l 為相鄰凍結(jié)管間距；k 為經(jīng)驗系數(shù)，可取1.1～1.2。

3.4 凍脹區(qū)域外半徑的確定方法

工程中反映土體凍脹強弱的指標一般采用凍脹率，是指土體試樣在無側(cè)向變形、無縱向荷載條件下，經(jīng)單向凍結(jié)，其縱向的高度增量與試樣原高度的比值，如下式：

式中：hε 為土體凍脹率； hΔ 為試樣縱向凍脹量；h為試樣原高度。

劉鴻緒[14]認為，土體凍結(jié)過程中某點的凍脹量是該點之下凍結(jié)土層凍脹率沿凍層厚度的積分，與凍脹力無直接聯(lián)系。據(jù)其原理，假定凍結(jié)壁向外均勻膨脹，考慮凍結(jié)過程，則有：

若考慮凍結(jié)過程，即凍結(jié)鋒面隨時間增長的發(fā)展過程，綜合式（19）、（20）和（23）可確定特定時刻t 的凍脹區(qū)域外半徑RΔ。

4 工程案例1

以某地鐵隧道全斷面水平凍結(jié)施工工程為例，該隧道斷面為圓形，隧道外半徑為3 m，埋深為 15 m，水平凍結(jié)管布置圈半徑為4 m，共布置凍結(jié)管20 根，凍結(jié)管直徑為160 mm，相鄰管間距為 1.25 m，土體凍脹率為1%，巖土層主要影響角度的正切值tan β 取0.8。

按經(jīng)驗取常數(shù) 150A= 、 1.1k= ，根據(jù)式（21），凍結(jié)壁的交圈時間為14.3 d。

凍結(jié)壁交圈前，單個凍土柱內(nèi)半徑為凍結(jié)管半徑，即 R1=80 mm，根據(jù)式（16）計算凍土柱外半徑為 R （ t ）= 150tmm；凍結(jié)壁交圈后，根據(jù)式（19）和（20），可確定凍結(jié)壁外、內(nèi)鋒面半徑。凍結(jié)壁交圈前、后凍脹區(qū)域外半徑根據(jù)式（23）計算。

地表計算區(qū)域選為 -2 0 m ≤ x≤ 20 m，根據(jù)Legendre-Gauss 積分方法，采用Maple 數(shù)學(xué)軟件編制計算程序，得到地表凍脹位移分布規(guī)律隨凍結(jié)時間的變化曲線如圖4 所示。

圖4 地表凍脹位移分布規(guī)律隨時間變化曲線 Fig.4 Variations of surface frost heave displacements distribution with time

由圖4 可知，對于任意時刻地表最大凍脹位移均發(fā)生在隧道中心正上部（距隧道中心水平距離 0 m），且隨著距隧道中心越遠，地表凍脹位移逐漸減小并最終趨于0。在凍結(jié)初期，地表凍脹現(xiàn)象不明顯，如凍結(jié)4 d 后，地表最大凍脹位移僅為4.3 mm，隨著凍結(jié)時間的延長，地表凍脹現(xiàn)象增強，各點的凍脹位移均逐漸增大，凍結(jié)40 d 后，地表最大凍脹位移達到29.6 mm，距隧道中心水平距離12 m 處的地表凍脹位移也達到9.3 mm?？偟膩碚f，隧道水平凍結(jié)施工中誘發(fā)的地表凍脹現(xiàn)象與凍結(jié)過程密切相關(guān)，隨著凍結(jié)時間延長，凍結(jié)壁變厚，地表凍脹位移逐漸增大。在現(xiàn)有隧道凍結(jié)施工凍脹效應(yīng)的隨機介質(zhì)理論分析成果中[6－7]，均未考慮凍結(jié)壁的發(fā)展過程，如直接將凍脹理論計算值與現(xiàn)場實測值進行比較，此舉不符合實際情況。

圖5 給出了距隧道中心水平距離分別為0、2、4、8、12、16、20 m 的地表各點凍脹位移隨凍結(jié)時間（共40 d）的變化曲線。

圖5 地表各點凍脹位移隨時間變化曲線 Fig.5 Variations of surface frost heave displacements with time

凍結(jié)壁的交圈時間經(jīng)計算約為14 d，無論在凍結(jié)壁交圈前，還是在凍結(jié)壁交圈后，地表凍脹位移增長速度均隨著距隧道中心越遠而變小，且凍脹位移均隨時間呈增長趨勢。地表各點凍脹位移隨時間變化曲線反映出凍脹與凍結(jié)壁的交圈時間存在著密切的聯(lián)系，在凍結(jié)初期，凍結(jié)壁尚未交圈，凍脹位移增長速度較快，隧道中心正上部（ 0x= ）地表凍脹位移增長速度達到1.23 mm/d；凍結(jié)壁交圈之后，凍脹位移增長速度減緩，隧道中心正上部（ 0x= ）地表凍脹位移增長速度約為0.5 mm/d。地表凍脹與凍結(jié)壁交圈時間的關(guān)系分析結(jié)果與相關(guān)模型試驗結(jié)果一致[15]。

5 工程案例2

廣州地鐵3 號線天河客運站站后折返線隧道為五心圓拱雙線隧道，隧道寬為11.4 m，高為9.12 m，長為138.8 m，埋深為8～10 m，屬淺埋大斷面隧道。隧道施工采用全斷面凍結(jié)帷幕+CRD 暗挖工法，支護結(jié)構(gòu)采用復(fù)合式襯砌。隧道水平凍結(jié)長度為 138.8 m，分南、北兩段施工。南、北端均在距隧道開挖邊界1 m 處沿五心圓拱線型各布置一圈凍結(jié)孔，每端共計46 個凍結(jié)孔，凍結(jié)孔間距為700～ 950 mm，如圖6 所示。設(shè)計凍結(jié)壁厚度為2.5 m，凍結(jié)壁平均溫度為-8 ℃，該工程為國內(nèi)迄今采用人工凍結(jié)法施工最長的地鐵隧道工程。

圖6 隧道北端凍結(jié)孔設(shè)計圖（單位：mm） Fig.6 The freezing hole design at northern end of the tunnel (unit: mm)

該工程積極凍結(jié)期約為150 d，工程現(xiàn)場沿隧道中心線布置了若干個地表變形測點，監(jiān)測得到了一系列地表凍脹位移數(shù)據(jù)[16]，測點位置處隧道埋深約為10 m，為便于后續(xù)理論計算結(jié)果與現(xiàn)場實測結(jié)果的對比分析，在本次隨機介質(zhì)理論分析中，隧道埋深同樣取10 m。

該隧道凍結(jié)孔布置圈為五心圓拱線型，為計算方便起見，采用等代圓方法將其簡化成圓形，該方法雖具有一定的近似性，但基本可滿足工程精度要求。凍結(jié)孔布置圈寬度為13.4 m，高度為11.1 m，經(jīng)計算簡化后的凍結(jié)孔圓形布置圈半徑為6.125 m。46 根凍結(jié)管均勻布置，相鄰管間距為0.836 m。工程實際選用凍結(jié)管為φ 108 mm×8 mm 的低碳鋼無縫鋼管。

通過在工程施工現(xiàn)場鉆孔取樣，對具有代表性的土層進行了人工凍土物理力學(xué)性能試驗，試驗得到各層土的凍脹率如表1 所示[17]。

表1 土體凍脹率試驗值 Table 1 Experimental values of frost heave rate of soils

該隧道地表凍脹預(yù)測分析中，土體凍脹率取表中各土層凍脹率的均值，則為5%。土體主要影響角度的正切值取0.8。按經(jīng)驗取常數(shù) 150A= 、k = 1.1。凍結(jié)鋒面半徑與凍脹區(qū)域外半徑的計算過程同于案例1。

采用已編制的計算程序，得到隧道中心正上部地表凍脹位移隨凍結(jié)時間（共150 d）的變化曲線，并與現(xiàn)場測試結(jié)果相對比，如圖7 所示。

圖7 隧道中心正上部地表凍脹位移隨時間變化曲線 Fig.7 Variations of surface frost heave displacements with time at the top of tunnel center

由圖可知，隧道中心正上部地表凍脹位移隨時間變化規(guī)律的理論計算和現(xiàn)場實測結(jié)果基本一致，在凍結(jié)初期，凍脹位移增長速度較快，凍結(jié)壁交圈前平均凍脹速度約為17.6 mm/d；而凍結(jié)后期，凍脹位移隨時間呈相對緩慢增長趨勢，凍結(jié)壁交圈后平均凍脹速度約為2.1 mm/d。各時間點的凍脹位移計算值和實測值也較為接近，凍結(jié)90 d，凍脹位移計算值為323.6 mm，實測值為335.7 mm，兩者相差12.1 mm 為分析過程中的最大差值，與凍脹位移值相比，該差值尚可忽略。經(jīng)凍結(jié)150 d 后，該隧道中心正上部地表累計凍脹位移近400 mm。對比分析結(jié)果驗證了所提出的地表凍脹歷時預(yù)測模型的可靠性，且該計算模型用于工程實際具有相當(dāng)?shù)木_性。

在距隧道中心水平距離為20 m 的地表區(qū)域，計算得到凍脹位移分布規(guī)律隨凍結(jié)時間的變化曲線如圖8 所示，圖中僅列出90 d 的計算結(jié)果。

圖8 地表凍脹位移分布規(guī)律隨時間變化曲線 Fig.8 Variations of surface frost heave displacements distribution with time

由圖可知，距隧道中心越遠，地表凍脹位移逐漸減小，位移增長速度也逐步減緩。在距離隧道中心較近的地表區(qū)域，如 -5 m ≤ x ≤ 5 m，隨著凍結(jié)時間的延長，凍脹位移分布形狀由圓拱型逐漸過渡到近水平線型，說明在凍結(jié)后期，凍結(jié)壁厚度增大，凍土距地表漸淺，巨大的凍脹變形使得隧道中心地表區(qū)域產(chǎn)生近似均勻的隆起現(xiàn)象。

該隧道凍結(jié)施工期的地表凍脹量較大，主要由多種因素造成，如隧道斷面大、埋深超淺；凍土體積大、覆土淺；距離外部環(huán)境近，熱交換大，導(dǎo)致凍結(jié)時間過長；土層大部分為為細致黏土層，且地下水含量大，凍脹系數(shù)大等原因。

6 結(jié) 論

（1）在隧道多管水平凍結(jié)施工中，凍結(jié)壁交圈前，地表凍脹位移由多個獨立凍土柱的疊加凍脹效應(yīng)引起，凍結(jié)壁交圈后，地表凍脹位移則由整個凍結(jié)壁的凍脹效應(yīng)引起。據(jù)此，考慮凍結(jié)壁的形成過程，基于隨機介質(zhì)理論，建立了地表凍脹位移的歷時預(yù)測模型。

（2）具體分析了計算模型中凍結(jié)外鋒面半徑和凍脹區(qū)域外半徑這2 個關(guān)鍵參數(shù)的取值方法。多管凍結(jié)交圈條件下凍結(jié)壁的擴展厚度（單管凍結(jié)條件下的凍土柱半徑）與凍結(jié)時間的平方根成正比，由此可通過解析或經(jīng)驗方法確定凍結(jié)外鋒面半徑；土體凍結(jié)過程中某點的凍脹量是該點之下凍結(jié)土層凍脹率沿凍層厚度的積分，由此可根據(jù)土體凍脹率、凍結(jié)內(nèi)、外鋒面半徑確定凍脹區(qū)域外半徑；巖土層主要影響角決定地表的凍脹范圍，其取值問題有待進一步研究。

（3）工程案例分析結(jié)果表明，該計算模型用于隧道水平凍結(jié)施工引起的地表凍脹位移預(yù)測，具有相當(dāng)?shù)木_性；隧道水平凍結(jié)施工中誘發(fā)的地表凍脹現(xiàn)象與凍結(jié)過程密切相關(guān)，隨著凍結(jié)時間延長，地表凍脹位移逐漸增大；地表凍脹與凍結(jié)壁的交圈時間存在著密切的聯(lián)系，凍結(jié)壁交圈前，凍脹位移增長速度較快，凍結(jié)壁交圈后，凍脹位移增長速度減緩。

[1] 徐學(xué)祖， 王家澄， 張立新. 凍土物理學(xué)[M]. 北京： 科學(xué)出版社， 2001.

[2] LITWINISZYN J. Fundamental principles of the mechanics of stochastic medium[C]//Proceedings of the 3rd Conference on Theoretical Applied Mechanics. India： [s. n.]， 1957： 18－26.

[3] 陽軍生， 劉寶琛. 城市隧道施工引起的地表移動及變形[M]. 北京： 中國鐵道出版社， 2002.

[4] 施成華， 彭立敏. 隨機介質(zhì)理論在盾構(gòu)法隧道縱向地表沉降預(yù)測中的應(yīng)用[J]. 巖土力學(xué)， 2004， 25(2)： 320－323. SHI Cheng-hua， PENG Li-min. Application of stochastic medium theory to predicting settlement in longitudinal surface due to tunnel construction by shield[J]. Rock and Soil Mechanics， 2004， 25(2)： 320－323.

[5] 施成華， 彭立敏， 雷明鋒. 盾構(gòu)法施工隧道地層變形時空統(tǒng)一預(yù)測方法研究[J]. 巖土力學(xué)， 2009， 30(8)： 2379－2384. SHI Cheng-hua， PENG Li-min， LEI Ming-feng. Study of time-space united calculating method of stratum deformation caused by shield tunnel excavation[J]. Rock and Soil Mechanics， 2009， 30(8)： 2379－2384.

[6] 陶德敬， 王明年， 劉大剛. 凍結(jié)法隧道施工引起的地表移動及變形預(yù)測[J]. 現(xiàn)代隧道技術(shù)， 2006， 43(6)： 45－50. TAO De-jing， WANG Ming-nian， LIU Da-gang. Prediction of surface movement and deformation caused by the freezing method construction of tunnels[J]. Modern Tunnelling Technology， 2006， 43(6)： 45－50.

[7] 周太全， 華淵， 呂寶華. 某地鐵區(qū)間隧道凍結(jié)施工凍脹效應(yīng)隨機預(yù)測分析[J]. 冰川凍土， 2009， 31(1)： 119－123. ZHOU Tai-quan， HUA Yuan， Lü Bao-hua. Stochastic prediction for frost heave effect of a subway tunnel[J]. Journal of Glaciology and Geocryology， 2009， 31(1)： 119－123.

[8] 李方政. 土體凍脹與地基梁相互作用的疊加法研究[J]. 巖土力學(xué)， 2009， 30(1)： 79－85. LI Fang-zheng. Research on superposition method of interaction between soil frost heave and beams on foundation[J]. Rock and Soil Mechanics， 2009， 30(1)： 79－85.

[9] 胡向東， 白楠， 余鋒. 單排管凍結(jié)溫度場TPУПAК 和БAXOЛДИH公式的適用性[J]. 同濟大學(xué)學(xué)報 (自然科學(xué)版)， 2008， 36(7)： 906－910. HU Xiang-dong， BAI Nan， YU Feng. Analysis of Trupak and Bakholdin formulas for temperature field of single-row-pipe frozen soil wall[J]. Journal of Tongji University (Natural Science)， 2008， 36(7)： 906－910.

[10] 蔣斌松， 王金鴿， 周國慶. 單管凍結(jié)溫度場解析計算[J]. 中國礦業(yè)大學(xué)學(xué)報， 2009， 38(4)： 463－466. JIANG Bin-song， WANG Jin-ge， ZHOU Guo-qing. Analytical calculation of temperature field around a single freezing pipe[J]. Journal of China University of Mining & Technology， 2009， 38(4)： 463－466.

[11] LUNARDINI V J， VAROTTA R. Approximate solution to Neumann problem for soil systems[J]. Journal of Energy Resources Technology， 1981， 103(1)： 76－82.

[12] 唐益群， 洪軍， 楊坪， 等. 人工凍結(jié)作用下淤泥質(zhì)黏土凍脹特性試驗研究[J]. 巖土工程學(xué)報， 2009， 31(5)： 772－776. TANG Yi-qun， HONG Jun， YANG Ping， et al. Frost- heaving behaviors of mucky clay by artificial freezing method[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engi- neering， 2009， 31(5)： 772－776.

[13] 陳湘生. 地層凍結(jié)工法理論研究與實踐[M]. 北京： 煤炭工業(yè)出版社， 2007.

[14] 劉鴻緒. 對土凍結(jié)過程中若干凍脹力學(xué)問題的商榷[J]. 冰川凍土， 1990， 12(3)： 269－280. LIU Hong-xu. Discussion of frost heave mechanics problems in soil freezing process[J]. Journal of Glaciology and Geocryology， 1990， 12(3)： 269－280.

[15] 蔡海兵， 程樺， 彭立敏， 等. 地鐵雙線隧道水平凍結(jié)位移場的模型試驗[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報， 2009， 28(10)： 2088－2095. CAI Hai-bing， CHENG Hua， PENG Li-min， et al. Model test on displacement field of double-route metro constructed with horizontal freezing method[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering， 2009， 28(10)： 2088－2095.

[16] 姜耀東， 趙毅鑫， 周罡， 等. 廣州地鐵超長水平凍結(jié)多參量監(jiān)測分析[J]. 巖土力學(xué)， 2010， 31(1)： 158－164， 173. JIANG Yao-dong， ZHAO Yi-xin， ZHOU Gang， et al. Multi-parameter monitoring of frozen soil structure with super-long freezing hole drilling in Guangzhou metro[J]. Rock and Soil Mechanics， 2010， 31(1)： 158－164， 173.

[17] 姚直書. 蔡海兵， 程樺， 等. 采用長距離水平凍結(jié)暗挖法的淺埋大斷面地鐵隧道施工技術(shù)[J]. 中國鐵道科學(xué)， 2011， 32(1)： 75－80. YAO Zhi-shu， CAI Hai-bing， CHENG Hua， et al. Multi- parameter monitoring of frozen soil structure with super- long freezing hole drilling in Guangzhou metro[J]. China Railway Science， 2011， 32(1)： 75－80.