劉 旭，李寶毅

（天津師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387）

旋轉(zhuǎn)攪拌中流體液面的數(shù)學(xué)解

劉 旭，李寶毅

（天津師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387）

利用數(shù)學(xué)分析的知識(shí)研究以下問題：一底面半徑為R的圓柱形攪拌機(jī)內(nèi)盛有牛頓流體，靜止時(shí)流體的深度h足夠大，且流體不會(huì)外溢.在位于對(duì)稱軸上的半徑為r的扇葉攪拌下，對(duì)稱軸附近的流體繞著它以恒定角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，考慮此時(shí)液面的形狀是怎樣的.本研究給出了這個(gè)問題的精確解.

旋轉(zhuǎn)攪拌；精確解；牛頓流體

數(shù)學(xué)分析的發(fā)展濫觴于微積分，并擴(kuò)展到函數(shù)的連續(xù)性、可微性及可積性等各種特性.這些特性有助于人們發(fā)現(xiàn)及研究自然界的規(guī)律，微積分理論的誕生離不開物理學(xué)、天文學(xué)、幾何學(xué)等領(lǐng)域的發(fā)展，微積分理論從其產(chǎn)生之日起便顯示出可觀的應(yīng)用活力，所以在數(shù)學(xué)分析的研究中，可以強(qiáng)化微積分與相鄰學(xué)科間的聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)應(yīng)用背景，充實(shí)理論的應(yīng)用性內(nèi)容.目前此研究領(lǐng)域比較活躍，國內(nèi)外不斷涌現(xiàn)出高水平的研究成果，例如文獻(xiàn)［1］通過力學(xué)分析，研究了繞中心軸等角速度旋轉(zhuǎn)圓柱體容器內(nèi)的液體平衡問題，給出了自由液面方程；隨后，證明了旋轉(zhuǎn)拋物體的體積為同底同高圓柱體體積的一半；其次，在柱坐標(biāo)系下，給出了旋轉(zhuǎn)拋物線與圓柱體的軸線和母線，以及原液面圍成的2部分投影面積之間的數(shù)量關(guān)系.文獻(xiàn)［2］研究了失重狀態(tài)下圓環(huán)形容器內(nèi)穩(wěn)態(tài)旋轉(zhuǎn)液體的液面形狀，在確定了液面極值點(diǎn)的位置后，導(dǎo)出了液面形狀的積分計(jì)算公式，分析了液面破裂時(shí)的臨界轉(zhuǎn)速，并求得了液面位置與液體體積之間的關(guān)系式.文獻(xiàn)［3］的例2.2應(yīng)用牛頓定律得到結(jié)論：一水桶內(nèi)的水隨水桶一起繞其自身軸以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，所得水面形狀為旋轉(zhuǎn)拋物面.本研究將利用數(shù)學(xué)分析的知識(shí)及牛頓定律，結(jié)合Mathematica7.0軟件，就旋轉(zhuǎn)攪拌問題展開討論，并通過考察粘滯定律及流體的速度梯度，在更復(fù)雜的模型中討論了該問題.

如圖1所示，一個(gè)半徑為R的圓柱形攪拌機(jī)內(nèi)盛有牛頓流體（即滿足粘滯定律的流體），靜止時(shí)流體的深度h足夠大，且流體不會(huì)外溢.在位于對(duì)稱軸上的半徑為r的扇葉攪拌下，對(duì)稱軸附近的流體繞著它以恒定角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，r≤1≤R，考慮此時(shí)液面的形狀是怎樣的.

圖1 旋轉(zhuǎn)攪拌機(jī)示意圖Fig.1 Schema of gyratory shaker

選擇攪拌機(jī)的外殼為參照物，y軸為轉(zhuǎn)動(dòng)軸，水平軸x如圖1所示，z軸垂直于紙面指向紙外.在桶右側(cè)選取位于xOy平面上、到轉(zhuǎn)動(dòng)軸線的距離為x的A點(diǎn)處的液面上的質(zhì)量元dM.易知此質(zhì)量元做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，受到液面的支持力N和重力G＝gdM，二者的合力提供水平方向的向心力F＝ω2（x）xdM，當(dāng)液面穩(wěn)定時(shí)，N應(yīng)與液面在A點(diǎn)的切線垂直.

設(shè)液面在xOy右半平面內(nèi)的截線為y＝y(tǒng)（x），則有

任意給定一種情況，如當(dāng)g＝9.8，h＝5，r＝0.01，R＝2，ω＝3時(shí)，y（x）的圖像如圖2所示，此時(shí)液面的形狀如圖3所示.

下面再給出一種更為有趣的情況，當(dāng)g＝9.8，h＝8，r＝1，R＝2，ω＝3時(shí)，y（x）的圖像如圖4所示，此時(shí)液面的形狀如圖5所示.

本研究所涉及的問題看似簡單，但計(jì)算的空間復(fù)雜度令人頭痛，已經(jīng)到了不得不放棄手工運(yùn)算的地步.由此可見，計(jì)算機(jī)代數(shù)的方法十分有效，特別是在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)領(lǐng)域，可以利用軟件的符號(hào)計(jì)算功能，在短時(shí)間內(nèi)完成大量的理論推導(dǎo)，使得數(shù)學(xué)工作者可以像做物理實(shí)驗(yàn)一樣，快速對(duì)理論的細(xì)節(jié)做出預(yù)測.計(jì)算機(jī)代數(shù)（Computer Algebra）在很多時(shí)候又被廣義地理解為“符號(hào)計(jì)算”（Symbolic Computation），成為與所謂“數(shù)值計(jì)算”相對(duì)的概念.“符號(hào)”的運(yùn)算在這里代替了“數(shù)”的運(yùn)算.這是一種智能化的計(jì)算，處理的是符號(hào).符號(hào)可以代表整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)，也可以代表多項(xiàng)式、函數(shù)，還可以代表數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)如集合、群、環(huán)、代數(shù)等.利用計(jì)算機(jī)代數(shù)，可以完成許多不可思議的任務(wù)，如可對(duì)方程組進(jìn)行精確求解，對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，對(duì)復(fù)雜代數(shù)表達(dá)式進(jìn)行化簡，對(duì)函數(shù)進(jìn)行符號(hào)積分（求出原函數(shù)），對(duì)微分方程求出解析解等.

圖2 當(dāng)g＝9.8，h＝5，r＝0.01，R＝2，ω＝3時(shí)y（x）的圖像Fig.2 Picture of y（x）when g＝9.8，h＝5，r＝0.01，R＝2，ω＝3

圖3 當(dāng)g＝9.8，h＝5，r＝0.01，R＝2，ω＝3時(shí)的液面形狀Fig.3 Shape of liquid level when g＝9.8，h＝5，r＝0.01，R＝2，ω＝3

圖4 當(dāng)g＝9.8，h＝8，r＝1，R＝2，ω＝3時(shí)y（x）的圖像Fig.4 Picture of y（x）when g＝9.8，h＝8，r＝1，R＝2，ω＝3

圖5 當(dāng)g＝9.8，h＝8，r＝1，R＝2，ω＝3時(shí)的液面形狀Fig.5 Shape of liquid level when g＝9.8，h＝8，r＝1，R＝2，ω＝3

［1］ 葉春生，葛均建，崔世平，等.水靜力學(xué)中旋轉(zhuǎn)拋物體問題的進(jìn)一步分析［J］.河南科學(xué)，2009，27（5）：571－574.

［2］ 周叮.失重狀態(tài)下圓環(huán)形容器內(nèi)旋轉(zhuǎn)液體的液面形狀分析［J］.強(qiáng)度與環(huán)境，1994（4）：40－44.

［3］ 田清鈞.基礎(chǔ)力學(xué)［M］.北京：國防工業(yè)出版社，2001.

［4］ WILFRED K.Advanced Calculus［M］.北京：電子工業(yè)出版社，2004.

［5］ JIRíG，JAROSLAV T.Discovering Mathematics：A Problem－Solving Approach to Mathematical Analysis with Mathematica and Maple［M］.New York：Springer Publishing，2011.

Exact solution of liquid level with rotary stirring

LIUXu，LIBao－yi
（College of Mathematical Science，Tianjin Normal University，Tianjin 300387，China）

Mathematical analysis is used to study the issue as follow：A cylindrical mixer with bottom radiusRcontains Newtonian fluid with the depthhwhich is large enough，and the fluid does not spill.At the symmetry axis the flabellum’s radius isr，the fluid near the symmetry axis performs a rotation at a constant angular velocityωaround the symmetry axis.Exact solution of the shape of the liquid level is obtained.

rotary stirring；exact solution；Newtonian fluid

O175.1

A

1671－1114（2012）03－0024－04

2011－10－14

劉 旭（1987—），男，碩士研究生.

李寶毅（1963—），男，教授，主要從事常微分方程及其應(yīng)用方面的研究.

（責(zé)任編校 馬新光）