張鵬超，張 強

(1．陜西理工學(xué)院電氣工程學(xué)院，陜西漢中723000;2．陜西理工學(xué)院機械工程學(xué)院，陜西 漢 中723000)

NTC熱敏電阻器以其靈敏度高、熱慣性小、受磁場影響小、抗輻射，價格低廉等優(yōu)點，在實際工作中把NTC熱敏電阻作為溫度傳感器是最為常見的。對提高NTC熱敏電阻的校正方程精度的研究取得了很大的進展。從NTC制造工藝角度提高NTC熱敏電阻測溫的穩(wěn)定性［1－2］，此方法可以保證NTC熱敏電阻工作的可靠性，但是實際應(yīng)用中必須對其阻溫特性進行校正，常用的方法有:(1)對NTC熱敏電阻進行的線性化的研究方法［3－4］，此方法誤差較大，且過程復(fù)雜;(2)利用傳統(tǒng)的經(jīng)驗指數(shù)校正方程進行分段多項式擬合非線性補償?shù)姆椒ǎ?］，這種方法需要擬合出多個關(guān)系式，一旦超出擬合溫度范圍，精度不能保證，并且應(yīng)用起來較復(fù)雜;(3)采用Steinhart-Hart方程［6－10］對 NTC 熱敏電阻的 R－T 特性進行校正，但是此方法需要擬合4次，且精度不能滿足高精度要求。

近年來，隨著對NTC熱敏電阻的測溫原理研究的深入［11］，采用硬件補償法的研究也廣泛的應(yīng)用起來［12］，在較小的溫度范圍內(nèi)能夠得到較高的精度補償效果，但是超出此范圍的測溫精度較差且設(shè)計電路復(fù)雜，在實際應(yīng)用中并不可靠;

本文在對傳統(tǒng)的NTC指數(shù)校正方程的基礎(chǔ)上，采用線性化變換，利用最小二乘法對實測的R－T數(shù)據(jù)進行一次、二次、三次、四次擬合，而且此方法擬合出的校正方程結(jié)構(gòu)簡單，并且經(jīng)過誤差分析和實際應(yīng)用中驗證了此方法能達到更高的精度。

1 數(shù)據(jù)的標定

根據(jù)實際測溫需要，對NTC熱敏電阻溫度計在273．15 K ～373．15 K(0～100 ℃)采用恒溫水箱控制溫度，用安捷倫表來測量NTC熱敏電阻隨著溫度的變化而對應(yīng)的電阻值，并且用量程0～100℃的水銀溫度計來測量實際溫度，測得的實際數(shù)據(jù)見圖1。

圖1 10K熱敏電阻溫度計R－T的實測數(shù)據(jù)關(guān)系曲線

由圖1可以看出NTC熱敏電阻具有高度的非線性特性，且呈現(xiàn)出指數(shù)關(guān)系，由此引出傳統(tǒng)的NTC熱敏電阻校正方程:

式中:RT是當(dāng)溫度為T時的電阻值，RT0是當(dāng)溫度為T0時的電阻值，B是電阻熱敏常數(shù)。方程(1)可以進行數(shù)據(jù)線性化變換［13］以方便擬合，轉(zhuǎn)換后的表達式為:

式中:a、b為常數(shù)，設(shè)R=lnRt，式(3)可以看成T=a+b·R，由此可以看出NTC熱敏電阻的R－T特性關(guān)系為一次函數(shù)關(guān)系;本文將應(yīng)用最小二乘法來對式(3)分別進行一次，二次，三次，四次擬合，再利用誤差評價原理評價出最適合NTC熱敏電阻的校正方程。

2 基于Matlab的數(shù)據(jù)擬合方法

2．1 最小二乘法擬合的基本思想［13］

本文基于Matlab運用最小二乘法來對實測數(shù)據(jù)進行擬合:即選擇一個多項式p(x)，使平方誤差(在某種意義下)達到極小的方式來逼近一個已知函數(shù)，其基本思想首先為Gauss所提出，有幾種版本，取決于所涉及的自變量的集合及所用的誤差度量。

首先，當(dāng)數(shù)據(jù)為離散時，我們可以對給定的數(shù)據(jù)xi，yi及 m＜N 將和

極小化，條件m＜N使多項式

式(5)未必能在所有N個數(shù)據(jù)點上都能匹配，故S很可能不會變成零。高斯思想是盡我們所能使S變小。經(jīng)過多年得研究發(fā)展，得到了最小二乘法的另一種形式，即:

含有新系數(shù)ak，決定這些ak的方程組證明特別容易求解:

這些ak的確使誤差和S極小化，極小值為

其中Wk為表達式中作為分母的和式，擬合后的方程系數(shù)如表1所示。

表1 10K熱敏電阻擬合關(guān)系式系數(shù)

2．2 Matlab 實現(xiàn)

應(yīng)用Matlab工具箱的Polyfit(R，T，n)對NTC熱敏電阻的R－T特性分別進行一次，二次，三次，四次擬合或者更高次的擬合，R為lnRT值、T為實測溫度值、n為最小二乘擬合次數(shù)。擬合后的方程系數(shù)已由表1所示。

2．3 誤差評價原理［14］

由于本文所選用的都是經(jīng)驗公式，在擬合過程中對有效數(shù)字的選取，導(dǎo)致了試驗誤差的存在，盡管標定中R、T都有4位有效數(shù)字，但是必然存在試驗的測量誤差。所以測量值f與擬合值之間要滿足下面的關(guān)系:

可以利用絕對誤差、平均誤差以及均方根誤差來比較擬合曲線與實測數(shù)據(jù)之間的誤差。

2．3．1 絕對誤差:

式中:E(f)為各個校正方程的絕對誤差;yk是各個關(guān)系式的擬合值;f(xk)絕對誤差變化得越平穩(wěn)，證明方程的精度越高。

2．3．2 平均誤差:

式中:E1(f)為校正方程擬合的平均誤差;N為實測數(shù)據(jù)點數(shù);式中的意義是擬合后的平均誤差的絕對值求和后再求平均值，E1(f)越小，表示方程的精度越高。

2．3．3 方程有效性的評價

一組近似值A(chǔ)i對相應(yīng)的真值Ti的標準差定義為［14］:

E2(f)為校正方程的標準差;在Ti為已知的各種試驗情況下，我們將用這個誤差度量來估計最小二乘平滑化的有效性;E2(f)越小，表示方程精度越高。

2．4 評價校正方程:

通過表1的各個擬合方程的系數(shù)進行誤差分析，由圖2可以看出對NTC熱敏電阻的R－T特性關(guān)系進行一次擬合的誤差震蕩比較大，對于二次，三次，四次擬合誤差，不太好評價好壞，因此，對此3種擬合的平均誤差及標準差進行對比，以便評價出更適合NTC熱敏電阻的校正方程，見表2。

圖2 四種擬合絕對誤差對比

表2 10K熱敏電阻4個方程擬合誤差

表2中E1(f)/K為平均誤差，E2(f)/K為評價方程有效性的標準差。根據(jù)誤差評價原則:分別去掉一個最大誤差、最小誤差。由表2可以看出:四次擬合方程的E1(f)/K=0．286 3及E2(f)/K=0．412 8最小，可以看出，經(jīng)過四次擬合的方程在237．15 K～337．15 K(0～100℃)范圍內(nèi)是最適合NTC熱敏電阻溫度計精度的校正方程。

3 結(jié)論

通過對傳統(tǒng)的指數(shù)方程進行線性變換，得到一種新的NTC熱敏電阻溫度計R－T特性關(guān)系，對此關(guān)系進行最小二乘擬合，并進行了絕對誤差，最大、最小絕對誤差，平均誤差的分析之后，可以看出，對于式(3)進行一次擬合得到的方程不能精確地對NTC熱敏電阻溫度計的非線性進行校正;通過對NTC熱敏電阻溫度計的R－T特性關(guān)系進行更高階的擬合并求出各個擬合方程的標準差，比較之后得出四次最小二乘擬合的方程是最適合NTC熱敏電阻溫度計的校正方程，適用于NTC熱敏電阻的具體校正方程如下:

實際上，由表2可以看出，對NTC熱敏電阻的R－T實測數(shù)據(jù)應(yīng)用最小二乘法，進行二次擬合得出的校正方程的精度已經(jīng)比傳統(tǒng)的校正方程高很多，可根據(jù)具體工況來決定選擇校正方程。應(yīng)用式(13)在實際的應(yīng)用當(dāng)中得到了很好的驗證，保證精度，且測量方法簡單，價格便宜，宜廣泛應(yīng)用，本文確定校正方程的方法適用于各類熱敏電阻溫度計的校正擬合。

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