陳建華，王新海，劉 洋，成雙華，吳 劍

(中國石油大學(xué)(北京)，北京 102249)

低滲非達(dá)西煤層氣井滲流數(shù)學(xué)模型建立與應(yīng)用

陳建華，王新海，劉 洋，成雙華，吳 劍

(中國石油大學(xué)(北京)，北京 102249)

低滲透煤層氣藏中的氣體滲流存在非達(dá)西效應(yīng)，使用常規(guī)方法對(duì)其進(jìn)行產(chǎn)量預(yù)測與計(jì)算時(shí)易出現(xiàn)誤差。為有效解決該問題，在考慮啟動(dòng)壓力梯度影響的條件下，建立了低滲煤層氣藏氣、水兩相滲流數(shù)學(xué)模型。利用有限差分法進(jìn)行了數(shù)值求解，編制煤層氣直井開采數(shù)值模擬計(jì)算程序進(jìn)行了產(chǎn)能預(yù)測，并分析了煤層參數(shù)對(duì)產(chǎn)量變化的影響。研究表明:①煤層氣井生產(chǎn)時(shí)，存在氣產(chǎn)量迅速升高、水產(chǎn)量迅速降低的階段;②吸附時(shí)間越短，氣產(chǎn)量越早到達(dá)高峰期，一定時(shí)間內(nèi)產(chǎn)量也越高;啟動(dòng)壓力梯度越大，高峰期后產(chǎn)量下降越快，最終產(chǎn)量也越小;③吸附氣超飽和煤層氣產(chǎn)量＞飽和煤層氣產(chǎn)量＞欠飽和煤層氣產(chǎn)量。

煤層氣藏;啟動(dòng)壓力梯度;數(shù)學(xué)模型;產(chǎn)能預(yù)測;滲流數(shù)學(xué)模型

引言

國內(nèi)外學(xué)者對(duì)于煤層氣流動(dòng)規(guī)律已進(jìn)行了大量研究。早在1947年，前蘇聯(lián)學(xué)者Кринчевский P.M.O開創(chuàng)性地應(yīng)用達(dá)西定律來描述煤層氣流動(dòng)并建立了相應(yīng)的流動(dòng)方程。1987年孫培德在冪定律推廣形式的基礎(chǔ)上，建立了均質(zhì)和非均質(zhì)煤儲(chǔ)層中氣體非線性流動(dòng)模型［1］。2006年鄧英爾等采用實(shí)驗(yàn)、理論與計(jì)算相結(jié)合的方法，建立了低滲透煤層中氣體非線性滲流的運(yùn)動(dòng)方程［2］。煤層屬于低滲透儲(chǔ)層，在中國更是存在低壓、低滲、低吸附氣飽和度的特性［3］。因此，在煤層中的滲流過程應(yīng)該考慮啟動(dòng)壓力梯度的影響。

1 數(shù)學(xué)模型的建立

在建立氣、水兩相滲流數(shù)學(xué)模型時(shí)，存在以下基本假設(shè):①煤層視為基質(zhì)微孔－裂縫雙重介質(zhì);②原始狀態(tài)裂縫中由水充滿或含少量的游離氣，大量氣體以吸附形式存在于基質(zhì)中;③氣體為真實(shí)氣體，水是微可壓縮流體，煤基質(zhì)中僅含氣;④氣體解吸擴(kuò)散到裂縫的過程為擬穩(wěn)態(tài)過程;⑤煤層內(nèi)的流動(dòng)為等溫流動(dòng)，忽略重力和毛管力的影響。

1.1 煤層氣、水兩相滲流方程

裂縫中水相、氣相滲流速度可分別表示為［4－5］:

式中:vw、vg分別為水相、氣相滲流速度，m/d;K為裂縫絕對(duì)滲透率，μm2;Krw、Krg分別為水相、氣相相對(duì)滲透率;μw、μg分別為水、氣體黏度，mPa·s;p為裂縫壓力，MPa;Df為裂縫中氣體擴(kuò)散系數(shù)，m2/d;Cf為裂縫中氣體濃度，kg/m3，Cf=ρgφfSg(ρg為氣相密度，kg/m3;φf為裂縫孔隙度;Sg為含氣飽和度);βw、βg分別為水相、氣相達(dá)西定律修正系數(shù)。

裂縫中水相連續(xù)性方程:式中:Sw為含水飽和度;ρw為水相密度，kg/m3。

將不斷擴(kuò)散到裂縫中的氣體流量作為氣相流動(dòng)的源，裂縫中氣相的連續(xù)性方程可表示為:

式中:qm為基質(zhì)塊流出的流量，kg/(m3·d);FG為幾何因子;t為流動(dòng)時(shí)間，h;Cm(t)為基質(zhì)中吸附氣平均含量，kg/m3。

將式(1)代入式(3)，得到水相滲流方程:

式中:Bw為水相體積系數(shù)。

將式(2)代入式(4)，得到氣相滲流方程:

式中:Z為氣體偏差因子;R為氣體常數(shù)，kPa·m3/(mol·K);T為煤層溫度，K;Mg為氣體摩爾質(zhì)量，kg/mol。

1.2 煤層氣解吸、擴(kuò)散方程

煤層氣是1種以吸附態(tài)為主的天然氣，目前國內(nèi)外學(xué)者一致認(rèn)為煤對(duì)煤層氣的吸附符合朗格繆爾方程［6］，即:

式中:VE(p)為煤層氣吸附量，kg/m3;VL為朗格繆爾體積，kg/m3;pL為朗格繆爾壓力，MPa。

將氣體從基質(zhì)中解吸流向裂縫系統(tǒng)過程視為擬穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散，滿足Fick第一定律［7］，即:

式中:τ為吸附時(shí)間常數(shù)，h。

初始時(shí)刻基質(zhì)中氣體濃度與煤層的吸附氣飽和度有關(guān)，有:

式中:pd為臨界解吸壓力，MPa;pi為煤層初始?jí)毫?，MPa。

1.3 煤層裂縫孔隙度和滲透率的壓力敏感性模型

氣體解吸使基質(zhì)塊收縮，而有效應(yīng)力增加使孔隙度減小，兩者綜合作用可能使?jié)B透率增加也可能使其減小，此時(shí)孔隙度和滲透率隨應(yīng)力變化可表示為［8］:

式中:Ki為裂縫初始滲透率，μm2;φi為裂隙初始孔隙度;psc為標(biāo)準(zhǔn)狀況壓力，MPa;cp為裂縫孔隙體積壓縮系數(shù)，MPa－1;cm為基質(zhì)骨架收縮系數(shù)，MPa－1。

2 數(shù)值模型及求解

對(duì)相對(duì)滲透率、黏度、氣體偏差因子取其平均值，將壓力及其函數(shù)取為隱式，氣相飽和度及其函數(shù)取為顯式，消去飽和度得到關(guān)于壓力的差分方程:

當(dāng)考慮內(nèi)邊界(i=1)、外邊界(i=N)條件時(shí)，式(14)需要進(jìn)行修正。

式(14)方程組為非線性方程組，采用牛頓－拉夫松方法將其線性化，得(k為迭代步數(shù)):

求出地層網(wǎng)格點(diǎn)處壓力后，代入水相滲流差分方程計(jì)算地層網(wǎng)格點(diǎn)處的含氣飽和度。求出每一時(shí)刻地層中各點(diǎn)的壓力和含氣飽和度之后，可用以下兩式計(jì)算產(chǎn)水量和產(chǎn)氣量。

3 煤層氣直井開采產(chǎn)能預(yù)測

模擬基本參數(shù)如下:煤層初始?jí)毫?.42 MPa，煤層溫度為304 K，井底壓力為3.14 MPa，朗格繆爾壓力為0.97 MPa，臨界解吸壓力為8.42 MPa，朗格繆爾體積為28.7 kg/m3，裂縫初始含氣飽和度為0.08，裂縫初始孔隙度為0.01，裂縫初始絕對(duì)滲透率為0.83×10－3μm2，裂縫孔隙體積壓縮系數(shù)為5.9×10－2MPa－1，基質(zhì)骨架收縮系數(shù)為8.7 ×10－5MPa－1，裂縫中氣體擴(kuò)散系數(shù)為0.016 m2/d，吸附時(shí)間常數(shù)為1 500 h，煤層厚度為4.2 m，為煤層半徑400 m，井半徑為0.12 m，甲烷氣摩爾質(zhì)量為20 g/mol，氣體臨界壓力梯度為0.01 MPa/m，水臨界壓力梯度為0.03 MPa/m。

3.1 產(chǎn)量預(yù)測

圖1是煤層氣開采氣、水產(chǎn)量預(yù)測圖。與常規(guī)氣井生產(chǎn)曲線不同，煤層氣井生產(chǎn)有以下基本特點(diǎn):①在開井后較短時(shí)間內(nèi)，氣產(chǎn)量迅速升高，水產(chǎn)量則迅速降低;②氣產(chǎn)量達(dá)到峰值后開始下降，一段時(shí)間后開始回升，水產(chǎn)量降到最低值后略有回升，隨后開始下降。

隨著煤層氣井排水降壓生產(chǎn)，壓力低于臨界解吸壓力的區(qū)域逐漸增大，氣體解吸形成的兩相滲流區(qū)不斷擴(kuò)大，造成氣產(chǎn)量先升高而后降低。之后由于氣相相對(duì)滲透率逐漸增大，水相相對(duì)滲透率逐漸減小，導(dǎo)致氣產(chǎn)量開始回升，水產(chǎn)量開始下降。

圖1 煤層氣開采氣、水產(chǎn)量預(yù)測

3.2 煤層參數(shù)對(duì)產(chǎn)量變化的影響

(1)吸附時(shí)間對(duì)產(chǎn)量變化的影響。吸附時(shí)間分別為200、720、1 000、1 500、3 000 h的模擬結(jié)果見圖2。如圖2所示，開井后一定生產(chǎn)時(shí)間內(nèi)，吸附時(shí)間越短的煤層氣產(chǎn)量越大，氣產(chǎn)量達(dá)到高峰期的時(shí)間越短，高峰期產(chǎn)量也越大。吸附時(shí)間決定著煤基質(zhì)中氣體解吸的快慢，氣體解吸越快，基質(zhì)向裂縫供應(yīng)氣體速度越快，因此吸附時(shí)間對(duì)產(chǎn)量的變化有著重大影響。

圖2 吸附時(shí)間對(duì)產(chǎn)量變化的影響曲線

(2)啟動(dòng)壓力梯度對(duì)產(chǎn)量變化的影響。模擬計(jì)算當(dāng)啟動(dòng)壓力梯度分別為0.00、0.10、0.15 MPa/m時(shí)煤層氣產(chǎn)量的變化結(jié)果見圖3。啟動(dòng)壓力梯度越大，達(dá)到高峰期的時(shí)間越長，高峰期過后產(chǎn)量下降越快，最終產(chǎn)量將越小。啟動(dòng)壓力梯度的存在使得煤層氣藏排水降壓受阻，整個(gè)區(qū)域氣體解吸形成兩相滲流區(qū)時(shí)間變長，導(dǎo)致氣產(chǎn)量達(dá)到高峰期的時(shí)間變長。同時(shí)，啟動(dòng)壓力梯度越大，附加阻力也越大，最終氣產(chǎn)量將越小。

圖3 啟動(dòng)壓力梯度對(duì)產(chǎn)量變化的影響曲線

(3)吸附氣飽和度對(duì)產(chǎn)量變化的影響。分別計(jì)算超飽和煤層、飽和煤層以及不飽和煤層產(chǎn)氣量隨時(shí)間的變化，模擬結(jié)果如圖4所示。對(duì)于超飽和

圖4 不同飽和類型煤層的氣產(chǎn)量變化曲線

煤層，由于有部分游離氣存在，使整個(gè)區(qū)域初始含氣飽和度大于殘余氣飽和度，解吸出來的氣體立即可以流動(dòng)，氣產(chǎn)量相對(duì)較高。而欠飽和煤層在壓力低于臨界解吸壓力的區(qū)域沒有氣體解吸，導(dǎo)致含氣量偏低，產(chǎn)量相對(duì)較低。

4 結(jié)論

(1)與常規(guī)氣井生產(chǎn)曲線不同，煤層氣井生產(chǎn)時(shí)，存在氣產(chǎn)量迅速升高、水產(chǎn)量迅速降低的階段。

(2)吸附時(shí)間越短，氣體解吸越快，氣產(chǎn)量越早到達(dá)高峰期，一定時(shí)間內(nèi)氣產(chǎn)量也越高。

(3)啟動(dòng)壓力梯度越大，達(dá)到高峰期的時(shí)間越長，其后下降越快，最終氣產(chǎn)量也越小。

(4)超飽和煤層氣產(chǎn)量＞飽和煤層氣產(chǎn)量＞欠飽和煤層氣產(chǎn)量。

(5)本文建立的考慮啟動(dòng)壓力梯度影響的煤層氣藏氣、水兩相滲流數(shù)學(xué)模型，為以后研究低滲煤層氣藏提供了可靠方法。

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［4］王新海，張冬麗，宋巖.低滲非達(dá)西滲流煤層氣羽狀井開發(fā)機(jī)理研究［J］.地質(zhì)學(xué)報(bào)，2008，82(10):1437－1442.

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Establishment and application of mathematical model for non－Darcy flow in low permeability coalbed methane wells

CHEN Jian－h(huán)ua，WANG Xin－h(huán)ai，LIU Yang，CHENG Shuang－h(huán)ua，WU Jian
(China University of Petroleum，Beijing102249，China)

Gas flow in low permeability coalbed methane reservoir has non－Darcy effect.Using conventional method to predict and calculate production tends to lead to error.In order to effectively tackle this problem，a mathematical model of gas/water two－phase flow has been established for low permeability coalbed methane reservoir by taking account of threshold pressure gradient effect.The model is solved by using finite difference method.A computer program is developed for numerical simulation of vertical CBM well productivity prediction.The impact of coal seam parameters on production is analyzed.The results show that in the process of CBM well production，there exists a stage during which gas production increases quickly and water production decreases quickly;the shorter the adsorption time is，the earlier the peak production is seen;the greater the threshold pressure gradient is，the faster the production decline is after peak production，and the lower the ultimate production is;CBM production of supersaturated adsorbed gas＞saturated gas＞undersaturated gas.

coalbed methane;threshold pressure gradient;mathematical model;productivity prediction;percolation mathematical model

TE312;TE132.2

A

1006－6535(2012)03－0097－04

10.3969/j.issn.1006－6535.2012.03.025

20110930;改回日期20120125

國家油氣重大科技專項(xiàng)“低滲、特低滲透油氣田經(jīng)濟(jì)開發(fā)關(guān)鍵技術(shù)”(2011ZX013)

陳建華(1986－)，男，2009年畢業(yè)于長江大學(xué)石油工程專業(yè)，現(xiàn)為中國石油大學(xué)(北京)油氣田開發(fā)工程專業(yè)在讀碩士研究生，主要從事油藏?cái)?shù)值模擬和試井分析研究工作。

編輯周丹妮