摘 要:質(zhì)點的新動能定理克服了經(jīng)典動能定理不能反映非保守力作耗散功、非保守反作用力也同時作等值的耗散功、都將系統(tǒng)機械能轉(zhuǎn)換為受力體的其他形式的能量的缺陷。解讀新動能定理含義及意義，闡述新功能理論對機械功定義的繼承與創(chuàng)新，以解答案例探討新動能定理用法，牽連功的算法，耗散功的算法，服務(wù)理論研究和生產(chǎn)實踐。

關(guān)鍵詞:解讀新動能定理機械功定義的繼承機械功定義的創(chuàng)新新動能定理的意義牽連功的算法耗散功的算法

中圖分類號:O316 文獻標(biāo)識碼:A 文章編號:1674-098X(2011)03(c)-0012-03

1 序言

質(zhì)點的新動能定理[1]表述為:在質(zhì)點運動過程中，作用在質(zhì)點上的保守外力作的總功(微元)、非保守外力作的牽連總功(微元)、非保守外力作的耗散總功(微元)有效值、非保守反作用外力作的耗散總功(微元)有效值之合，等于質(zhì)點動能的增加量(微元)。公式表示為:

微分式為:dAF+dAf牽+dAf耗散+dAf耗散反=dEK (1)

積分式為:AF+Af牽+Af耗散+Af耗散反=EK-EK0(2)

1.1 質(zhì)點的新動能定理

(2)式中:在討論對象——質(zhì)量為m0的質(zhì)點運動過程中，與質(zhì)量分別為mi(i=1，2，3…n)的n個質(zhì)點有相互作用，t時刻的dt時間里:

保守外力對質(zhì)點m0作的微元總功:dAF=AFi=(F0i·dr0)，繼承了功的傳統(tǒng)定義;

非保守外力對質(zhì)點m0作的牽連微元總功:dAf牽=Afi=(f0i·dri)

非保守外力對質(zhì)點m0作的耗散功有效值微元總功:dAf耗散=Afoi=(foi·droi)

非保守反作用力對施力質(zhì)點作的耗散功有效值微元總功:dAf耗散反=Afio=(fio·drio)

上列功的表達式中:

后三式是新功能理論對功的新定義;

dr0是質(zhì)點m0相對已經(jīng)選定的慣性參考系的絕對位移微元;

dri是質(zhì)點mi相對已經(jīng)選定的慣性參考系的牽連位移微元;

droi是質(zhì)點m0相對質(zhì)點mi的相對位移微元，drio是質(zhì)點mi相對質(zhì)點m0的相對位移微元，且droi=-drio;

foi是質(zhì)點m0受到質(zhì)點mi的非保守作用力，fio是質(zhì)點mi受到質(zhì)點m0的非保守作用力，且foi=-fio;

力foi的牽連微元功f0i·dri，是施力質(zhì)點mi的牽連位移微元與所施力的點積。

1.2 質(zhì)點新動能定理的進步意義

質(zhì)點的新動能定理與經(jīng)典動能定理[2]A合外力=EK-EK0(3)相對比，其進步意義在于:①力作的機械功是機械能轉(zhuǎn)移、轉(zhuǎn)換的量度，非保守力對質(zhì)點作的耗散總功有效值微元dAf耗散、非保守反作用力對施力質(zhì)點作的耗散總功有效值微元dAf耗散反具有同時關(guān)聯(lián)性、等值性[3]，并且不大于零，說明機械能既轉(zhuǎn)換為受力質(zhì)點的非機械能，又轉(zhuǎn)換為施力質(zhì)點的非機械能，使理論能夠正確反映實踐;②使經(jīng)典動能定理對單質(zhì)點運動功能關(guān)系的封閉式表達被沖破，還自然規(guī)律的本來面目;③經(jīng)典動能定理(3)式由牛頓定律推導(dǎo)得出，不能正確地反映、預(yù)言非保守力及其非保守反作用力作耗散功的規(guī)律，說明經(jīng)典功能關(guān)系不完備，促使非保守力作耗散功、牽連功的定義的誕生和包括質(zhì)點新動能定理的新功能理論的誕生;④非保守力對質(zhì)點作的非耗散功由非保守外力作的牽連總功Af牽與Af耗散+Af耗散反的代數(shù)和共同決定，體現(xiàn)了非保守力作功的雙重性[4]。

對于新動能定理的應(yīng)用，需要進行探索、研究。

2 新動能定理應(yīng)用研究

例1:某年落于地球的某隕石質(zhì)量為39kg。落下時，此隕石深入泥土L=1.875m。實驗證明，該隕石落下地點的泥土給陷入其內(nèi)的物體的阻力f=50T力。問該隕石到達地面時的速度多大？[5]

解:運用質(zhì)點的新動能定理求解，選地面為參考系，隕石為研究對象。

隕石陷入泥土運動過程中受力:重力mg，阻力f。其反作用力是地面受力:Fg’，f’。

計算隕石陷入泥土運動過程中受力的功:

保守力mg、Fg’的總功:AF=mgL (4)

耗散力的功:(5)

在此，牽連功是地面對隕石的非保守力f點積地面相對已經(jīng)選定慣性參照系位移微元(牽連位移微元)在隕石運動全程的積分，本題的施力體地面與已經(jīng)選定慣性參照系(地球)同體，牽連位移dr1≡0。

耗散功的有效值:

(6)

α為隕石陷入泥土運動方向與垂直向下方向間的夾角。

隕石陷入泥土過程中f’對泥土作耗散功的有效值:

由關(guān)于系統(tǒng)功能原理推論的證明與推廣[6]知:

Af耗散反=Af耗散=(7)

本題中，非保守力只作了耗散功，沒有作牽連功，反映了非保守力作耗散功的一面。

將(4)～(7)式及未知量代入質(zhì)點的新動能定理(2)式得:

從此式可以看出，系統(tǒng)損失的機械能有一半轉(zhuǎn)換為隕石的內(nèi)能等，另一半轉(zhuǎn)換為泥土的內(nèi)能等。將隕石陷入泥土過程中末態(tài)v=0代入上式解得:

答:隕石到達地面時的速度值不小于217m/s。

例2:[2]如圖1示意，一個斜面長5m，頂端高為3m。用一平行于斜面的力F，將質(zhì)量為10kg的物體，從斜面下端勻速推至上端。如果物體與斜面間的摩擦系數(shù)為0.3，平行于斜面的力F必須作多少功？滑動摩擦力作了多少耗散功？

解:運用質(zhì)點的新動能定理求解，以運動物體為研究對象。

物體作勻速直線運動(平動)，可以看作質(zhì)點。以斜面(地球)為參考系，建立直角坐標(biāo)系。先求未知力。

質(zhì)點受力:重力mg，斜面支撐力N，推力F，滑動摩擦力f。它們的反作用是斜面(地球)受力，依次為Fg’，N’，f’。

要使質(zhì)點勻速運動，則F合=0，即

解得:

再求作用在質(zhì)點上的力的功。

保守力的功:

重力mg、Fg’的總功:Ag=-3mg=-294J(10)

非保守力的功:

推力F的功按非保守力的非耗散功計算:指接觸質(zhì)點之間無相對位移(耗散功AF耗散1=AF耗散反1=0)，以靜摩擦力相互作用，施力點與受力點同步運動，使施力點牽連位移與受力點的絕對位移相等:dr1=dr0→，即在非保守力不作耗散功的情況下，其作的非耗散功屬于質(zhì)點的新動能定理(2)式的牽連功項。這反映了非保守力作非耗散功的特性。

支撐力N不作功;

作用在質(zhì)點上的非保守力f的牽連功:

在此，施力體斜面相對參考系無位移(牽連位移)，dr2≡0。

將滑動摩擦力f對質(zhì)點作的耗散功有效值A(chǔ)f耗散2及其反作用力f’對斜面作的耗散功有效值A(chǔ)f耗散反2作為未知量。

非保守外力總牽連功:

Af牽=AF牽1+Af牽2=411.6J (11)

非保守外力總耗散功有效值

Af耗散=Af耗散1+Af耗散2=Af耗散2(12)

非保守反作用力作的總耗散功有效值:

Af耗散反=Af耗散反1+Af耗散反2=Af耗散反2(13)

將(10)～(13)式及未知量代入質(zhì)點的新動能定理(2)式得:

-294+411.6+Af耗散2+Af耗散反2=EK- EK0

質(zhì)點作勻速運動，EK-EK0=0;由關(guān)于系統(tǒng)功能原理推論的證明與推廣[5]知:

Af耗散2=Af耗散反2代入上式解得:

Af耗散2=Af耗散反2=-58.8J

結(jié)果說明，推力作功411.6J，其中有294J轉(zhuǎn)化為相互作用系統(tǒng)的勢能增量;轉(zhuǎn)換為質(zhì)點、斜面內(nèi)能的各有58.8J，相互摩擦的質(zhì)點、斜面內(nèi)能都增加了，而非經(jīng)典動能定理所描述的質(zhì)點內(nèi)能增加了117.6J的結(jié)論。

解法2:依據(jù)耗散功有效值的定義，先求出Af耗散、Af耗散反和Af牽，并算出重力的功，代入質(zhì)點的新動能定理(2)式，再解出推力的功。

……。

答、……。

例3:如圖2示意，一質(zhì)量為2.0kg的質(zhì)點，由A點沿圓周軌道自靜止開始下滑，到達B點時的速率為4.0m/s。AB之間的軌道是半徑為1.5m的圓周四分之一。自B點以后，質(zhì)點又沿水平方向在桌面上向前滑行3.0m，因滑動摩擦阻力而停止于C點。求(a)質(zhì)點自A點滑到B點的路程中，摩擦阻力作的功？(b)水平面與質(zhì)點間的滑動摩擦系數(shù)是多大？(c)若圓弧軌道部分是光滑的，質(zhì)點到D點時的速度、加速度、對軌道的壓力？

解:運用質(zhì)點的新動能定理求解。以支撐面(地球)為參考系，質(zhì)點為研究對象。首先進行受力分析:

質(zhì)點受力:重力mg，斜面支撐力N，滑動摩擦力f。它們的反作用是支撐面(與地球一體)受力，依次為Fg’，N’，f’。

再求作用在質(zhì)點上的力的功。

(a)質(zhì)點自A點滑到B點的過程中保守力的功:

重力mg、Fg’的總功:

Ag=mgR=29.4J(14)

非保守力的功:

支撐力N作功為零;

作用在質(zhì)點上的非保守力f的牽連功:

(15)

本題的施力體斜面與已經(jīng)選定慣性參照系同體，牽連位移dr1≡0。

將滑動摩擦力f對質(zhì)點作的耗散功有效值A(chǔ)f耗散及其反作用力f’對支撐面作的耗散功有效值A(chǔ)f耗散反作為未知量。

將(14)、(15)式及未知量代入質(zhì)點的新動能定理(2)式得:

29.4+0+Af耗散+Af耗散反=EK-EK0 (16)

而，Af耗散=Af耗散反代入(16)式解得:

Af耗散=Af耗散反=-6.7J(17)

滑動摩擦力f對質(zhì)點作的耗散功有效值、其反作用力f’對支撐面作的耗散功有效值各為-6.7J，即質(zhì)點、支撐面的內(nèi)能增量各為6.7J。

(b)質(zhì)點自B點滑到C點的過程中保守力mg對質(zhì)點作的功:

Ag=0 (18)

非保守力對質(zhì)點作的功:AN=0 (19)

滑動摩擦力f的牽連功仍為零，見(5)式;

=-29.4μ (20)

(21)

將(15)、(18)～(21)代入質(zhì)點的新動能定理(2)式得:

-29.4μ-29.4μ=-16

解得:μ=0.27

(c)圓弧軌道光滑，質(zhì)點從A點運動到D點過程中受力:mg、N。

保守力對質(zhì)點作功:Ag=mgR sinθ (22)

非保守力對質(zhì)點作功:AN=0 (23)

摩擦力f=0→Af牽=0，Af耗散=Af耗散反=0 (24)

EKD-EKA= (25)

將(22)～(25)代入質(zhì)點的新動能定理(2)式得:

mgR sinθ=

解得:VD==3.83eτm/s(26)

由牛頓第二定律得:

解得:N=m(g sinθ+ an) en=14.7 en N

由牛頓第三定律知，軌道受到正壓力N’=-N=-14.7 en N

an=9.8m/s2， aτ=m/s2→

為與t之間夾解。

答:……。

例4：如圖3示意，A物體的質(zhì)量為m，由一根跨過定滑輪的不可伸長的輕繩與B物體連接，B物體沿x軸負方向(A物體朝x軸正方向)作勻速直線運動，A與B之間的滑動摩擦系數(shù)為μ。求A物體朝x軸正方向運動s距離非保守力作的功。

解:用質(zhì)點的新動能定理解答。以支撐面(地面)為參考系，A質(zhì)點為研究對象。

A質(zhì)點受的力:mg，T，N，f。

它們的反作用力依次是:A質(zhì)點對地球的重力Fg’、對輕繩的拉力T’、對B質(zhì)點的壓力N’和摩擦力f’。

A、B質(zhì)點作勻速直線運動，對A質(zhì)點列出牛頓第二定律方程:

解得:N=mg，T=f=μmg

在A質(zhì)點朝x軸正方向運動s距離過程中，力對A質(zhì)點作的功:

保守力的功:Ag=0 (27)

非保守力f的牽連功:

(28)

式中，施力質(zhì)點B相應(yīng)的牽連運動始、末x坐標(biāo)是xB0、xB0-s，B質(zhì)點牽連位移為△x=-s。

非保守力f的耗散功有效值:

(29)

式中，質(zhì)點A相對質(zhì)點B的相對位移為△x’=( xA0’+2s)- xA0’=2s，x’是質(zhì)點A在運動參考系S1’(質(zhì)點B)中的坐標(biāo)值。

非保守力f’對質(zhì)點B作的耗散功有效值:

(30)

拉力T作非耗散功:

即

將拉力T作的牽連功(非耗散功):AT牽2=AT作為未知量。

非保守力對A質(zhì)點作的總牽連功:

Af牽=Af牽1+AT牽2=μmgs+AT牽2(31)

非保守力對A質(zhì)點作的總耗散功有效值:

Af耗散=Af耗散1+AT耗散2=-μmgs (32)

非保守反作用力作的總耗散功有效值:

Af耗散反=Af耗散反1+AT耗散反2=-μmgs(33)

將(27)、(31)～(33)式代入質(zhì)點的新動能定理(2)式得:

μmgs+AT牽2-μmgs-μmgs=EK-EK0

A質(zhì)點作勻速運動，使EK-EK0=0，代入上式解得:AT牽2=μmgs

答:……。

3 結(jié)語

從上列應(yīng)用探討過程可以看出，質(zhì)點的新動能定理(2)式能夠反映機械能轉(zhuǎn)移、轉(zhuǎn)換的實際情況，也必然能夠正確的指導(dǎo)實踐。用質(zhì)點的新動能定理(2)式解題一般步驟是:

①選定研究對象、慣性參考系;②建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系;③分析研究對象受力及其反作用力;④列出研究對象受力的牛頓第二定律方程并求解;⑤按照保守力的功、非保守力的功的定義，求出已知力對研究對象在運動全程作的總功、非保守反作用力對施力體作的總耗散功有效值;對研究對象只作非耗散功的力，其作的非耗散功按牽連功計算;⑥將已知量、未知量代入質(zhì)點的新動能定理(2)式，求解出未知量。

參考文獻

[1]楊勇.新功能理論研究[J].教師教育科學(xué)，2010，5:9～11.

[2]趙景員，王淑賢，力學(xué)[M].北京:人民教育出版社，1980:239～246.

[3]楊勇.論對系統(tǒng)功能原理的推論[J].陜西師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2002，30:24～26.

[4]楊勇.作用力作功、反作用力也作功:制造業(yè)自動化，2009，12:126～128.

[5]上海師范大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)物理系編.物理學(xué)(力學(xué))[M].上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1978:530～537.

[6]楊勇.關(guān)于系統(tǒng)功能原理推論的證明與推廣[J].陜西師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2005，33:12～15，292.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文