廣東省廣州市天河中學(xué)(510000)易麗萍

山西省蒲縣鴻橋中學(xué)(041299)張文麗

對(duì)知識(shí)過(guò)程性探索的思考—記《十字相乘法》引入部分的教學(xué)

廣東省廣州市天河中學(xué)(510000)易麗萍

山西省蒲縣鴻橋中學(xué)(041299)張文麗

十字相乘法是一種重要的因式分解方法,作為中學(xué)廣泛應(yīng)用的一種恒等變形,它在思維上給學(xué)生帶來(lái)延續(xù)性的影響.教材中此部分內(nèi)容隨著課程標(biāo)準(zhǔn)的改變,從“必學(xué)內(nèi)容”調(diào)整為現(xiàn)在的“閱讀與思考”,筆者嘗試對(duì)比幾輪不同的執(zhí)教方式,反思十字相乘法引入部分的教學(xué),思考如何讓學(xué)生在課堂活動(dòng)中主動(dòng)探索十字相乘法的形成過(guò)程,達(dá)到獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的.

一、引思

在前幾輪的執(zhí)教中,筆者均在“提取公因式”、“公式法”方法的復(fù)習(xí)后,直接進(jìn)入“十字相乘法”的教學(xué),為達(dá)到讓學(xué)生快速掌握運(yùn)算方法的目的,往往把“十字分解圖”和盤托出,再通過(guò)大量的技能訓(xùn)練,強(qiáng)化學(xué)生的運(yùn)算能力.這種直接教學(xué)法過(guò)于突出了公式特點(diǎn)記憶和強(qiáng)化套用練習(xí),弱化了學(xué)生對(duì)十字相乘法的探索過(guò)程,導(dǎo)致學(xué)生并不清晰學(xué)習(xí)“十字相乘法”的起源、意義以及作用,不利于學(xué)生對(duì)知識(shí)內(nèi)在的深度認(rèn)知和優(yōu)化思考.

十字相乘法因式分解是整式乘法的逆向思維.求導(dǎo)過(guò)程的完善,其中滲透了數(shù)學(xué)建模的思想,基于這點(diǎn)考慮,筆者結(jié)合新一輪的教學(xué)要求,多方參考,嘗試新的引入方式,以符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的形式切入新知識(shí)進(jìn)行探索,追求學(xué)生“知其所以然”的課堂學(xué)習(xí)境界.

二、十字相乘法教學(xué)引入設(shè)計(jì)

(一)設(shè)計(jì)過(guò)程

1.第一稿.基于“整式的乘法”與“因式分解”是方向相反的運(yùn)算,初稿引入部分設(shè)計(jì)如下:

環(huán)節(jié)一:知識(shí)回顧:(學(xué)生獨(dú)立完成,教師巡視批改后點(diǎn)評(píng),師生找規(guī)律)

1.計(jì)算:題組一

2.逆向計(jì)算,展示題組二:

此稿設(shè)計(jì)初衷是:期望通過(guò)四組計(jì)算題開展對(duì)比教學(xué),讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)二次三項(xiàng)式的特點(diǎn),并歸納出“十字相乘法”.但仔細(xì)推敲這種設(shè)計(jì)后,筆者感覺這種引入過(guò)于直接,目的性太明顯,且技能訓(xùn)練色彩濃,學(xué)生從中獲得的主要是示范模仿的能力,至于“為什么要學(xué)十字相乘法”、“十字相乘法的優(yōu)越性是什么”、“怎樣探索十字相乘法”,設(shè)計(jì)中沒有設(shè)置任何思考空間.即:沒有解決是什么、為什么、怎么辦的問(wèn)題.

2.第二稿.在與備課組老師交流后,筆者將引入部分調(diào)整為:

學(xué)生口答:乘法計(jì)算:(學(xué)生計(jì)算,教師點(diǎn)評(píng),師生共找規(guī)律)

小結(jié):(x+p)(x?q)的結(jié)果中,一次項(xiàng)系數(shù)是____,常數(shù)項(xiàng)是___.

在一教學(xué)班試講后,聽課老師認(rèn)為,學(xué)生在比較學(xué)習(xí)中能夠發(fā)現(xiàn)規(guī)律,在用規(guī)律分解因式時(shí)體會(huì)到了公式在運(yùn)算中的簡(jiǎn)便性,但仍沒有真正明白學(xué)習(xí)“十字相乘法”的必要性.

3.第三稿.于是筆者再次查閱教材,挖掘教材中與十字相乘法有關(guān)聯(lián)的內(nèi)容,嘗試找到十字相乘法結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的過(guò)程痕跡,以此來(lái)設(shè)計(jì)學(xué)生認(rèn)知知識(shí)的熱點(diǎn),解決教師和學(xué)生心中共同的疑問(wèn).

思考1:既然“整式的乘法”與“因式分解”是方向相反的運(yùn)算,那么教材中:

圖1

這兩部分內(nèi)容是否能夠?qū)Ρ冉虒W(xué),讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)p,q與p+q之間的關(guān)系呢?

思考2:如何在教學(xué)中充分體現(xiàn)“十字相乘法”相對(duì)于其他方法的優(yōu)越性呢?

在以上兩個(gè)問(wèn)題的推動(dòng)下和區(qū)教研員的指導(dǎo)下,筆者在公開課前選取了一種截然不同的引入方式,讓學(xué)生明確為什么要學(xué)習(xí)“十字相乘法”:

【課前閱讀材料】(學(xué)生課前自主閱讀,小組探討十字相乘法運(yùn)算的簡(jiǎn)潔性和必要性)

因式分解:

……

(4)x2+5x+6=?

解:分析:將x2+5x+6轉(zhuǎn)化為利用完全平方公式嘗試因式分解.

試一試:因式分解x2?2x?15

環(huán)節(jié)二、整式乘法中的規(guī)律:

1.學(xué)生口答:乘法計(jì)算:

(1)(x?2)(x+3)=___

(2)(x+2)(x?3)=____

(3)如圖,(x+p)(x+q)=___

圖2

小結(jié):(x+p)(x+q)的結(jié)果中,一次項(xiàng)系數(shù)是____,常數(shù)項(xiàng)是____.

2.確定下列各式中的m值:

(1)(x+2)(x+3)=x2+mx+6,則m=___.

(2)(x+1)(x+6)=x2+mx+6,則m=____.

因授課班級(jí)學(xué)生各方面能力屬中等水平,所以授課時(shí)將引入部分作為閱讀材料,在課前由學(xué)生自主閱讀、小組自行討論認(rèn)知.在自我閱讀和小組共學(xué)的過(guò)程中,學(xué)生發(fā)現(xiàn),材料中的這類二次三項(xiàng)式不能直接用“提取公因式”和“公式法”分解因式,但只需要稍作變形,就可以用完全平方公式和平方差公式共同完成因式分解,不足之處是運(yùn)算過(guò)程過(guò)于復(fù)雜,稍不留神就易出錯(cuò),計(jì)算時(shí)需要足夠的細(xì)心和耐心.學(xué)生在實(shí)際操作的過(guò)程中主動(dòng)產(chǎn)生“我們需要更加便捷快速的方法來(lái)進(jìn)行因式分解”的迫切性,從而解決為什么學(xué)的問(wèn)題.

接著筆者再安排學(xué)生回顧整式乘法,從找規(guī)律的視角探討如何學(xué)的問(wèn)題.利用學(xué)生已有的多項(xiàng)式乘法知識(shí)基礎(chǔ)和本身的操作經(jīng)驗(yàn),引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)字規(guī)律抽象出字母規(guī)律,從多項(xiàng)式乘法規(guī)律歸納出十字相乘法運(yùn)算的特征,順利解決“為什么學(xué)”與“如何學(xué)”的問(wèn)題,感悟知識(shí)的形成過(guò)程,讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不單具備“技能訓(xùn)練”的外殼,更能夠擁有“思想意識(shí)”的內(nèi)在.

(二)實(shí)施效果的思考

從公開課開展的情況來(lái)看,學(xué)生在引入設(shè)計(jì)的鋪墊和指引下,親身體會(huì)十字相乘法比完全平方公式加平方差公式的方法更有解題優(yōu)勢(shì),迂回的“閱讀材料”反而激發(fā)了學(xué)生對(duì)“十字相乘”這一方法的學(xué)習(xí)興趣——便捷實(shí)用,從而產(chǎn)生了課堂學(xué)習(xí)中主動(dòng)求知、建構(gòu)、應(yīng)用的積極行為,并在自我的行為中獲得做數(shù)學(xué)的能力.

教學(xué)實(shí)踐的效果表明,只關(guān)注技能訓(xùn)練的教學(xué)在學(xué)生學(xué)習(xí)的短期效益中優(yōu)勢(shì)明顯,且對(duì)教師來(lái)說(shuō),此類教學(xué)方式不需要太多的思考,比較省事.然而學(xué)生一旦進(jìn)入需要思維深度的學(xué)習(xí)中,往往缺乏持久性地競(jìng)爭(zhēng)能力和耐力,教師亦然.讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程,對(duì)學(xué)生的自主發(fā)現(xiàn)意識(shí)的培養(yǎng)有著重要的意義,有興趣才有動(dòng)力開展學(xué)習(xí)研究,這應(yīng)該就是學(xué)生和教師教學(xué)相長(zhǎng)的源動(dòng)力吧.

三、反思結(jié)語(yǔ)

過(guò)程是學(xué)生學(xué)習(xí)的重心,知其然而不知其所以然的學(xué)習(xí)和教學(xué)將缺乏后續(xù)的延展能力.教學(xué)應(yīng)多為學(xué)生提供呈現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)、創(chuàng)造數(shù)學(xué)交流的環(huán)境、充足的探索知識(shí)產(chǎn)生和發(fā)展過(guò)程的時(shí)間、展示學(xué)習(xí)成果個(gè)舞臺(tái),著眼于為什么學(xué),如何學(xué),落實(shí)課堂中學(xué)生對(duì)知識(shí)的過(guò)程性研究,促使學(xué)生在實(shí)踐、操作、交流、碰撞、感悟、思考、總結(jié)后,從本質(zhì)上真正認(rèn)識(shí)知識(shí)的內(nèi)在實(shí)質(zhì),讓學(xué)生的學(xué)習(xí)、教師的教學(xué)都能更加深入,更加有價(jià)值.

[1]蔡金法,聶必凱,許世紅.做探究型教師[M].北京師范大學(xué)出版社, 2015年版.