摘要：討論工程型人才培養(yǎng)的課程定位，通過(guò)闡述離散數(shù)學(xué)自編教材，介紹針對(duì)工程型計(jì)算機(jī)本科專業(yè)的課程內(nèi)容取舍，探討離散數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)方法，并進(jìn)行了深入的思考。
　　關(guān)鍵詞：離散數(shù)學(xué)；工程型；教學(xué)改革
　　
　　離散數(shù)學(xué)是計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)的重要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，其關(guān)于對(duì)象狀態(tài)及其變換描述的形式化和離散性特征，為計(jì)算系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)問(wèn)題求解提供了強(qiáng)有力的基本手段。所以，其基本概念都可以在計(jì)算機(jī)的各個(gè)領(lǐng)域中找到。該課程對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算機(jī)思維能力有重要意義。筆者結(jié)合軍校工程型大學(xué)的實(shí)際教學(xué)工作，探討了工程型計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)人才培養(yǎng)中離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)中的一些問(wèn)題。
　　1課程定位
　　教育部高等學(xué)校計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)2009年編制的《高等學(xué)校計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)核心課程教學(xué)實(shí)施方案》[1]中，將人才培養(yǎng)分為科學(xué)型、工程型和應(yīng)用型3種，計(jì)算機(jī)專業(yè)這3種類型人才的教育將分別關(guān)注教育內(nèi)容中的知識(shí)和問(wèn)題求解方法的不同形態(tài)的內(nèi)容，如圖1所示。
　　根據(jù)3種不同類型人才的專業(yè)素養(yǎng)與能力要求，以及其他相關(guān)專業(yè)課程的教學(xué)需要，離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)要求也具有不同的定位，如表1所示。
　　科學(xué)型人才的培養(yǎng)目標(biāo)要求學(xué)生具有堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，較強(qiáng)的抽象思維、形式化描述、推理和分析能力；工程型人才培養(yǎng)目標(biāo)要求學(xué)生具有堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，能夠綜合應(yīng)用相關(guān)的理論分析和解決實(shí)際問(wèn)題；應(yīng)用型工程型人才培養(yǎng)目標(biāo)要求學(xué)生能夠熟練運(yùn)用典型的離散模型，進(jìn)行系統(tǒng)的建模和集成。
　　2教材案例
　　教材建設(shè)是教學(xué)改革的重要內(nèi)容之一，是教學(xué)組織工作的基礎(chǔ)。基于上述理念與原則，作者對(duì)《離散數(shù)學(xué)》[2](高等學(xué)校計(jì)算機(jī)教育規(guī)劃教材)進(jìn)行了修訂。該教材涵蓋集合論、數(shù)理邏輯、組合論、圖論、抽象代數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，可滿足計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)工程領(lǐng)域(工程型)高層次人才的需求，用離散結(jié)構(gòu)的理論和方法對(duì)實(shí)際系統(tǒng)進(jìn)行描述、分析的基本數(shù)學(xué)需求。
　　在這個(gè)知識(shí)框架中，離散數(shù)學(xué)課程劃分為10個(gè)知識(shí)單元，分成三個(gè)層次。第一層的4個(gè)核心知識(shí)單元與工程型一樣，即集合關(guān)系與函數(shù)、基本邏輯、圖與樹(shù)、基本計(jì)數(shù)，分別包含通常離散數(shù)學(xué)中的集合論、數(shù)理邏輯、圖論、組合數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)部分。第二層的兩個(gè)推薦知識(shí)單元是特殊的圖、代數(shù)結(jié)構(gòu)，分別包含圖論、代數(shù)結(jié)構(gòu)中的重要內(nèi)容，這些知識(shí)單元之間相互比較獨(dú)立。第三層的3個(gè)可選知識(shí)單元是形式系統(tǒng)、高級(jí)計(jì)數(shù)、初等數(shù)論，包含了數(shù)理邏輯、組合學(xué)和初等數(shù)論中的部分內(nèi)容，這些知識(shí)單元之間也是比較獨(dú)立的。從知識(shí)結(jié)構(gòu)上，還需要一個(gè)關(guān)于證明技術(shù)的單元，包含離散數(shù)學(xué)中經(jīng)常使用的證明方法，如數(shù)學(xué)歸納法、邏輯演算、構(gòu)造性證明、反證法、歸約證明等。但在教學(xué)安排上，可以將證明技術(shù)分散到有關(guān)的知識(shí)單元中講授。
　　對(duì)比科學(xué)型人才培養(yǎng)目標(biāo)，該教材包括了集合基數(shù)，但缺少一階邏輯形式系統(tǒng)的一致性、合理性、完備性證明，計(jì)算理論(遞歸函數(shù)、原始遞歸函數(shù)、圖靈機(jī)、圖靈可計(jì)算函數(shù))等內(nèi)容。該教材涵蓋應(yīng)用型人才培養(yǎng)目標(biāo)的全部?jī)?nèi)容包括集合、關(guān)系與函數(shù)，基本邏輯，圖與樹(shù)，特殊的圖，證明技術(shù)，基本計(jì)數(shù)，代數(shù)系統(tǒng)簡(jiǎn)介，初等數(shù)論。
　　3學(xué)習(xí)方法
　　在明確課程定位以及有相應(yīng)的教材支撐之后，結(jié)合實(shí)際教學(xué)，筆者從以下幾個(gè)方面對(duì)離散數(shù)學(xué)的教學(xué)方法和手段作了探討。
　　3.1深刻理解“數(shù)學(xué)內(nèi)涵”
　　一個(gè)本質(zhì)上簡(jiǎn)單的學(xué)科卻難于學(xué)習(xí)。有些困難是表面的，其一是詞匯。數(shù)學(xué)家用一些對(duì)普通人很生僻的詞來(lái)表達(dá)從實(shí)際事物中抽象出來(lái)的概念。如“四邊形”和“平行四邊形”有一些在其他領(lǐng)域遇不到的特定的精確含義，要研究數(shù)學(xué)就得學(xué)著用。另一個(gè)看得見(jiàn)的，但同樣是表面的困難是使用符號(hào)。我們要解決問(wèn)題，以某些給定的信息為基礎(chǔ)決定一個(gè)未知數(shù)。設(shè)此未知數(shù)是某一個(gè)長(zhǎng)度為尺計(jì)的數(shù)字。用x去代表這個(gè)長(zhǎng)度，而在以后就只用符號(hào)x而不去說(shuō)這么長(zhǎng)一句話，肯定是有利的。然而使用符號(hào)不會(huì)產(chǎn)生任何概念上的困難。
　　人們?cè)O(shè)想到的第三個(gè)困難是抽象性。但是由于基本的抽象或概念是直接來(lái)自日常經(jīng)驗(yàn)的，人們心中很容易保存它們的含義。事實(shí)上，數(shù)學(xué)家不斷地訴諸物理對(duì)象和物理圖像，以便不忘記這些抽象概念的含義。古希臘數(shù)學(xué)家用小石子代表各類對(duì)象，用小石子學(xué)會(huì)了自然數(shù)的基本事實(shí)。順便說(shuō)一下，“計(jì)算”一詞，廣義地表示任一個(gè)算術(shù)或代數(shù)過(guò)程，它的英文Calculus的拉丁語(yǔ)源就是小石子。甚至更高級(jí)的數(shù)學(xué)抽象，如微積分學(xué)中所學(xué)的導(dǎo)數(shù)和積分，說(shuō)到底離這些初等概念僅一步之隔，甚至微積分的概念也有圖像的物理的意義。要學(xué)會(huì)這些抽象概念，比學(xué)習(xí)初等概念并不要求更高的智力。
　　數(shù)學(xué)的完成形式是一系列概念、一系列程序，例如求解某種類型方程的方法。另外還有一系列事實(shí)，例如定理。當(dāng)然，程序和定理都要通過(guò)證明來(lái)確認(rèn)。要想教會(huì)人這些數(shù)學(xué)的元素，最容易的方法莫過(guò)于用這些概念、過(guò)程、定理與證明的最終的、確定的形式去教學(xué)生。但是數(shù)學(xué)是一門老學(xué)科，它的某些重大的成就可以追溯到公元前三千年。過(guò)去五千多年里，數(shù)學(xué)家極大地?cái)U(kuò)大了這個(gè)學(xué)科的領(lǐng)域，當(dāng)他們不斷認(rèn)識(shí)了新的客體和現(xiàn)象，當(dāng)他們不斷改進(jìn)自己的理解，他們也就重塑了這些概念、程序與證明，來(lái)把這些成就組合起來(lái)。這些訂正了的版本有許多就不再清晰易懂了。
　　此外，數(shù)學(xué)的分量在增加，最好把它組織起來(lái)，使關(guān)于同一主題的許多定理有合邏輯的次序。每一門學(xué)科的基礎(chǔ)是公理，后面就是一串定理，每一個(gè)定理都用公理和前面已證的定理來(lái)證明。把結(jié)果按這樣的合于邏輯的次序來(lái)安排，這種需要就要迫使數(shù)學(xué)家找出新的、不甚自然、不甚明白的證明。結(jié)果是許多證明都被除去了它們的直觀、透明和易于理解的面貌，而被十分人為的證明代替了。
　　表述上的有效性似乎導(dǎo)致忽視數(shù)學(xué)的另一個(gè)特點(diǎn)，而這個(gè)特點(diǎn)對(duì)于理解數(shù)學(xué)卻是至關(guān)重要的。數(shù)學(xué)本身是一副骨骼。數(shù)學(xué)的血肉和生命在于用數(shù)學(xué)做什么。有意義的數(shù)學(xué)要為一種目的服務(wù)，這種目的用笛卡兒的話來(lái)說(shuō)，就是使人成為大自然的主人和占有者。數(shù)學(xué)的意義在于數(shù)學(xué)本身之外，正如好的文學(xué)作品的意義在于紙面上文字的堆積之外。要懂得數(shù)學(xué)，就要知道為什么需要這個(gè)結(jié)果，它和其他結(jié)果關(guān)系如何，用它可以做些什么事。
　　由于學(xué)校的目的和義務(wù)繁多，有時(shí)能夠，有時(shí)又不能夠給數(shù)學(xué)一種更有啟發(fā)性的講法。有志于此的學(xué)生必須要走得遠(yuǎn)一些，尋求一種完全的知識(shí)。要對(duì)數(shù)學(xué)有較徹底的理解與領(lǐng)會(huì)，就必須去掉那些纖巧的細(xì)節(jié)，深入到其深層的思想之中；要知道它的目的和用處，知道創(chuàng)造它的人們的動(dòng)機(jī)，以及這些概念和結(jié)構(gòu)的創(chuàng)生背景。
　　3.2學(xué)會(huì)創(chuàng)造性思維
　　創(chuàng)造性的活動(dòng)，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)則是再創(chuàng)造的活動(dòng)，是數(shù)學(xué)的心臟。正是在這種活動(dòng)中，數(shù)學(xué)家創(chuàng)造了最高成就，克服了困難，并使數(shù)學(xué)這門學(xué)科取得了最有意義的進(jìn)展。創(chuàng)造過(guò)程不僅在解決已有問(wèn)題時(shí)必不可少。沒(méi)有新觀點(diǎn)、新研究方法和新目標(biāo)的創(chuàng)造，數(shù)學(xué)就會(huì)反反復(fù)復(fù)重新組織老的證明，使它們更加嚴(yán)格，在這樣的過(guò)程中日趨枯竭，喪失生命力。對(duì)已經(jīng)得到的知識(shí)，重新排列其步驟，安排其定理的次序來(lái)構(gòu)成一個(gè)演繹的組織，這時(shí)常需要?jiǎng)?chuàng)意，但從總體上說(shuō)，這更像是把書(shū)本重新排一個(gè)次序，而創(chuàng)造的活動(dòng)，卻可以比作寫(xiě)書(shū)。數(shù)學(xué)給人的滿足——獲得獵物時(shí)的興奮，發(fā)現(xiàn)的激動(dòng)、成就的感覺(jué)以及成功時(shí)的歡樂(lè)——更多更強(qiáng)烈的是在創(chuàng)造性的工作之中，而不是在最后按演繹的模式來(lái)重寫(xiě)論證之中。
　　數(shù)學(xué)中有許多美的篇章。無(wú)疑，數(shù)學(xué)家從事數(shù)學(xué)活動(dòng)也能獲得其他創(chuàng)造活動(dòng)提供的滿足感，但是偉大的數(shù)學(xué)家情愿把數(shù)學(xué)的美作為一種額外報(bào)償，激勵(lì)他們奮斗的最深層的動(dòng)力，則是以數(shù)學(xué)為媒介，在人類的探索活動(dòng)中理解宇宙，也理解人類自身在其中的角色，并且探求如何利用自然現(xiàn)象和自然的力量為人類服務(wù)。那些作出巨大貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家們，像阿基米德、牛頓、拉格朗日、拉普拉斯、高斯、哈密爾頓、龐加萊，或者是一流的物理學(xué)家，或者在科學(xué)史中占據(jù)顯要地位，決不是偶然的。幾乎所有數(shù)學(xué)的目的和意義并不在于對(duì)于一堆符號(hào)作一系列的邏輯闡述，而在于這些符號(hào)必定告訴我們關(guān)于外部世界的一些知識(shí)。
　　
　　4思考與建議
　　離散數(shù)學(xué)是計(jì)算機(jī)科學(xué)系所有專業(yè)的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程。一方面是因?yàn)槠溆袑?shí)用性(應(yīng)用數(shù)學(xué)的特征)，另一方面是因?yàn)槠溆斜旧碜鳛閿?shù)學(xué)基礎(chǔ)課的理論的嚴(yán)謹(jǐn)性[3]。所以，學(xué)習(xí)任何一個(gè)專題時(shí)，首先要精確嚴(yán)格地掌握好概念和術(shù)語(yǔ)，正確理解他們的內(nèi)涵和外延。因?yàn)楣?、定理或定律的基石都是概念。只有正確地理解了概念，才能把握定理的實(shí)質(zhì)，熟練地將公理、定理應(yīng)用于解決問(wèn)題。完全地、精確地掌握一個(gè)概念的好主意，是首先要深刻理解概念的內(nèi)涵，然后舉一些屬于和不屬于該概念外延的正反兩方面的實(shí)例。如果對(duì)一些似是而非的例子也能辨別的話，應(yīng)該說(shuō)這個(gè)概念是真正地理解了。對(duì)一些重要的概念，能記住一兩個(gè)實(shí)例也很管用。這對(duì)牢固掌握一個(gè)概念是很有好處的。
　　讀者應(yīng)養(yǎng)成一種自覺(jué)的學(xué)習(xí)習(xí)慣，就是首先要掌握好基本概念和術(shù)語(yǔ)，在此基礎(chǔ)上，理解每個(gè)基本定理的本質(zhì)，最后，通過(guò)學(xué)習(xí)和借鑒書(shū)中提供的例題，獨(dú)立地完成每一次作業(yè)，并且在每次作業(yè)完成之后，能自覺(jué)地歸納出其中用到的基本解題方法。注意，千萬(wàn)不要在完全理解相關(guān)概念和基本定理之前就匆忙去做相應(yīng)的習(xí)題。
　　學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一途徑是實(shí)踐。僅看別人怎么做，是不可能學(xué)會(huì)彈吉他或投籃的，也不可能僅靠閱讀本書(shū)或聽(tīng)課就學(xué)好離散數(shù)學(xué)。必須積極主動(dòng)地思考。在閱讀數(shù)學(xué)書(shū)時(shí)，應(yīng)該在手頭隨時(shí)備好筆和紙，以便進(jìn)行詳細(xì)的推導(dǎo)和計(jì)算。在聽(tīng)數(shù)學(xué)課前，最好先閱讀有關(guān)的內(nèi)容，這樣，就可以專注于對(duì)內(nèi)容的理解是否與教授的理解相一致，還可以就一些難點(diǎn)提問(wèn)。本書(shū)中有很多習(xí)題，有些是純粹的計(jì)算題，有些測(cè)試對(duì)概念的理解，有些要求給出論證，建議讀者多做習(xí)題。
　　學(xué)習(xí)和理解術(shù)語(yǔ)也很重要。在數(shù)學(xué)中，傳統(tǒng)的做法是對(duì)一些簡(jiǎn)單、常見(jiàn)的詞匯賦予特殊的含義，如集合、函數(shù)、關(guān)系、圖、樹(shù)、網(wǎng)絡(luò)。這些詞都有嚴(yán)格的定義，必須認(rèn)真學(xué)習(xí)。否則就不能理解在書(shū)中讀到的內(nèi)容和教授所講述的課程。術(shù)語(yǔ)有助于有效地與別人共享信息。在現(xiàn)實(shí)生活中，僅僅簡(jiǎn)單地計(jì)算出某些東西往往不夠，還必須能夠向別人解釋，使別人確信你的解是正確的。
　　
　　參考文獻(xiàn)：
　　[1] 教育部高等學(xué)校計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì). 高等學(xué)校計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)核心課程教學(xué)實(shí)施方案[M]. 北京:高等教育