一般來講，世界上存在的各種系統(tǒng)可以分為兩大類：簡單系統(tǒng)和復雜系統(tǒng)。在簡單系統(tǒng)中，局部的微小變化只會引起整個系統(tǒng)的微小變化，所以是可預測的。復雜系統(tǒng)則不同，其主要特點是：從內(nèi)部看，它是由相互關聯(lián)的部分所組成；從整體看，它可以展現(xiàn)出一種或多種特性，而這種特性是組成系統(tǒng)的每個單獨部分所不具有的。復雜系統(tǒng)在計算機科學、生物學、經(jīng)濟學、物理學等許多領域都有廣泛的應用。復雜系統(tǒng)又可以分成很多不同的類型。一個典型的例子是混沌，對于混沌系統(tǒng)，初始條件的微小變化就可能導致整個系統(tǒng)進入完全不可預測的狀態(tài)。而沙堆模型研究的對象則是另一類稱為“自組織臨界系統(tǒng)”的復雜系統(tǒng)。這種系統(tǒng)的特點是能通過內(nèi)部的自發(fā)演化而達到某種臨界狀態(tài)（比較不嚴格地講，可以把臨界狀態(tài)想象成為“量變引起質(zhì)變”的轉(zhuǎn)折點）。
　　大概有不少人在小時候都玩過沙子。如果我們將沙子一把一把地往同一個地方撒，那里就會逐漸形成一座小沙堆。開始的時候沙堆不斷增高，但到了一定的高度后，再撒上一把，沙堆不但不增高，反而會出現(xiàn)滑坡現(xiàn)象（在自組織臨界系統(tǒng)研究的“行話”里，統(tǒng)稱這類現(xiàn)象為“雪崩”）?；聛淼纳匙拥臄?shù)量沒有一定規(guī)律，可能是一大片，也可能只有幾粒。我們雖然無法預測當一把沙子撒下去后會引起多大規(guī)模的滑坡，但可以肯定的是，出現(xiàn)小規(guī)?；碌目赡苄砸瘸霈F(xiàn)大規(guī)?；碌目赡苄源蠛芏?。如果重復很多次這種“造山—滑坡”實驗，我們就能對出現(xiàn)的不同規(guī)模的滑坡的數(shù)量進行統(tǒng)計。但是用真正的沙子來進行這項實驗是很難的，因為有許多外界因素無法控制。于是巴克（Per Bak，1948—2002）和他的博士后湯超及維森菲約德（Kurt Wiesenfeld）一起構造了沙堆模型（一九八七），從而開創(chuàng)了自組織臨界現(xiàn)象研究的新天地。
　　沙堆模型以一個類似于圍棋盤的二維格點為基礎，棋子可被隨機放入任意一個格子里，而且允許棋子上面摞棋子。規(guī)則是一旦一個格子里的棋子摞到四個，這四個棋子就自動移到與其相鄰的四個格子里，每個格子得到一個棋子（我們姑且把這種重新分配叫做“坍塌”）。如果一個棋子正好被移出棋盤，它就算離開了這個系統(tǒng)，不再予以考慮。當棋盤很空的時候，新加入一個棋子不會引起什么大的反應，基本上這個棋子落在哪兒就會待在那里，除非那里正好已經(jīng)有三個棋子，則新棋子的加入就會觸發(fā)一次“坍塌”。不過這個“坍塌”只會對周圍很小的區(qū)域有所影響。但當棋盤已經(jīng)相對比較滿時，情況就會大為不同。
　　我們可以把“坍塌”的次數(shù)定義為“雪崩”的強度，在進行很多次（比如說一百萬次）之后，就能得到非常有意義的統(tǒng)計數(shù)據(jù)。經(jīng)過對這些數(shù)據(jù)的分析，巴克等人發(fā)現(xiàn)不同“雪崩”強度出現(xiàn)的次數(shù)N與“雪崩”強度E之間的關系遵從冪數(shù)律N～E-a。沙堆模型的a大約為1.1。在物理學里，當一個系統(tǒng)滿足冪數(shù)律時，通常意味著這個系統(tǒng)是處于某種臨界狀態(tài)。另一方面，如果一個系統(tǒng)中某個內(nèi)部單元的變化不局限于其周邊而能引起整個系統(tǒng)的重構，這樣的系統(tǒng)被定義為具有自組織的特性。沙堆模型這類具有自組織特性并能通過內(nèi)部自發(fā)演化達到臨界狀態(tài)的系統(tǒng)就被稱為自組織臨界系統(tǒng)。
　　沙堆模型的結構極為簡單，任何一個具有一定編程知識的人都可以在自己的個人電腦上實驗它。這正是它的美妙之處，一個如此簡單的模型卻具備了復雜系統(tǒng)最本質(zhì)的特性，簡單與復雜的辯證關系在這里體現(xiàn)得淋漓盡致。如果把新加入一個棋子所引起的“雪崩”強度（即“坍塌”數(shù)目）等價于往沙堆上加一把沙子所引起的滑坡規(guī)模，抽象的沙堆模型就與真實的沙堆連在一起了。當然，要想最終證實沙堆模型能正確描述真實的沙堆，必須有物理實驗的支持。由于每粒沙子的形狀、大小、重量各異，再加上濕度對實驗結果也有很大影響，用沙子做這項實驗很困難。有關沙堆模型的一個很漂亮的實驗是由挪威奧斯陸大學的一個研究小組在一九九五年用大米做的。他們讓大米以均勻的速度落在圓形的平盤上，用高速攝像機監(jiān)測“雪崩”在二十四小時內(nèi)發(fā)生的次數(shù)和強度，得到的數(shù)據(jù)直接存入電腦。經(jīng)過整整一年在不同大小的圓形平盤（相當于不同大小的系統(tǒng)）上重復進行實驗，他們獲得了足夠的數(shù)據(jù)，證實米堆的確會達到自組織臨界狀態(tài)，而且“雪崩”強度的分布真的遵從冪數(shù)律！
　　如果自組織臨界現(xiàn)象僅與沙堆或米堆有聯(lián)系，大概并不會引起人們太多的關注。然而它卻出現(xiàn)于許多令人意想不到的領域中。地震就是一個絕好的例子。如果把地殼某處出現(xiàn)斷層等價于某個格子里發(fā)生“坍塌”，再把地震的級數(shù)等價于“雪崩”的規(guī)模，地震就和沙堆模型連在一起了。在地震研究中，古騰堡-芮希特定律具有很重要的意義，它告訴我們在給定時間內(nèi)不同強度的地震平均發(fā)生的次數(shù)，而且次數(shù)與強度之間的關系恰恰滿足冪數(shù)律（這也正是沙堆模型得到的一個重要結果）。必須特別注意的是，這里所說的地震強度與次數(shù)的關系是統(tǒng)計平均意義下的關系。比如大約平均每年會發(fā)生十次2.5級左右的地震和一次4級左右的地震，但這絕不意味著每發(fā)生十次2.5級左右的地震就會發(fā)生一次4級左右的地震。換句話說，即使一個地方已經(jīng)很久沒發(fā)生過大震，下次地震是大震的可能性也并不會因此而增高。
　　從沙堆模型可以得到一個重要的啟示：對于自組織臨界系統(tǒng)，除非知道每一處細節(jié)部分的狀態(tài)，否則不可能從局部的變化預測整體的變化。以棋盤實驗的例子來說，必須知道每個格子里已經(jīng)有幾粒棋子，才有可能預測在某個特定格子里新加入一粒棋子會不會引起“雪崩”以及“雪崩”的規(guī)模會有多大。再加上對于真實的系統(tǒng)（比如地震），我們甚至連下一粒棋子會落入哪個格子里都不確定，要想對系統(tǒng)進行預測就幾乎是不可能的了。地震預測就有點類似于這種情況。地殼運動造成斷層是引發(fā)地震的原因之一，人們可以選定一些地方對地層變化（比如應力）進行監(jiān)測。但是即使測到某處已達到發(fā)生斷裂的臨界狀態(tài)，仍然不能斷定什么時候會真的發(fā)生斷裂，就像不知道“下一個棋子會落入哪里”一樣。而且就算這里真的斷裂了，如果不知道其他所有相關地方的狀態(tài)，人們還是無法預知被引發(fā)的地震的強度。這大概就是為什么地震預測一直是個老大難問題的根本原因。
　　除了地震，地貌形成、山體滑坡、河流分支、太陽黑子活動、1/f噪音、商品及股票市場價格的漲落、交通堵塞、生物進化及大規(guī)模物種滅絕等等許多問題都與自組織臨界現(xiàn)象有著密切的關聯(lián)。沙堆模型及其“變種”被廣泛應用于這些領域，獲得了大量很有意義的成果。更有意思的是，這些模型往往能把兩個看似風馬牛不相及的系統(tǒng)聯(lián)系在一起，從而凸顯出它們的內(nèi)在共性和可類比性。這方面一個很好的例子是，日本學者伊