韓素芳,黃 磊

(1.云南民族大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院昆明650013;2.中興通訊三亞研究所,海南三亞572000)

雙二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型下雙險(xiǎn)種的破產(chǎn)概率

韓素芳1,黃 磊2

(1.云南民族大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院昆明650013;2.中興通訊三亞研究所,海南三亞572000)

復(fù)合二項(xiàng)模型假定在每一單位時間內(nèi)索賠或者不發(fā)生,或者只發(fā)生一次.在經(jīng)典的復(fù)合二項(xiàng)模型中,保險(xiǎn)公司按照單位時間常速率收取保費(fèi)(假定每張保單的保險(xiǎn)費(fèi)相等).但在實(shí)際中,不同單位時間所收取的保單數(shù)常常不一樣,是一個隨機(jī)變量,可能服從某一離散分布.根據(jù)這一實(shí)際情況,本文將經(jīng)典的復(fù)合二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型推廣,將保單收入過程推廣為一個與索賠過程獨(dú)立的二項(xiàng)過程.這樣,盈余過程包含兩個二項(xiàng)過程.

風(fēng)險(xiǎn)理論;復(fù)合二項(xiàng)模型;索賠;盈余

1 模型定義與實(shí)際背景

定義1 設(shè)數(shù)u≥0,c＜0,給定在某完備概率空間(Ω,F,P)上取值于(0,∞)的獨(dú)立同分布隨機(jī)變量Xi:i=1,2…以及具有參數(shù)P的二項(xiàng)隨機(jī)序列{N(n)}∞n=0,P∈(0,1),且{Xi:i=1,2…}與N={N(n)}∞n=0獨(dú)立,令:

模型的實(shí)際背景:在保險(xiǎn)公司的事物中,u(u≥0)可以認(rèn)為是初始資本,c是每單位時間收取的保費(fèi),是公司唯一的收入.n是公司的運(yùn)作時刻,即公司收取保費(fèi)和進(jìn)行賠付均在離散時刻n(n=0,1,2…)進(jìn)行,在完全離散的經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型中,取定一個單位時間a后,可以假定在任意一個時間區(qū)間((n-1,a]中,僅可能出現(xiàn):一方面,或有一個客戶投保,或沒有客戶投保;另一方面,或有一次索賠發(fā)生,或沒有索賠發(fā)生.不失一般性,以下取a=n,即在時間段(n-1,n]中進(jìn)行的一切工作,我們視為在時刻n進(jìn)行.投保人發(fā)生事故后公司對其進(jìn)行理賠是公司唯一支出,記第i次賠付量為Xi,則{Xi}∞n=0為取值于R+的獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列.N(n)為到時刻n時止理賠總次數(shù),S(n)為到時刻n為止的總賠付量,則U(n)是公司在時刻n的盈余資本[2].

定義2 本文在定義1的模型的基礎(chǔ)上推廣定義的模型如下:

模型說明如下:

①u(u≥0)表示保險(xiǎn)公司的初始資本,c1,c2(c1＞0,c2＞0)分別表示兩個險(xiǎn)種的保費(fèi)收取費(fèi)率;

Mi(n)(約定Mi(0)=0)(i=1,2),表示至?xí)r刻n時止第i個險(xiǎn)種的保費(fèi)收取次數(shù),(約定Nj(0)=0)(j=1,2)表示至?xí)r刻n時止第j個險(xiǎn)種所發(fā)生的索賠次數(shù).顯然{Mi(n);n≥0}是以p1(i)(i=1,2)為參數(shù)的二項(xiàng)序列,{Nj(n);n≥0}是以(j=1,2)為參數(shù)的二項(xiàng)序列.

③如果在時間區(qū)間(n-1,n]內(nèi)有索賠發(fā)生,則在該時間區(qū)間內(nèi)的終端由保險(xiǎn)公司支付索賠額,我們以(i=1,2)表示保險(xiǎn)公司所支付的第i個險(xiǎn)種的索賠額.當(dāng)取定一錢幣單位后,可以假定i=1,2)是取正整數(shù)值的隨機(jī)變量,且…,,…(i=1,2)是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列.以下假定(i=1,2)與諸(i=1,2)同分布,并稱之為第i個險(xiǎn)種的個體索賠額.記:μ1=E[X(1)]＜∞,μ2=E[X(2)]＜∞.每次事故索賠額X(i)(i=1,2)的矩母函數(shù)分別為:MX(1)(r)=E[erX(1)],MX(2)(r)=E[erX(2)],r∈(-∞,+∞).

這樣,保險(xiǎn)公司在時刻n的盈余U(n)可表示為:U(n)=u+S(n),n=0,1,2,….為了保證保險(xiǎn)公司的穩(wěn)定經(jīng)營,假定E[Sn]＞0,即:

(iii)若θ=0,則因此在θ＜0和θ=0的情況下,保險(xiǎn)公司必破產(chǎn),故只考慮θ＞0的情形.而破產(chǎn)時刻,最終破產(chǎn)概率分別定義為:τ=inf{U(n)＜0,n≥1},Ψ(u)=P{τ＜∞|U(0)=u}為了強(qiáng)調(diào)對u的依賴關(guān)系,我們有時選用記號Pu{·}=P{·|u(0)=u}.

2 主要結(jié)果

引理1 盈余過程{S(n);n=0,1,2,…}有下列性質(zhì):

(1)S(0)=0;

(2)具有平穩(wěn)獨(dú)立增量;

(4)存在正數(shù)r,使得E[e-rS(n)]＜∞.

引理2 對于盈余過程{S(n);n=0,1,2,…},存在函數(shù)g(r),使得E[e-rS(n)]=eng(r)

故:g(r)

引理3 方程g(r)=0存在唯一的正根R,稱為調(diào)節(jié)系數(shù).

(5)式第一項(xiàng)的分子為:

(5)式第三項(xiàng)的分子為:

由施瓦茲(Schwarz)不等式知:E[(X(1))2erX(1)]·E[erX(1)]-E[(X(1))erX(1)]2≥0,因此上式≥[(X(1))2erX(1)]＞0.而第三項(xiàng)的分母顯然大于0,故第三項(xiàng)大于0.同理可證第四項(xiàng)也大于0.

綜上即得:g(r)＞0,故曲線g(r)在r＞0是下凹的,所以r只要取足夠大的值,一階導(dǎo)數(shù)g(r)將保持為正,從而g(r)在r＞0內(nèi)有唯一極小值點(diǎn),記之為R.

定理1 對于盈利過程{S(n);n=0,1,2,…},定義事件流FS={;t=0,1,2,…},其中=σ{S(n);n≤t=0,1…}是鞅.

證明:對任意的s≤t,由引理2得:

定理2 在風(fēng)險(xiǎn)過程{U(n);n=0,1,2,…},其最終破產(chǎn)概率為節(jié)系數(shù).特別的,Ψ(u)≤e-Ru?u≥0.

證明:由

而:E[e-rU(n)]=e-ru·E[e-rU(n)]=e-ru·eng(r)

(7)-(8)得:

U(n)=U(τ)+c1(M1(n)-M1(τ))+c2(M2(n)M2(τ))-(R1(n)-R1(τ))-(R2(n)-R2(τ))

對于給定的τ,R1(n)-R1(τ),R2(n)-R2(τ)與U(τ)獨(dú)立,且分別服從參數(shù)為:n-r和,n-r和的復(fù)合二項(xiàng)分布,從而:

根據(jù)引理3,選取r=R得:E[e-rU(τ)|τ＜n]·Pu{τ＜n},且此時(6)式可化簡為:

令:n→∞,則(9)式右端第一項(xiàng)變?yōu)?E[e-rU(τ)|τ＜∞]·Pu{τ＜∞}.

因此如果能夠證明當(dāng)n→∞時,(9)式右端第二項(xiàng)趨于0,那么定理即得證.證明如下:

易知:

令:Λ≡u+na+βn2/3,由于a＞0,故只要n充分大,Λ就是正的,而且當(dāng)n→+∞時,Λ→+∞.

現(xiàn)將(9)式右端第二項(xiàng)用u(n)與∧的大小拆成兩項(xiàng),即得:E[e-R·U(τ)|τ≥n]·Pu{τ≥n}

由車貝曉夫(Chebychev)不等式得:

故當(dāng)n→+∞時,n-1/3→0,且當(dāng)n→+∞時,Λ→+∞,因此e-RΛ→0,綜合以上兩點(diǎn)即得:當(dāng)n→+∞時,(10)式右端趨進(jìn)于0.

再因,在{τ＜+∞}上,-R·U(τ)≥0,即得:Ψ(u)≤e-Ru,?u≥0.定理證畢.

[1]W illmot G E.Ruin probability in the compound binomial process[J].Insurance:Mathematics and Economics,1993,12:133-142.

[2]趙飛,王漢興.雙二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)與計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2004,18(2):73-78.

[3]龔日朝,楊向群.復(fù)合二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型下的破產(chǎn)概率[J].吉首大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2000,21(4):41-43.

[4]徐金福,劉再明.廣義復(fù)合二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型下的破產(chǎn)概率[J].數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用,2004,24(1):93-96.

[5]張茂軍,南江霞.保費(fèi)隨機(jī)的復(fù)合二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率[J].科技通報(bào),2005,21(3):367-371.

Ruin Probability of a Double Binomial Risk Model with Two-type Claims

HAN Su-fang1,HUANG Lei2
(1.School of Economics,Yunnan University of nationalities,Kunming 650013,China;2.Zte Sanya institute,Sanya 572000,China)

Compound binomial model assumes that the claim either not occur,or only occurs once each unit of time.In the classical compound binomial model,insurance companies often charge premium rates according to constant rate each unit of time(assuming the same premium perwarranty).However,in practice,the number of warranty charged in different units of time is of ten not the same,it is a random variable,it may be obey discrete distribution.According to the actual situation,this thesis will expand classical compound binomial risk model.the process of the warranty income was expanded to be a binomial process that is independent from a claims process.In this way,the surplus process consists of two processes.

Risk Theory;Compound binomial model;claims;surplus

O29

A

1008-9128(2011)02-0018-05

2010-12-02

國家“973”基金項(xiàng)目(2006CB100206);云南省“十一五”科技重點(diǎn)攻關(guān)項(xiàng)目(2010NG0011)

韓素芳(1982-),女,山東濟(jì)寧人,碩士。研究方向:復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)及數(shù)理金融。

[責(zé)任編輯 張燦邦]