高 洋，韋 濤

(大連民族學(xué)院理學(xué)院學(xué)生遼寧大連 116605)

含有微孔的超彈性球體的徑向增長(zhǎng)問(wèn)題

高 洋，韋 濤

(大連民族學(xué)院理學(xué)院學(xué)生遼寧大連 116605)

橡膠和類(lèi)橡膠材料及其制品在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用非常廣泛，在使用過(guò)程中都會(huì)遇到變形、失穩(wěn)、使用壽命有限以及破壞等問(wèn)題，使得相關(guān)問(wèn)題的研究一直是人們關(guān)注的焦點(diǎn)。從力學(xué)性能上講，這些材料屬于典型的非線(xiàn)性彈性材料范疇。關(guān)于這些材料和結(jié)構(gòu)的有限變形問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型可歸結(jié)為非線(xiàn)性微分方程的初邊值問(wèn)題。專(zhuān)著［1］和文獻(xiàn)［2］對(duì)非線(xiàn)性彈性材料和結(jié)構(gòu)的有限變形問(wèn)題和空穴問(wèn)題的研究進(jìn)展進(jìn)行了詳實(shí)的綜述。相關(guān)的文獻(xiàn)還可參見(jiàn)文獻(xiàn)［3－6］。本文研究了由不可壓縮非線(xiàn)性彈性材料組成的含有微孔的球體在外表面受拉狀態(tài)下的有限變形問(wèn)題，利用最小勢(shì)能原理求得了描述拉伸載荷與微孔增長(zhǎng)之間關(guān)系的表達(dá)式，同時(shí)給出了相應(yīng)的數(shù)值算例，并討論了材料參數(shù)和結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)微孔增長(zhǎng)的影響。

1 數(shù)學(xué)模型的建立及其解

考察一個(gè)由不可壓的非線(xiàn)性彈性材料組成的含有微孔的球體在外表面均布的徑向拉伸載荷p0作用下的球?qū)ΨQ(chēng)變形問(wèn)題。在球坐標(biāo)系下，取球殼變形前后的球坐標(biāo)分別為(R，Θ，Φ)和(r，θ，φ)，球殼所占區(qū)域?yàn)槠渲?a和b分別為球體變形前的微孔半徑和外半徑;r(R)是待定的徑向變形函數(shù)。在球?qū)ΨQ(chēng)變形的假設(shè)下，變形梯度張量F的主伸長(zhǎng)λi(i=1，2，3)分別為其中c≥a是一個(gè)積分常數(shù)，它描述了含有微孔的球體變形后的徑向增長(zhǎng)量。

對(duì)應(yīng)于球體內(nèi)部空穴半徑為a的任意構(gòu)形的總能量為

由于球體受到拉伸載荷的作用，根據(jù)最小勢(shì)能原理，球體可能的平衡位置可由Λ'(x)=0得到。經(jīng)化簡(jiǎn)可得其中:W=W(λ1，λ2，λ3)是不可壓縮非線(xiàn)性彈性材料的應(yīng)變能函數(shù)。式(4)中的第一項(xiàng)是總的應(yīng)變能，第二項(xiàng)表示外表面拉伸載荷所做的功。將式(3)和(4)代入到式(5)，并將其無(wú)量綱化，得到

式(7)描述了不可壓縮非線(xiàn)性彈性材料組成的含有微孔的球體在外表面拉伸載荷p0作用下，微孔增長(zhǎng)p0與之間的精確關(guān)系。然而對(duì)于不同的不可壓縮非線(xiàn)性彈性材料，微孔的增長(zhǎng)的情況也不盡相同。

2 數(shù)值算例

本文考慮不可壓縮Gent－Thomas材料，對(duì)應(yīng)的應(yīng)變能函數(shù)為其中μ1，μ2是材料的無(wú)窮小變形的剪切模量。此

圖1 材料參數(shù)α取相對(duì)較小值時(shí)微孔半徑與拉伸載荷之間的增長(zhǎng)關(guān)系，α=1。

由圖1可見(jiàn)，對(duì)于給定的材料參數(shù)和結(jié)構(gòu)參數(shù)，當(dāng)初始微孔半徑較小時(shí)，隨著拉伸載荷的增加，微孔增長(zhǎng)得很慢，當(dāng)載荷達(dá)到一定值時(shí)，微孔會(huì)突然增長(zhǎng);當(dāng)初始微孔半徑相對(duì)較大時(shí)，隨著拉伸載荷的增加，微孔的增長(zhǎng)會(huì)趨于平緩。

由圖2可見(jiàn)，對(duì)于給定的材料參數(shù)和結(jié)構(gòu)參數(shù)，參數(shù)存在一個(gè)臨界值，當(dāng)時(shí)，隨著拉伸載荷的增加，微孔的增長(zhǎng)會(huì)趨于平緩;然而，當(dāng)時(shí)，隨著拉伸載荷的增加，微孔半徑會(huì)出現(xiàn)跳躍性增長(zhǎng)(這種現(xiàn)象可以用最小勢(shì)能原理來(lái)進(jìn)行解釋)。

圖2 材料參數(shù)α取相對(duì)較大值時(shí)微孔半徑與拉伸載荷之間的增長(zhǎng)關(guān)系，α=3。

［1］FU Y B，OGDEN R W.Nonlinear Elasticity:Theory and Applications［M］.London Math.Society Lecture Note Series 2001.

［2］POLIGNONE D A，HORGAN C O.Cavitation for incompressible anisotropic nonlinearly elastic spheres［J］.外應(yīng)變能函數(shù)(8)也可記為對(duì)于不同的材料參數(shù)，載荷與微孔半徑的增長(zhǎng)關(guān)系如下圖所示:Journal of Elasticity，1993，33(1):27–65.

［3］ YUAN Xuegang，ZHU Zhengyou，CHENG Changjun.Study on cavitated bifurcation problem for spheres composed of hyper－elastic materials［J］.Journal of Engineering Mathematics，2005，51(1):15－34.

［4］袁學(xué)剛.關(guān)于超彈性材料球體中空穴分岔問(wèn)題的研究(Ⅰ)［J］.煙臺(tái)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2005，18(2):79－90.

［5］REN Jiusheng，YUAN Xuegang.Mechanics of formation and rupture of human aneurysm ［J］.Applied Mathematics and Mechanics(English Edition)，2010，31(5):593－604.

［6］NIU Datian，ZHANG You，YUAN Xuegang，et al.Analytic Solutions of Parametric Type and Numerical Simulations of a Class of Nonlinear Ordinary Differential Equations［J］.Applied Mathematical Sciences，2010，4(30):1451－1455.

0343

A

1009－315X(2011)05－0530－02

2010－12－07;最后

2011－07－26

國(guó)家自然科學(xué)基金(10872045)。

指導(dǎo)教師:袁學(xué)剛(1971－)，男，吉林樺甸人，教授，博士，學(xué)校優(yōu)秀學(xué)術(shù)帶頭人，主要從事數(shù)值逼近和非線(xiàn)性微分方程的解法等研究。

(責(zé)任編輯 劉敏)