彭永恒，姜 蕾

(大連民族學院土木建筑工程學院，遼寧大連 116605)

動載下瀝青路面粘彈性體超孔隙水壓力的計算

彭永恒，姜 蕾

(大連民族學院土木建筑工程學院，遼寧大連 116605)

水和荷載作用是瀝青路面早期損壞的主要原因之一，為研究水對瀝青路面的影響，利用積分變換和傳遞矩陣的方法推導了FWD動荷載作用下路基路面層狀粘彈性體超孔隙水壓力軸對稱問題的解析解。通過引入F.durbin方法實現(xiàn)Laplace逆變換的數(shù)值方法，求解了層狀粘彈性體的時域解，并給出了算例。結果證明，該方法概念清晰，公式簡潔，易于應用。

FWD;積分變換;傳遞矩陣;瀝青路面;層狀粘彈性體;超孔隙水壓力

瀝青路面的水損害一直是困擾道路工作者的一個難題。當水沿著瀝青路面的裂縫和空隙滲入到路面結構內部時，在行車荷載作用下，由于水來不及排出而產(chǎn)生超壓狀態(tài)，使路面結構產(chǎn)生剝落、松散，最終導致結構破壞。研究在動載作用下瀝青路面結構滲水后產(chǎn)生的超孔隙水壓力，不僅有一定的理論價值，而且有著重要的實際意義。有關路基路面層狀粘彈體超孔隙水壓力軸對稱問題方面的文章，目前國內外還很少有報告。本文采用粘彈性理論模型［1］，從粘彈性動力學及現(xiàn)代控制論等理論出發(fā)［2］，利用傳遞矩陣法［3］，并引入F.Durbin 的 Laplace逆變換數(shù)值方法［4］，對動荷載作用下層狀粘彈性體超孔隙水壓力軸對稱問題進行了推導，為今后的具體分析工作打下了良好的基礎。該方法概念清晰，公式簡潔，易于應用。

首先從由有效應力及超孔隙水壓力表示的空間軸對稱動力平衡方程、有效應力表示的物理方程及超孔隙水壓力表示的滲流連續(xù)微分連續(xù)方程等關于時間t的LAPLACE變換式出發(fā)，構造基本量(徑向位移u、豎向位移w、超孔隙水壓力u'、剪應力τ、豎向正壓力бz及水流豎向流速ν)關于z及坐標r偏微分之間的矩陣關系式;再對該關系式兩邊進行關于坐標r的HANKEL變換，得到矩陣常微分方程，解此矩陣方程即得到傳遞矩陣;再利用LAPLACE及HANKEL逆變換，通過計算機編程，從而求解超孔隙水壓力軸對稱問題。

1 基于粘彈性理論傳遞矩陣的推導

文中推導過程中的符號約定為:有效應力以拉為正，壓為負;孔隙水壓力以壓為正;位移以拉伸為正。

1.1 動力方程

經(jīng)關于時間t的Laplace變換的用有效應力及超孔隙水壓力表示的空間軸對稱問題動力平衡方程［5］為(在不計體力)

1.2 關于時間t的Laplace變換的滲流連續(xù)微分方程

關于時間t的Laplace變換的滲流連續(xù)微分方程［6］為

由式(2)、(5)、(6)、(9)、(11)、(13) 整理并對兩邊作關于坐標r的Hankel變換，得到

1.3 狀態(tài)方程

令狀態(tài)向量

根據(jù)現(xiàn)代控制論式(15)的解為式中，exp［zA(ξ，s)］即為傳遞矩陣，用T 來表示，它給出了z=0處經(jīng)Laplace及Hankel變換的基本狀態(tài)邊界向量和任意深度z處狀態(tài)向量之間的關系。

根據(jù)Cayley－Hamilton定理，且由于I為6階單位矩陣，因此傳遞矩陣可表示為

1.4 狀態(tài)方程的求解

式(16)中 A(ξ，s)的特征方程為

式中，I為6階單位矩陣。

展開式(18)得

由文獻［3］的方法即可求得式(19)的特征值。

2 Burgers模型(四單元模型)

瀝青路面結構模型圖如圖1，表明瀝青路面結構體系是由粘彈性材料組成。

圖1 Burgers模型結構

本構方程為將式(20)在零條件下作時間t的Laplace變換得

當把粘彈性的應力應變本構關系代替線彈性的應力應變關系運用到路基路面結構的計算模型時，由于粘彈性算子E(s)是一個隨時間的變化量，將其代入后再對其施加Laplace逆變換，難以用解析式表示，因此需通過數(shù)值法進行逆變換。本文采用F.Durbin法實施Laplace逆變換，得到的效果很好。

3 超孔隙水壓力軸對稱問題

通過上面的推導，建立了以下狀態(tài)方程:

動荷載作用下路基路面層狀粘彈性體系如圖2。

圖2 動荷載作用下路基路面層狀粘彈性體系

圖2中路面上的圓形均布動荷載表達式為

式中，P(t)為作用于加載板上的總力脈沖值;R為加載板半徑，對PRI2100 FWD來說，R為15 cm。

當 r≤R 時，p(r，t)=P(t)/πR2。

根據(jù)文獻［2］，當t＞Td時，

式中，Td為脈沖寬度，一般為32 ms;P為荷載大小(kN)。

根據(jù)周期函數(shù)的拉普拉斯變換，對式(23)將p(r，t)對r和時間t分別施加零階Hankel積分變換和Laplace積分變換得

式(26)中路表面及各結構層邊界向量中的6個分量由邊界條件給出。由于引入了傳遞矩陣，層間的接觸條件可以自動滿足，中間狀態(tài)向量不出現(xiàn)，所以求解N層體系問題只需求解三元一次方程組問題，如式(27)及式(28)，問題得到大大簡化:

解上述三元一次方程組可求出?u'(ξ，0，s)等未知參數(shù)，再將其施加零階HANKEL積分和LAPLACE積分，即可求出超孔隙水壓力u'(r，0，t)等參數(shù)。

4 關于LAPLACE逆變換的處理

對于簡單的變換問題，可直接利用LAPLACE變換表得到逆變換的數(shù)學表達式，而對于本文所研究的問題，F(xiàn)(S)的表達式極其復雜，難以用解析式表示，需要通過數(shù)值法進行逆變換，由于逆變換的精確數(shù)值實現(xiàn)難度較大，因此也就出現(xiàn)了很多方法，所有這些方法中F.Durbin法精確度最高［4］，本文采用該方法對動荷載作用下路基路面超孔隙水壓力的粘彈性動態(tài)問題進行了LAPLACE和HANKEL逆變換，并編制了計算程序，方法如下。

函數(shù)X(r，z，t1)在時刻tj可表示成如下的復級數(shù):

5 瀝青路面超孔隙水壓力算例

計算示例采用瀝青路面結構三層體系，如圖3。本算例中，只考慮瀝青面層材料為粘彈性材料，基層和土基為彈性材料，假定路表面作用圓形均布動荷載如式(2)，行車荷載軸重為100 kN，荷載半徑為21.3 cm，車速為60 km·s－1。瀝青混凝土面層厚15.0 cm，材料粘彈性性質采用Burgers模型，其中 E11=E12=E1=2 000 MPa，η11=η12=η1=2.08 ×105Pa·s，動力滲透系數(shù) k=0.0001 m·s－1。瀝青面層密度為 ρ1=2.16 t·m－3，基層厚度為30.0 cm，彈性模量為1 000.0 MPa，瀝青路面和基層的泊松比均為 0.25，基層密度 ρ2=2.01 t·m－3，土基的彈性模量為 150.0 MPa，泊松比為 0.35，密度為 1.86 t·m－3。

圖3 三層瀝青路面粘彈性體系

計算結果見表1，其中A，B兩點分別位于行車荷載邊緣及距荷載中性30 cm處。從表1中可以看出，隨著距離行車荷載中心越遠，孔隙水壓力隨之減小，且出現(xiàn)孔隙水壓力正負交替的變化。隨著時間的增加，孔隙水壓力逐漸減小，且也出現(xiàn)正負交替的變化。

表1 瀝青面層超孔隙水壓力隨時間變化的值kPa

6 結論

(1)推導了路基路面層狀粘彈性體超孔隙水壓力軸對稱問題，在軸對稱動荷載作用下層間完全接觸情況的解析解，符合路基路面的實際受力特性和材料本身的特性。

(2)用傳遞矩陣法求解動態(tài)荷載作用下層狀粘彈性體半空間軸對稱問題，無論層次多少，最后都歸結為求解三元一次線性方程組，使問題大大簡化。

(3)引入精度更高的F.Durbin方法實現(xiàn)LAPLACE逆變換。

(4)通過算例分析表明，瀝青路面內部超孔隙水壓力隨時間具有正負交替的變化，且粘彈性瀝青路面結構下所受到的孔隙水壓力小于彈性路面結構。

［1］張肖寧.實驗粘彈原理［M］.哈爾濱:哈爾濱船舶工程學院出版社，1990.

［2］王耕祿，史榮昌.矩陣理論［M］.北京:國防工業(yè)出版社，1988.

［3］鐘陽，王哲人，郭大智.求解多層彈性半空間軸對稱問題的傳遞矩陣法［J］.土木工程學報，1992，25(4):66 －72.

［4］ Durbin Numerical inversion of Laplace trplace transforms;an efficient improvement to Dubner and Abate’s method［J］.The Computer Journal，1973，4:371 －376.

［5］伊文.層狀介質中的彈性波［M］.北京:科學出版社，1996.

［6］龔曉南.高等土力學［M］.北京:人民交通出版社，1992.

Solution to Super－pressure of Multi－layered Viscolastic Body in Small Opening Water on Asphalt Pavement

PENG Yong－h(huán)eng，JIANG Lei
(College of Civil Engineering＆ Architecture，Dalian Nationalities University，Dalian Liaoning，116605，China)

The moisture and loading action is the primary factor of initial failure for asphalt pavement at first.To study impact on water to asphalt pavement，the solution has been derived by means of the transference of matrix and integral transformation to the axis－symmetrical problems of super－pressure of the multi－layered viscoelastic body in small opening water on asphalt pavement in the FWD dynamic case.F.Durbin's numerical solution to inversion transformation of Laplace has been successfully introduced to solve multi－layered viscoelastic problem in time filed.This method is clear in concept，and the corresponding formulas given in the paper are not only simple but also convenient for application.

FWD;integral transformation;transference matrix;asphalt pavement;multi－layered viscoelastic body;super－pressure in small opening water

U416.217

A

1009－315X(2011)05－0476－05

2011－05－25;最后

2011－06－28

彭永恒(1956－)，男，黑龍江哈爾濱人，教授，博士，主要從事路面力學計算研究。

(責任編輯 鄒永紅)