彭國(guó)榮 隋麗麗

(1.湖北民族學(xué)院預(yù)科教育學(xué)院，湖北 恩施 445000;2.華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部，北京 東燕郊 101601)

2n階非線性差分方程周期解的存在性①

彭國(guó)榮1②隋麗麗2

(1.湖北民族學(xué)院預(yù)科教育學(xué)院，湖北 恩施 445000;2.華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部，北京 東燕郊 101601)

周期解;臨界點(diǎn);非線性差分方程多解性;變分方法

1 引言及主要結(jié)果

非線性泛函分析是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，它為解決當(dāng)今科技領(lǐng)域中出現(xiàn)的各種非線性問題提供了富有成效的理論工具。在處理實(shí)際問題所對(duì)應(yīng)的各種非線性方程中發(fā)揮著不可替代的作用。它的基本方法有拓?fù)涠确椒?、錐與半序理論及變分方法等。

本文主要利用非線性泛函分析中的變分方法，結(jié)合臨界點(diǎn)理論，研究2n階非線性差分方程

周期解的存在性與多重性。其中，Z( a)={ a，a+1，…}， 當(dāng) a ≤ b 時(shí)，Z (a，b)={a，a+1，…，b}，Δ 是向前差分算子，即 Δxt=xt+1-xt，Δk+1xt=Δ ( Δkxt)。實(shí)數(shù)序列rt和非線性項(xiàng)f分別滿足以下條件:

(A)對(duì)給定的正整數(shù) T，rt+T=rt＞0，t∈Z;

(B)f∈C( Z × R1→R1)，并且對(duì)任意 ( t，z)∈Z × R1，f( t+T，z)=f( t，z)。

我們的主要結(jié)論是:

定理1.1假設(shè)滿足下列條件:

(2)存在 a＞0，c＞0，使得對(duì)任意(t，z)∈Z ×

(3)存在 ρ1＞0，使得當(dāng)時(shí)，F(xiàn)( t，z)＞0

則問題(1.1.1)在ET中至少有兩個(gè)非零解。

定理1.2假設(shè)下列條件滿足:

則問題(1.1.1)在ET中有三個(gè)不同的解。

2 變分結(jié)構(gòu)

為了應(yīng)用臨界點(diǎn)理論，本節(jié)將定義問題(1.1.1)所對(duì)應(yīng)的能量泛函，并討論其相關(guān)性質(zhì)。首先介紹一些概念和記號(hào)。

用S表示一切實(shí)數(shù)序列x= x{ }

nn∈Z所組成的集合，即

同時(shí)也用(…，x-n，x-n+1，…，x-1，x0，x1，x2，…，xn，…)表示 x={xn}n∈Z。對(duì)于給定的正整數(shù)T，集合ET定義為

則ET為S的線性子空間，并且與RT同構(gòu)。定義ET上的內(nèi)積為

由此內(nèi)積誘導(dǎo)出空間ET上的范數(shù)記為:

易證明問題(1.1.1)的周期解等價(jià)于J在ET上的臨界點(diǎn)。

證明我們的結(jié)論需要如下引理。

引理2.1［1］設(shè)θ是J的一個(gè)臨界點(diǎn)且J(θ)=0，并且J在θ點(diǎn)有一個(gè)關(guān)于E=V1⊕V2的局部環(huán)繞，其中 k=dimV1＜∞，即存在充分小的 ρ＞0使得

那么Ck(J，θ)≠0，即θ是J的一個(gè)同調(diào)非平凡臨界點(diǎn)。

引理2.2［2］假設(shè)J滿足P.S.條件且有下界，如果J有一個(gè)同調(diào)非平凡、非極小的臨界點(diǎn)，則J至少有三個(gè)臨界點(diǎn)。

引理2.3［3］設(shè) H 是實(shí)的 Hilbert空間，f:H→R1是 C1泛函，F(xiàn)=gradf，ΩR={x∈H:‖x‖ ＜R}，Ωr={x∈H:‖x‖ ＜r}，其中 R ＞r＞0是兩個(gè)實(shí)數(shù)。假定

(1)在H的任何有界集S上都滿足Lipschitz條件，即存在常數(shù)KS＞0使得‖F(xiàn)(x)-F(y)‖≤KS‖x-y‖，?x，y∈S;

(2){xn}有界，F(xiàn)(xn)→θ蘊(yùn)涵{xn}有收斂子列;

(3)?x∈?Ωr，(F(x)，x)＞0;?x∈?ΩR，(F(x)，x)＜0，或者滿足?x∈?Ωr，(F(x)，x)＜0;?x∈?ΩR，(F(x)，x)＞0。

那么泛函f在ΩR內(nèi)有三個(gè)臨界點(diǎn)。

3 主要結(jié)果的證明

為了證明主要結(jié)論我們需要如下引理

的最小非零特征值。

證明由矩陣知識(shí)知A是半正定矩陣，其特征值為 0 ＜λ1≤ λ2≤ …≤ λT-1。顯然，ξ=( v，v，…，v)T∈ET是所對(duì)應(yīng)的特征向量(v≠0，v∈R1)，并且 ξ?Y。

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明該不等式成立。

設(shè) x=(x1，x2，…，xT)T∈Y，當(dāng) n=1 時(shí)，

下面我們將給出定理1.1和1.2的證明。

定理 1.1的證明由 F(t，z)的定義知 F(t，0)=0，從而 J(θ)=0。由假設(shè)條件(1)得 f(t，0)=0。從而J'(θ)=0。由引理3.1及假設(shè)條件(2)知J有下界，滿足P.S.條件。

從而由引理2.1知θ是J的一個(gè)同調(diào)非平凡臨界點(diǎn)，又因?yàn)棣仁荍的非極小值點(diǎn)，所以由引理2.2知J至少有三個(gè)臨界點(diǎn)。即問題(1.1.1)在ET中至少有兩個(gè)非零解。

定理1.2的證明我們證明泛函J(x)在ET中至少有三個(gè)不同的臨界點(diǎn)。

因此，泛函J滿足引理2.3的所有假設(shè)條件，所以由引理2.3知泛函J在ET中至少有三個(gè)不同的臨界點(diǎn)，即問題(1.1.1)在ET中至少有三個(gè)不同的解。

［1］ Benshi Zhu，Jianshe Yu.Multiple positive solutions for resonant difference equations［J］.Mathematics ＆ Computer Modelling，2009，(49):1928-1936

［2］ J.H.Zhang，S.J.Li，Multiple Nontrivial Solutions for some Fourth Order Semilinear Elliptic Problems［J］.Nonlinear Analysis，2005，(60):221-230

［3］ 郭大鈞.非線性泛函分析(第二版)［M］.濟(jì)南:山東科學(xué)技術(shù)出版社，2001

Existence of Periodic Solutions for A 2n Th-ordern Oolinear Difference Equation

PENG Guorong，SUI Lili

(1.Hubei institute for Nationalities Pre-Institute Department，Enshi Hubei445000;
2.Foundation department of North China Instituteof Science and Technology，Yanjiao Beijing-East 101601)

multiplicity of solutions;energy functional;variational method;critical point theory;critical group;Morse theory

O175.7

A

1672-7169(2011)03-0078-04

2011-01-12

彭國(guó)榮(1983-)，男，湖北民族學(xué)院預(yù)科教育學(xué)院教師。